Wurzelziehen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Radizieren bzw. Wurzelziehen
Radizieren, d.h. das Wurzelziehen, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
Beispiel:
Berechne x
\(\begin{array}{l} {x^3} = 125\\ x = \sqrt[3]{{125}} = 5 \end{array}\)
Bezeichnungen beim Wurzelziehen / Radizieren
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Der Wurzelexponent ist jener Wert, mit dem man den Wurzelwert potenzieren muss, um als Resultat den Radikanden der Wurzel zu erhalten. Schreibt man keinen Wurzelwert an, so gilt automatisch n=2
\({b = \root n \of a }\) | n-te Wurzel aus a |
b | Wurzelwert |
a | Radikand, Wert unter dem Wurzelzeichen |
n | Wurzelexponent |
Potenzen mit rationalen Exponenten
Die n-te Wurzel aus der nicht-negativen Zahl a ist jene eindeutige, ebenfalls nicht negative Zahl b, deren n-te Potenz wiederum gleich a ist. Anmerkung: Die n-te Wurzel aus der negativen Zahl a, kann nur im Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden.
\(\eqalign{ & \root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n} \cr & a,b \in {{\Bbb R}^ + };\,\,r,s \in {\Bbb R};\,\,n \in {\Bbb N} \cr}\)
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Rechenregeln für's Wurzelziehen
Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \(\root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n}\)
- \(\root n \of 0 = 0\)
- \(\root n \of 1 = 1\)
- \(\root 1 \of a = a\)
- \(\root 2 \of a = \sqrt a \)
Wurzel mit negativem Radikand
Wurzeln mit negativem Radikand kann man nur im Bereich der komplexen Zahlen lösen, dazu wird die imaginäre Einheit i definiert.
- \(\sqrt { - 1} = i\)
Addition bzw. Subtraktion bei gleichen Radikanden und gleichem Wurzelexponent
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und diese Summe (r+s) mit der Wurzel multipliziert.
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und die Summe (r+s) bzw. Differenz (r-s) bildet und diese mit der n-ten Wurzel aus a multipliziert.
\(r\root n \of a \pm s\root n \of a = \left( {r \pm s} \right) \cdot \root n \of a \)
Multiplikation von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.
\(\root n \of a \cdot \root n \of b = \root n \of {a \cdot b}\)
mit
a, b | Radikanden |
n, m | Wurzelexponent |
Multiplikation von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}} \cdot \sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m} \cdot {b^n}}}\)
Division von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.
\(\dfrac{{\root n \of a }}{{\root n \of b }} = \root n \of {\dfrac{a}{b}} \)
Division von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Division von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Quotient der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{\dfrac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\)
Potenzieren von Wurzeln
Wurzeln werden potenziert, indem man den Radikanden potenziert und anschließend radiziert. Alternativ kann man aber auch zuerst radizieren und dann potenzieren.
\({\left( {\root n \of a } \right)^m} = \root n \of {{a^m}} \)
Radizieren von Wurzeln
Man radiziert eine Wurzel, d.h. man zieht die Wurzel von einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert
\(\root n \of {\root m \of a } = \root {n.m} \of a \)
Umformen von Wurzeln in Potenzen
Wurzeln lassen sich sehr einfach in Potenzen umwandeln. Aus dem Radikand der Wurzel wird die Basis der Potenz, deren Exponent der Bruch "1 durch Wurzelexponent" ist.
\(\eqalign{ & \root n \of a = {a^{\left( {\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \dfrac{1}{{\root n \of a }} = {a^{\left( { - \,\,\,\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \root n \of {{a^k}} = {a^{\left( {\dfrac{k}{n}} \right)}} \cr & \cr & \root n \of {{a^k}} = \root {n.m} \of {{a^{k.m}}} \cr} \)
Anmerkung: Die Klammern bei den Exponenten werden nur geschrieben um die Lesbarkeit im Webbrowser zu verbessern. Sie sind natürlich nicht falsch, aber unnötig.