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  4. Ähnlichkeit und Kongruenz

Ähnlichkeit und Kongruenz

Hier findest du folgende Inhalte

3
Formeln
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Abbildungsgeometrie

    In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen

    • Kongruenzabbildungen: Es bleiben Winkel und Strecken erhalten, die Figuren sind deckungsgleich
    • Ähnlichkeitsabbildungen: Es bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten, die Figuren sind nicht deckungsgleich

    Kongruenzabbildungen

    Bei Kongruenzabbildungen bleiben Winkel und Strecken erhalten
    Sind nicht nur die Winkel (wie bei Ähnlichkeitsabbildungen), sondern auch die Seitenlängen gleich, so nennt man die Figuren kongruent, auch dann, wenn sie erst durch Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung zur Deckung gebracht werden können. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur in der Lage zueinander. Ihr Flächeninhalt ist gleich groß. Deckungsgleiche Figuren kann man durch spiegeln, verschieben und drehen so übereinander legen, dass die "obere" Figur die "untere" Figur vollständig abdeckt.

    Bild
    Deckungsgleichheit
    • 4 Kongruenzabbildungen
      Die vier Kongruenzabbildungen sind Lageänderungen (Abbildungen ) einer Figur, sodass sich diese Figur nach der Kongruenzabbildung nicht in Form und Größe von der Figur vor der Kongruenzabbildung unterscheidet.

      • Punktspiegelung: Spiegelung an einem Punkt bzw. Zentralspiegelung: Spiegelung um einen Punkt
      • Geradenspiegelung: Spiegelung an einer Geraden bzw. Achsenspiegelung bzw. Umklappung: Spiegelung um eine Gerade, welche die Spiegelungsachse darstellt
      • Schiebung bzw. Translation: Verschiebung entlang paralleler gleich langer Schiebungsstrecken
      • Drehung bzw. Rotation: Drehung um einen Drehpunkt und um einen Drehwinkel

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon F, G, E Dreieck d1' Dreieck d1': Polygon F', G', E' Dreieck d1'_1 Dreieck d1'_1: Polygon F'_1, G'_1, E'_1 Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon I, K, N Dreieck d1_2 Dreieck d1_2: Polygon F_2, G_2, E_2 Dreieck d1'_2 Dreieck d1'_2: Polygon F'_2, G'_2, E'_2 Strecke e Strecke e: Strecke F, G Strecke f Strecke f: Strecke G, E Strecke g Strecke g: Strecke E, F Strecke e' Strecke e': Strecke F', G' Strecke f' Strecke f': Strecke G', E' Strecke g' Strecke g': Strecke E', F' Strecke e'_1 Strecke e'_1: Strecke F'_1, G'_1 Strecke f'_1 Strecke f'_1: Strecke G'_1, E'_1 Strecke g'_1 Strecke g'_1: Strecke E'_1, F'_1 Strecke n Strecke n: Strecke I, K Strecke i Strecke i: Strecke K, N Strecke k Strecke k: Strecke N, I Strecke e_2 Strecke e_2: Strecke F_2, G_2 Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke G_2, E_2 Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke E_2, F_2 Strecke h Strecke h: Strecke M, J Strecke e'_2 Strecke e'_2: Strecke F'_2, G'_2 Strecke f'_2 Strecke f'_2: Strecke G'_2, E'_2 Strecke g'_2 Strecke g'_2: Strecke E'_2, F'_2 Vektor u Vektor u: Vektor(F, F') Vektor u Vektor u: Vektor(F, F') Vektor v Vektor v: Vektor(E, E') Vektor v Vektor v: Vektor(E, E') Vektor w Vektor w: Vektor(G, G') Vektor w Vektor w: Vektor(G, G') Vektor c Vektor c: Vektor(F, F'_1) Vektor c Vektor c: Vektor(F, F'_1) Vektor d Vektor d: Vektor(G, G'_1) Vektor d Vektor d: Vektor(G, G'_1) Vektor j Vektor j: Vektor(F'_1, I) Vektor j Vektor j: Vektor(F'_1, I) Vektor l Vektor l: Vektor(G'_1, D) Vektor l Vektor l: Vektor(G'_1, D) Vektor m Vektor m: Vektor(P, Q) Vektor m Vektor m: Vektor(P, Q) Vektor p Vektor p: Vektor(R, S) Vektor p Vektor p: Vektor(R, S) Vektor q Vektor q: Vektor(N, T) Vektor q Vektor q: Vektor(N, T) Vektor a Vektor a: Vektor(N, U) Vektor a Vektor a: Vektor(N, U) Vektor b Vektor b: Vektor(V, W) Vektor b Vektor b: Vektor(V, W) Vektor r Vektor r: Vektor(Z, A_1) Vektor r Vektor r: Vektor(Z, A_1) Punkt N Punkt N: E'_1 gedreht um Winkel 70° Punkt N Punkt N: E'_1 gedreht um Winkel 70° Punkt O Punkt O: Punkt auf w Punkt O Punkt O: Punkt auf w Achsensymmetrie Text1 = “Achsensymmetrie” Punktsymmetrie Text2 = “Punktsymmetrie” Drehsymmetrie Text3 = “Drehsymmetrie” Verschiebung Text4 = “Verschiebung”


    Symmetrie

    Eine symmetrische Figur kann durch eine Kongruenzabbildung in sich selbst abgebildet werden

    Fünfeck Vieleck1 Fünfeck Vieleck1: Polygon E, F, G, H, I Fünfeck Vieleck1' Fünfeck Vieleck1': Polygon E', F', G', H', I' Gerade j Gerade j: Linie I, H Strecke e Strecke e: Strecke E, F Strecke f Strecke f: Strecke F, G Strecke g Strecke g: Strecke G, H Strecke h Strecke h: Strecke H, I Strecke i Strecke i: Strecke I, E Strecke e' Strecke e': Strecke E', F' Strecke f' Strecke f': Strecke F', G' Strecke g' Strecke g': Strecke G', H' Strecke h' Strecke h': Strecke H', I' Strecke i' Strecke i': Strecke I', E' Symmetrieachse Text1 = “Symmetrieachse”

    • Unterschied zwischen Kongruenz und Symmetrie

      • Kongruenz ist eine Beziehung zwischen zwei deckungsgleichen Figuren
      • Symmetrie ist eine Eigenschaft von einer Figur

    Ähnlichkeitsabbildungen

    Bei Ähnlichkeitsabbildungen bleiben Winkel und die Streckenverhältnisse erhalten.
    Die Figuren haben zwar die gleichen Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen. D.h. die einander entsprechenden Winkel sind gleich groß, die einander entsprechenden Seiten (sind zwar nicht gleich lang, aber sie) haben dasselbe Längenverhältnis.

    • Affine Ähnlichkeitsabbildungen:

      • Sie sind geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet
      • Sie sind parallelentreu, d.h. parallele Gerade werden auf parallele Gerade abgebildet
      • Sie sind teilerverhältnistreu, d.h. teilt ein Punkt X eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis k, dann teilt sein Bildpunkt X‘ die Strecke A’B‘ ebenfalls im Verhältnis k
    • Affine Abbildungen, die keine Ähnlichkeitsabbildungen sind
      • Scherung: Eine Seite der Figur samt den Punkten die auf dieser Seite liegen bleibt fix, alle anderen Punkte der Figur werden in Richtung dieser Seite verschoben, wobei aber die Fläche unverändert bleibt. So wird aus einem Rechteck ein Parallelogramm.
      • Parallelstreckung:Alle Ecken einer Figur (und damit auch die Punkte ihrer Verbindungsgeraden) werden entlang von parallelen Geraden unterschiedlich weit verschoben

    Ähnliche Dreiecke

    Ähnliche Dreiecke haben zwar gleiche Winkel, aber unterschiedliche Seitenlängen, die jedoch den selben Streckungsfaktor aufweisen

    \(\eqalign{ & \dfrac{{{A_{ABC}}}}{{{A_{A'B'C}}}} = {k^2}; \cr & \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = k; \cr}\)

    Den Proportionalitätsfaktor k nennt man den Streckungsfaktor.

    • Ist k>1 spricht man von einer Streckung
    • ist k=1 so sind die Dreiecke kongruent
    • Ist k<1 so spricht man von einer Stauchung

    Zentrische Streckung

    Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der die Streckung von einem Streckungszentrum ausgehend um einen Streckungsfaktor k erfolgt

    • jedem Punkt der Ausgangsfigur wird ein Bildpunkt der ähnlichen Figur zugeordnet
    • jeder Punkt und sein Bildpunkt liegen auf einem gemeinsamen Strahl, welcher vom Streckungszentrum ausgeht
    • die Seiten welche die Punkte verbinden und die Seiten welche die Bildpunkte verbinden, verlaufen parallel
    • alle Punkte einer ähnlichen Figur und alle zugehörigen Bildpunkte sind vom Streckungszentrum um das k-fache vom selben Streckungsfaktor entfernt

    Das Streckungszentrum liegt in einem Eckpunkt der Figur
    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon F, G, H Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon F, I, J Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke B, C Strecke h Strecke h: Strecke A, C Strecke i Strecke i: Strecke E, D Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke F, G Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke G, H Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke H, F Strecke j Strecke j: Strecke F, I Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke I, J Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke J, F Strahl k Strahl k: Strahl durch K, L Strahl l Strahl l: Strahl durch K, M Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von f, h Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von f, h Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von g, h Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von g, h Punkt M Punkt M: Schnittpunkt von f, g Punkt M Punkt M: Schnittpunkt von f, g B=B' Text1 = “B=B'” C Text2 = “C” A Text3 = “A” A' Text4 = “A'” C' Text5 = “C'” c Text6 = “c” c' Text7 = “c'” a Text8 = “a” a' Text9 = “a'” b Text10 = “b” b' Text11 = “b'”

    Das Streckungszentrum liegt außerhalb der Figur
    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon F, H, I Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon G, J, K Strahl f Strahl f: Strahl durch E, G Strahl g Strahl g: Strahl durch E, H Strahl h Strahl h: Strahl durch E, I Strecke i Strecke i: Strecke F, H Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke H, I Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke I, F Strecke k Strecke k: Strecke G, J Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke J, K Strecke j Strecke j: Strecke K, G A Text1 = “A” B Text2 = “B” C Text3 = “C” A' Text4 = “A'” B' Text5 = “B'” C' Text6 = “C'”

    Das Streckungszentrum liegt innerhalb der Figur
    Viereck v1 Viereck v1: Polygon E, F, G, H Viereck v2 Viereck v2: Polygon J, K, L, M Strahl f Strahl f: Strahl durch I, E Strahl g Strahl g: Strahl durch I, F Strahl h Strahl h: Strahl durch I, G Strahl i Strahl i: Strahl durch I, H Strecke e Strecke e: Strecke E, F Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke F, G Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke G, H Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke H, E Strecke j Strecke j: Strecke J, K Strecke k Strecke k: Strecke K, L Strecke l Strecke l: Strecke L, M Strecke m Strecke m: Strecke M, J Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von f, g Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von f, g A Text1 = “A” B Text2 = “B” C Text3 = “C” D Text4 = “D” A' Text5 = “A'” B' Text6 = “B'” C' Text7 = “C'” D' Text8 = “D'”

    Abbildungsgeometrie
    Kongruenzabbildungen
    Ähnlichkeitsabbildungen
    Spiegelung an einem Punkt
    Spiegelung an einer Geraden
    Schiebung
    Drehung
    Deckungsgleichheit
    Deckungsgleiche Dreiecke
    Streckung
    Stauchung
    Kongruente Dreiecke
    Zentrische Streckung
    Unterschied Kongruenz und Symmetrie
    Symmetrie
    Ähnliche Dreiecke
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    Kongruenzsätze

    Die vier Kongruenzsätze ermöglichen eine rasche Überprüfung, ob zwei allgemeine Dreiecke in Form und Größe übereinstimmen. Kongruente Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt, sie unterscheiden sich nur in der Lage zueinander, es sei denn sie sind sogar deckungsgleich. Zwei Dreiecke ABC / A‘B‘C‘ heißen deckungsgleich (kongruent), wenn sie durch Kongruenzabbildungen ineinander übergeführt werden können. Um die Kongruenz von 2 Dreiecken feststellen zu können, müssen sie in folgenden 3 Bestimmungsstücken übereinstimmen


    Kongruenz

    Zwei deckungsgleiche Figuren nennt man kongruent. Damit sie - nach einer Kongruenzabbildung - die gleiche Fläche überdecken, müssen ihre Seiten gleich lang und ihre Winkel gleich groß sein.


    WSW-Satz: Winkel-Seiten-Winkel-Satz

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und in den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen
    \(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)
    Winkel α Winkel α: Winkel zwischen F, E, G Winkel α Winkel α: Winkel zwischen F, E, G Winkel β Winkel β: Winkel zwischen G, F, E Winkel β Winkel β: Winkel zwischen G, F, E Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen I, H, J Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen I, H, J Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen J, I, H Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen J, I, H Strecke f Strecke f: Strecke E, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke h Strecke h: Strecke F, E Strecke i Strecke i: Strecke H, J Strecke j Strecke j: Strecke J, I Strecke k Strecke k: Strecke I, H S Text2 = “S” S' Text5 = “S'” W Text7 = “W” W Text8 = “W” W' Text10 = “W'” W' Text11 = “W'”


    SWS-Satz: Seiten-Winkel-Seiten-Satz

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossener Winkel übereinstimmen
    \(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\gamma = \gamma ';\)
    Winkel α Winkel α: Winkel zwischen F, E, G Winkel α Winkel α: Winkel zwischen F, E, G Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen I, H, J Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen I, H, J Strecke f Strecke f: Strecke E, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke h Strecke h: Strecke F, E Strecke i Strecke i: Strecke H, J Strecke j Strecke j: Strecke J, I Strecke k Strecke k: Strecke I, H S Text1 = “S” S Text2 = “S” S' Text4 = “S'” S' Text5 = “S'” W Text7 = “W” W' Text10 = “W'”


    SSW-Satz: Seiten-Seiten-Winkel-Satz

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel übereinstimmen
    \(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\beta = \beta ';\,\,\,\,\,{\text{mit}}\,\,b > a;\)
    Winkel β Winkel β: Winkel zwischen G, F, E Winkel β Winkel β: Winkel zwischen G, F, E Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen J, I, H Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen J, I, H Strecke f Strecke f: Strecke E, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke h Strecke h: Strecke F, E Strecke i Strecke i: Strecke H, J Strecke j Strecke j: Strecke J, I Strecke k Strecke k: Strecke I, H S Text1 = “S” S Text2 = “S” S' Text4 = “S'” S' Text5 = “S'” W Text8 = “W” W' Text11 = “W'”


    SSS-Satz: Seiten-Seiten-Seiten-Satz

    Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.

    \(\dfrac{a}{{a'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{b}{{b'}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{c}{{c'}} = 1;\)
    Strecke f Strecke f: Strecke E, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke h Strecke h: Strecke F, E Strecke i Strecke i: Strecke H, J Strecke j Strecke j: Strecke J, I Strecke k Strecke k: Strecke I, H S Text1 = “S” S Text2 = “S” S Text3 = “S” S' Text4 = “S'” S' Text5 = “S'” S' Text6 = “S'”

    Kongruenzsätze
    SSS Seiten Seiten Seiten Kongruenzsatz
    SSW Seiten Seiten Winkel Kongruenzsatz
    SWS Seiten Winkel Seiten Kongruenzsatz
    WSW Winkel Seiten Winkel Kongruenzsatz
    Kongruenz
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    Strahlensätze

    Die drei Strahlensätze machen Aussagen über das Verhältnis von Strahlenabschnitten und Parallelenabschnitten. Zwei bzw. drei durch einen Scheitelpunkt verlaufende Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, wobei keine der beiden Parallelen durch den Scheitelpunkt verläuft. Dann gilt

    Gerade h Gerade h: Linie H, I Gerade i Gerade i: Linie H, J Gerade f Gerade f: Linie E, F Gerade g Gerade g: Linie E, G Gerade s Gerade s: Linie W, D Gerade t Gerade t: Linie W, C Gerade d Gerade d: Linie W, B_1 Strecke l Strecke l: Strecke K, L Strecke m Strecke m: Strecke N, O Strecke q Strecke q: Strecke S, T Strecke r Strecke r: Strecke U, V Strecke a Strecke a: Strecke A, B Strecke c Strecke c: Strecke Z, A_1 Punkt E E = (-3, 2) Punkt E E = (-3, 2) Punkt H H = (18, 6) Punkt H H = (18, 6) Punkt W W = (32, 2) Punkt W W = (32, 2) Z Text1 = “Z” Z Text2 = “Z” A' Text3 = “A'” A Text4 = “A” B' Text5 = “B'” B Text6 = “B” A' Text7 = “A'” B Text8 = “B” A Text9 = “A” B' Text10 = “B'” s_A Text11 = “s_A” s_A Text11 = “s_A” s_B Text12 = “s_B” s_B Text12 = “s_B” s_A Text13 = “s_A” s_A Text13 = “s_A” s_B Text14 = “s_B” s_B Text14 = “s_B” A Text15 = “A” A' Text16 = “A'” B Text17 = “B” B' Text18 = “B'” C Text19 = “C” C' Text20 = “C'” Z Text21 = “Z” 1.+2. Strahlensatz V-Figur Text22 = “1.+2. Strahlensatz V-Figur” 1.+2. Strahlensatz Y-Figur Text23 = “1.+2. Strahlensatz Y-Figur” 3. Strahlensatz Text24 = “3. Strahlensatz” s_A Text13_1 = “s_A” s_A Text13_1 = “s_A” s_B Text14_1 = “s_B” s_B Text14_1 = “s_B” s_C Text14_2 = “s_C” s_C Text14_2 = “s_C”


    1. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlenabschnitten

    Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander, wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden

    \(\begin{array}{l} \left| {ZA} \right|:\left| {ZB} \right| = \left| {ZA'} \right|:\left| {ZB'} \right|\\ \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)


    2. Strahlensatz über das Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten

    Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die vom Schenkel aus gemessenen Abschnitte auf derselben Geraden

    \(\begin{array}{l} \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZA} \right|:\left| {ZA'} \right|\\ \left| {AB} \right|:\left| {A'B'} \right| = \left| {ZB} \right|:\left| {ZB'} \right| \end{array}\)


    3. Strahlensatz über das Verhältnis von Parallelenabschnitten

    Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf den Parallelen so zueinander, wie die entsprechenden beiden anderen Abschnitte auf den Parallelen.

    \(\begin{array}{l} \left| {BC} \right|:\left| {B'C'} \right| = \left| {CA} \right|:\left| {C'A'} \right|\\ \left| {BC} \right|:\left| {CA} \right| = \left| {B'C'} \right|:\left| {C'A'} \right| \end{array}\)


    Beispiel:
    Teile eine unbekannt lange Strecke in gleiche Teile
    Wir wenden den 1. Strahlensatz an, um eine Strecke mit unbekannter Länge in 4 gleiche Abschnitte zu unterteilen.

    Kreis c Kreis c: Kreis mit Mittelpunkt E und Radius 3 Kreis d Kreis d: Kreis mit Mittelpunkt H und Radius 3 Kreis e Kreis e: Kreis mit Mittelpunkt I und Radius 3 Kreis h Kreis h: Kreis mit Mittelpunkt J und Radius 3 Gerade j Gerade j: Gerade durch J parallel zu i Gerade k Gerade k: Gerade durch I parallel zu i Gerade l Gerade l: Gerade durch H parallel zu i Strecke f Strecke f: Strecke E, F Strahl g Strahl g: Strahl durch E, G Strecke i Strecke i: Strecke K, F Punkt E E = (2, 2) Punkt E E = (2, 2) Punkt F F = (22, 2) Punkt F F = (22, 2) Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von c, g Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von c, g Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von d, g Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von d, g Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von e, g Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von e, g Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von h, g Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von h, g Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von l, f Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von l, f Punkt M Punkt M: Punkt auf k Punkt M Punkt M: Punkt auf k Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von j, f Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von j, f 1. Strecke Text1 = “1. Strecke” 2. Strahl Text2 = “2. Strahl” 3. Kreis #1 Text3_1 = “3. Kreis #1” 3. Kreis #4 Text3_2 = “3. Kreis #4” 4. Verbindungsgerade Text4 = “4. Verbindungsgerade” 5. Parallele #3 Text5_2 = “5. Parallele #3” 5. Parallele #1 Text5_3 = “5. Parallele #1” 5. Parallele #2 Text5_4 = “5. Parallele #2”

    1. Wir tragen die Stecke auf (rot)
    2. Wir tragen einen Strahl auf, der nicht mit der Strecke zusammen fällt (schwarz)
    3. Wir tragen von Schenkelpunkt aus einen 1. Kreis mit beliebigen Radius aus. Von dort wo der Kreis den Strahl schneidet tragen wir den nächste Kreis aus. Wir erzeugen so 4 gleich lange Abschnitte am Strahl (blau)
    4. Wir zeichnen die Verbindungsgerade vom 4. Punkt am Strahl mit dem Endpunkt der Strecke ein, sowie die 3 Parallelen dazu, jeweils durch die Schnittpunkte der Kreise mit dem Strahl (grün)
    5. Als Resultat erhalten wir die 4 Abschnitte auf der Strecke. Auf Grund der 4 gleich langen Abschnitte am Strahl, teilen die Parallelen auch die Strecke in 4 gleich lange Abschnitte.
    Strahlensatz
    Teilen einer Strecke
    Erster Strahlensatz Verhältnis von Strahlenabschnitten
    Zweiter Strahlensatz Verhältnis von Strahlen- zu Parallelenabschnitten
    Dritter Strahlensatz Verhältnis von Parallelenabschnitten
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    maths2mind®

    Kostenlos und ohne Anmeldung
    Lehrstoff und Aufgabenpool

    verständliche Erklärungen
    schneller Lernerfolg
    mehr Freizeit

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    Illustration - Lady with Laptop
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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