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Fundamentalsatz der Algebra

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    Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)

    Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede ganze rationale Funktion y=pn(x) genau n reelle oder komplexe Nullstellen besitzt, wobei k-fache Nullstellen auch k-fach gezählt werden. Fallen mehrere Nullstellen zusammen, so spricht man von der Vielfachheit der Nullstelle bzw. von k-fachen Nullstellen. Sind alle Koeffizienten a des Polynoms reell, so sind die entsprechenden Nullstellen entweder reell und / oder paarweise konjugiert komplex.

    \(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

    Es handelt sich dabei um einen reinen Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln gibt es etwa für quadratische Gleichungen mit der abc Formel oder der pq Formel. Durch sogenannte Faktorisierung oder Abspaltung von Linearfaktoren (x-xi) wandelt man die Summendarstellung in eine Produktdarstellung um, bei der die Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der Funktion sofort ablesbar sind.


    Bezeichnungen von einfachen Polynomen:

    Grad Bezeichnung allgemeine Schreibweise
    0 konstant \({a_0}\)
    1 linear \({a_1} \cdot z + {a_0}\)
    2 quadratisch \({a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\)
    3 kubisch \({a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\)
    4 quartisch \({a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\)
    5 quintisch \({a_5} \cdot {z^5} + {a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\)
    Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
    Polynom n-ten Grades
    Vielfachheit einer Nullstelle
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    Faktorisieren bzw. Abspaltung von Linearfaktoren bei komplexen Polynomen

    Faktorisieren

    Mit Faktorisieren bezeichnet man die Umwandlung eines Polynoms von der Summendarstellung in eine Produktdarstellung.
    \({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ⇒ \(p\left( z \right) = {p_n}\left( z \right) \cdot \,\,...\,\,\cdot \,{p_2}\left( z \right) \cdot {p_1}\left( z \right)\)


    Abspaltung von Linearfaktoren

    Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich also als Produkt von n Linearfaktoren anschreiben.

    Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten an, .. a0 eine (erste) Lösung z0, so kann man den Linearfaktor (z-z0) abspalten und so das Polynom im Grad reduzieren / vereinfachen.
    \({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ... Summendarstellung

    Ist z 0 eine Lösung (Nullstelle) vom Polynom pn(z)=0, so gilt:
    \({{\text{p}}_n}\left( z \right) = \left( {z - {z_0}} \right) \cdot {q_{n - 1}}\left( z \right)\) ... Produktdarstellung
    wobei q ein einfacheres Polynom - das sogenannte Restglied ist.

    • Wenn z0 eine reelle Zahl (also eine Nullstelle) ist, so ist das Restglied vom Grad n-1.
    • Wenn z0 eine komplexe Zahl ist, so ist das Restglied vom Grad n-2, da komplexe Lösungen immer paarweise auftreten.

    Das Polynom n-ten Grades lässt sich somit durch wiederholte Abspaltung von (komplexen) Linearfaktoren wie folgt faktorisieren:
    \({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot \left( {z - {z_0}} \right) \cdot \left( {z - {z_s}} \right) \cdot ... \cdot \left( {z - {z_n}} \right)\)

    • Für Polynome ohne konstantes Glied gilt: Sie können durch Herausheben der niedrigsten Potenz von z faktorisiert werden.
    • Für Polynome mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten a gilt: Allfällige ganzzahlige Nullstellen sind stets ein Teiler des konstanten Gliedes a0.
    Abspaltung von Linearfaktoren (komplexes Polynom)
    Faktorisieren
    Fragen oder Feedback
    Aufgaben
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 32

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(- 33{x^2} = 333\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
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    Aufgabe 83

    Lösungen einer quadratischen Gleichung

    Die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von deren Koeffizienten ab.

    Aufgabenstellung:
    Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.

    Die quadratische Gleichung \( u{x^2} + vx + w = 0 \) hat genau dann für alle \(u \ne 0{\text{ und }}u,\,v,\,w\,\, \in {\Bbb R}\) ___1___, wenn gilt ___2___

    1  
    zwei reelle Lösungen A
    zwei konjugiert komplexe Lösungen B
    eine Doppellösung C

     

    2  
    \({v^2} - 4uw > 0\) I
    \({u^2} - 4vw > 0\) II
    \({w^2} - 4uv > 0\) III
    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Diskriminante größer Null
    Lösungen einer quadratischen Gleichung - 83. Aufgabe
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