Ähnlichkeit und Kongruenz

Abbildungsgeometrie

In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen

• Kongruenzabbildungen: Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
• Ähnlichkeitsabbildungen: Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich

Kongruenzabbildungen

Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.

Bild

• 4 Kongruenzabbildungen
  Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.
  • Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
  • Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
  • Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
  • Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel

Symmetrie

Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden

• Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie
  • Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
  • Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur

Ähnlichkeitsabbildungen

Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.

• Affine Ähnlichkeitsabbildungen:
  • Sie sind geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
  • Sie sind parallelentreu, d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
  • Sie sind teilerverhältnistreu, d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
• Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
  • Scherung: Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
  • Parallelstreckung:Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben

Ähnliche Dreiecke

Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch den selben Streckungsfaktor aufweisen

\(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{ABC}}}}{{{A_{A'B'C}}}} = {k^2}; \cr & \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = k; \cr}\)

Den Proportionalitätsfaktor k nennt man den Streckungsfaktor.

• Ist k>1 spricht man von einer Streckung
• ist k=1 so sind die Dreiecke kongruent
• Ist k<1 so spricht man von einer Stauchung

Zentrische Streckung

Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt

• jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
• jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
• die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
• alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt

Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur

Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur

Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur

Kongruenzsätze

Die vier Kongruenzsätze ermöglichen eine rasche Überprüfung, ob zwei allgemeine Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen. Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt, sie unterscheiden sich nur in der Lage zueinander, es sei denn sie sind sogar deckungsgleich. Zwei Dreiecke ABC / A‘B‘C‘ heißen deckungsgleich (kongruent), wenn sie durch Kongruenzabbildungen ineinander übergeführt werden können. Um die Kongruenz von 2 Dreiecken feststellen zu können, müssen sie in folgenden 3 Bestimmungsstücken übereinstimmen

Kongruenz

Zwei deckungsgleiche Figuren nennt man kongruent. Damit sie - nach einer Kongruenzabbildung - die gleiche Fläche überdecken, müssen ihre Seiten gleich lang und ihre Winkel gleich groß sein.

WSW-Satz: Winkel-Seiten-Winkel-Satz

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und in den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)

SWS-Satz: Seiten-Winkel-Seiten-Satz

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossener Winkel übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)

SSW-Satz: Seiten-Seiten-Winkel-Satz

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen
\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,{\text{mit}}\,\,b > a;\)

SSS-Satz: Seiten-Seiten-Seiten-Satz

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

\(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{c}{{c'}} = 1;\)

Strahlensätze

Die drei Strahlensätze machen Aussagen über das Verhältnis von Strahlenabschnitten und Parallelenabschnitten. Zwei bzw. drei durch einen Scheitelpunkt verlaufende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, wobei keine der beiden Parallelen durch den Scheitelpunkt verläuft. Dann gilt

1. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlenabschnitten

Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden

\(\begin{array}{l} \left| {ZA} \right|:\left| {ZB} \right| = \left| {ZA'} \right|:\left| {ZB'} \right|\\ \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)

2. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten

Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die vom Schenkel aus gemessenen Abschnitte auf derselben Geraden

\(\begin{array}{l} \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right|\\ \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)

3. Strahlensatz über das Verhältnis von Parallelenabschnitten

Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die entsprechenden beiden anderen Abschnitte auf den Parallelen.

\(\begin{array}{l} \left| {BC} \right|:\left| {B'C'} \right| = \left| {CA} \right|:\left| {C'A'} \right|\\ \left| {BC} \right|:\left| {CA} \right| = \left| {B'C'} \right|:\left| {C'A'} \right| \end{array}\)

Beispiel:
Teile eine unbekannt lange Strecke in gleiche Teile
Wir wenden den 1. Strahlensatz an, um eine Strecke mit unbekannter Länge in 4 gleiche Abschnitte zu unterteilen.

1. Wir tragen die Stecke auf (rot)
2. Wir tragen einen Strahl auf, der nicht mit der Strecke zusammen fällt (schwarz)
3. Wir tragen von Schenkelpunkt aus einen 1. Kreis mit beliebigen Radius aus. Von dort wo der Kreis den Strahl schneidet tragen wir den nächste Kreis aus. Wir erzeugen so 4 gleich lange Abschnitte am Strahl (blau)
4. Wir zeichnen die Verbindungsgerade vom 4. Punkt am Strahl mit dem Endpunkt der Strecke ein, sowie die 3 Parallelen dazu, jeweils durch die Schnittpunkte der Kreise mit dem Strahl (grün)
5. Als Resultat erhalten wir die 4 Abschnitte auf der Strecke. Auf Grund der 4 gleich langen Abschnitte am Strahl, teilen die Parallelen auch die Strecke in 4 gleich lange Abschnitte.