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  4. Kreis, Kreissektor und Kreisbogen

Kreis, Kreissektor und Kreisbogen

Hier findest du folgende Inhalte

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Formeln
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Kreis

    Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.

    \(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)

    • Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
    • Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
    • Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)

    Kreismittelpunkt

    Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.


    Kreisradius

    Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.

    \(r = \overline {MP} \)


    Kreisdurchmesser

    Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.

    \(d = 2r\)


    Kreisumfang

    Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.

    \(U = 2r\pi = d\pi \)


    Kreiszahl π

    Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.

    \(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)

    Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)


    Kreisfläche

    Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.

    \(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)


    Illustration vom Kreis

    Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Strecke f Strecke f: Strecke [D, E] Strecke g Strecke g: Strecke [F, G] Vektor u Vektor u: Vektor[A, C] Vektor u Vektor u: Vektor[A, C] Vektor v Vektor v: Vektor[H, I] Vektor v Vektor v: Vektor[H, I] Vektor w Vektor w: Vektor[I, H] Vektor w Vektor w: Vektor[I, H] M text1 = "M" r text2 = "r" d=2 r text3 = "d=2 r"


    Kreissektor

    Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
    \(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)

    Beispiel:
    Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
    \(\eqalign{
    & r = 5cm \cr
    & \alpha = 53^\circ \cr
    & A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)


    Länge vom Kreisbogen

    Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
    \(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)

    Beispiel:
    Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
    \(\eqalign{
    & r = 5{\text{ cm}} \cr
    & \alpha = 53^\circ \cr
    & b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)


    Illustration von Kreissektor und Kreisbogen

    Sektor c Sektor c: Kreissektor[A, B, C] Sektor c Sektor c: Kreissektor[A, B, C] \alpha text1 = "\alpha" r Text1 = "r" r Text2 = "r" b Text3 = "b"


    Kreisring

    Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.

    \(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)


    Illustration vom Kreisring

    Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Kreis d Kreis d: Kreis durch C mit Mittelpunkt A Kreis d Kreis d: Kreis durch C mit Mittelpunkt A Kreis e Kreis e: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Kreis e Kreis e: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Kreis e Kreis e: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Vektor u Vektor u: Vektor[D, E] Vektor u Vektor u: Vektor[D, E] Vektor v Vektor v: Vektor[D, F] Vektor v Vektor v: Vektor[D, F] M text2 = "M" r_i text3 = "r_i" r_i text3 = "r_i" r_a text4 = "r_a" r_a text4 = "r_a"


    Kreissegment

    Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\)  ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.

    \(\eqalign{
    & s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
    & U = b + s \cr
    & A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)


    Illustration vom Kreissegment

    Kreis g g: (x - 3)² + (y - 2)² = 7 Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(B, C, A) Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(B, C, A) Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, F, A Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, F, A Strecke h Strecke h: Strecke D, E Vektor u Vektor u: Vektor(F, A) Vektor u Vektor u: Vektor(F, A) Vektor v Vektor v: Vektor(F, B) Vektor v Vektor v: Vektor(F, B) Punkt F F(2.81 | 1.75) Punkt F F(2.81 | 1.75) Kreisbogen Text1 = “Kreisbogen” Sehne Text2 = “Sehne” Kreissegment Text3 = “Kreissegment” \alpha Text4 = “\alpha ” r Text5 = “r” r Text6 = “r”

    Kreis
    Kreisradius
    Durchmesser Kreis
    Fläche Kreis
    Kreiszahl Pi
    Kreissektor
    Kreisring
    Kreisbogen
    Kreisumfang
    Kreissegment
    Kreismittelpunkt
    Länge Kreisbogen
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    Satz von Thales

    Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.
    Peripheriewinkel bzw. Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser betragen immer 90°.

    Bogen c Bogen c: Halbkreis durch A und B Sektor d Sektor d: Kreissektor[F, G, H] Sektor d Sektor d: Kreissektor[F, G, H] Sektor e Sektor e: Kreissektor[I, J, K] Sektor e Sektor e: Kreissektor[I, J, K] Sektor p Sektor p: Kreissektor[L, P, Q] Sektor p Sektor p: Kreissektor[L, P, Q] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [A, C] Strecke h Strecke h: Strecke [C, B] Strecke i Strecke i: Strecke [A, D] Strecke j Strecke j: Strecke [D, B] Strecke k Strecke k: Strecke [A, E] Strecke l Strecke l: Strecke [E, B] Strecke m Strecke m: Strecke [N, O] Punkt R R = (6.22, 8.46) Punkt R R = (6.22, 8.46) Punkt S S = (8.28, 9.52) Punkt S S = (8.28, 9.52) Punkt T T = (12, 8) Punkt T T = (12, 8) A Text1 = "A" M Text2 = "M" B Text3 = "B" C_1 Text4 = "C_1" C_1 Text4 = "C_1" C_2 Text5 = "C_2" C_2 Text5 = "C_2" C_n Text6 = "C_n" C_n Text6 = "C_n"


    Satz von Thales - Interaktive Illustration auf der Website von Geogebra.org

    Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

    Bewege den Punkt P entlang vom Halbkreis und beobachte wie sich die beiden Winkel immer zu 90° aufsummieren.

    Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.

    Satz von Thales
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    Aufgaben

    Kreis und Gerade

    Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.


    Kreissehne

    Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.

    \(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)

    Kreis g g: (x - 3)² + (y - 2)² = 7 Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(B, C, A) Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(B, C, A) Strecke h Strecke h: Strecke D, E Kreisbogen Text1 = “Kreisbogen” Sehne Text2 = “Sehne”


    Sekante

    Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.

    \(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)

    Kreis g g: (x - 3)² + (y - 2)² = 7 Gerade f Gerade f: Linie A, B Punkt A Punkt A: Punkt auf g Punkt A Punkt A: Punkt auf g Punkt B Punkt B: Punkt auf g Punkt B Punkt B: Punkt auf g Sekante Text2 = “Sekante”


    Tangente

    Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.

    \(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)

    Kreis g g: (x - 3)² + (y - 2)² = 7 Gerade f Gerade f: Linie A, B Punkt A Punkt A: Punkt auf g Punkt A Punkt A: Punkt auf g Punkt B Punkt B: Punkt auf g Punkt B Punkt B: Punkt auf g Tangente Text2 = “Tangente”


    Passante

    Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.

    \(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)

    Kreis g g: (x - 3)² + (y - 2)² = 7 Gerade h Gerade h: Linie D, E Passante Text2 = “Passante”

    Kreissehne
    Sekante
    Tangente
    Passante
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

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    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
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