Grafisches Differenzieren
Formel
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
F(x) | f(x) | N | E | W | ||
f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
|
Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1031
AHS - 1_031 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–4; 4] drei lokale Extremstellen.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 0] eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f'' hat im Intervall [–3; 3] zwei Nullstellen.
- Aussage 5: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Minimum.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1165
AHS - 1_165 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristika einer Polynomfunktion
Von einer Polynomfunktion f ist Folgendes bekannt: \(f\left( 2 \right) = 0;\,\,\,\,\,f'\left( 2 \right) = 0;\) und \(f''\left( 2 \right) = 1\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
f hat an der Stelle _______1____ sicher _______2_______ .
1 | |
x=0 | A |
x=1 | B |
x=2 | C |
2 | |
ein lokales Minimum | I |
ein lokales Maximum | II |
eine Wendestelle | III |
Aufgabe 4329
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gastwirtschaft - Aufgabe B_443
Teil b
Die Form eines Weizenbierglases kann näherungsweise durch die Rotation des Graphen der Funktion g um die x-Achse dargestellt werden (siehe nachstehende Abbildung).
Es gilt:
\(g\left( x \right) = - 0,00108 \cdot {x^3} + 0,046 \cdot {x^2} - 0,4367 \cdot x + 3\)
x, g(x) |
Koordinaten in cm |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den kleinsten Innendurchmesser des Weizenbierglases.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie das Füllvolumen des Weizenbierglases in Litern.
[1 Punkt]
Aufgabe 1048
AHS - 1_048 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften erkennen
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 3\)
- Aussage 1: Die Funktion f ist an jeder Stelle monoton fallend.
- Aussage 2: Die Funktion f besitzt kein lokales Maximum.
- Aussage 3: Der Graph der Funktion f geht durch P = (0|3).
- Aussage 4: Eine Skizze des Graphen der Funktion f könnte wie folgt aussehen:
- Aussage 5: Eine Skizze des Graphen der Funktion f könnte wie folgt aussehen:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie in nachstehender Tabelle die beiden für die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1146
AHS - 1_146 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokales Maximum
Gegeben ist eine Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1________ ist und _____2______ ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x1 ein lokales Maximum.
1 | |
\(f'\left( {{x_1}} \right) < 0\) | A |
\(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) | B |
\(f'\left( {{x_1}} \right) > 0\) | C |
2 | |
\(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\) | I |
\(f''\left( {{x_1}} \right) = 0\) | II |
\(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\) | III |
Aufgabe 1165
AHS - 1_165 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristika einer Polynomfunktion
Von einer Polynomfunktion f ist Folgendes bekannt: \(f\left( 2 \right) = 0;\,\,\,\,\,f'\left( 2 \right) = 0;\) und \(f''\left( 2 \right) = 1\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
f hat an der Stelle _______1____ sicher _______2_______ .
1 | |
x=0 | A |
x=1 | B |
x=2 | C |
2 | |
ein lokales Minimum | I |
ein lokales Maximum | II |
eine Wendestelle | III |
Aufgabe 1149
AHS - 1_149 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f.
- Aussage 1: Die Funktion f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [2; 5] streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
- Aussage 4: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle.
- Aussage 5: Die Funktion f ist im Intervall [–2; 0] links gekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 4210
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fressverhalten von Furchenwalen - Aufgabe A_288
Teil b
Die Größe der Maulöffnung bei einem Beutestoß eines Furchenwals kann näherungsweise durch die Funktion m beschrieben werden:
\(m\left( t \right) = \dfrac{1}{{175}} \cdot \left( { - 17 \cdot {t^4} + 204 \cdot {t^3} - 922,5 \cdot {t^2} + 1863 \cdot t} \right)\)
t ... Zeit seit Beginn des Öffnens des Mauls in s
m(t) ... Größe der Maulöffnung zur Zeit t in m2
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die maximale Größe der Maulöffnung.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4233
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Genfer See - Aufgabe A_222
Teil a
Der Jet d’eau ist ein Springbrunnen im Genfer See. Die Wasserfontäne des Springbrunnens erreicht eine maximale Höhe von 140 Metern. In einem vereinfachten Modell kann die Höhe eines Wasserteilchens über der Wasseroberfläche in Abhängigkeit von der Zeit durch die Funktion h beschrieben werden:
\(h\left( t \right) = - 4,9 \cdot {t^2} + 55,6 \cdot t{\text{ mit }}t \geqslant 0\)
mit
t … Zeit nach dem Austritt eines Wasserteilchens in s
h(t) … Höhe des Wasserteilchens über der Wasseroberfläche zur Zeit t in m
In diesem Modell wird der Luftwiderstand nicht berücksichtigt. Daher weicht die mithilfe der Modellfunktion h ermittelte maximale Höhe deutlich von der angegebenen maximalen Höhe ab.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die mithilfe der Modellfunktion h ermittelte maximale Höhe über der angegebenen maximalen Höhe von 140 Metern liegt.
[1 Punkt]
Aufgabe 1405
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer Ableitungsfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ mit
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{4} \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot x - 2\)
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–4; 5] zwei lokale Extremstellen.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [1; 2] monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f ist im Intervall [–4; –2] monoton fallend.
- Aussage 4: Die Funktion f ist im Intervall [–4; 0] linksgekrümmt (d. h. f''(x) > 0 für alle x ∈ [–4; 0]).
- Aussage 5: Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle.
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind richtig? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1077
AHS - 1_077 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph der ersten Ableitungsfunktion
Gegeben ist der Graph der Funktion f.
Zum Weiterlesen bitte aufklappen:
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
- Graph 6:
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f ? Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an!
Aufgabe 1013
AHS - 1_013 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokale Extrema
Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E1 = (0|–4) und E2 = (4|0) bekannt.
- Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = - 4\)
- Aussage 2: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f\left( { - 4} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( 4 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( 0 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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