Faktorisieren bzw. Abspaltung von Linearfaktoren bei komplexen Polynomen
Faktorisieren
Mit Faktorisieren bezeichnet man die Umwandlung eines Polynoms von der Summendarstellung in eine Produktdarstellung.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ⇒ \(p\left( z \right) = {p_n}\left( z \right) \cdot \,\,...\,\,\cdot \,{p_2}\left( z \right) \cdot {p_1}\left( z \right)\)
Abspaltung von Linearfaktoren
Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich also als Produkt von n Linearfaktoren anschreiben.
Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten an, .. a0 eine (erste) Lösung z0, so kann man den Linearfaktor (z-z0) abspalten und so das Polynom im Grad reduzieren / vereinfachen.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ... Summendarstellung
Ist z 0 eine Lösung (Nullstelle) vom Polynom pn(z)=0, so gilt:
\({{\text{p}}_n}\left( z \right) = \left( {z - {z_0}} \right) \cdot {q_{n - 1}}\left( z \right)\) ... Produktdarstellung
wobei q ein einfacheres Polynom - das sogenannte Restglied ist.
- Wenn z0 eine reelle Zahl (also eine Nullstelle) ist, so ist das Restglied vom Grad n-1.
- Wenn z0 eine komplexe Zahl ist, so ist das Restglied vom Grad n-2, da komplexe Lösungen immer paarweise auftreten.
Das Polynom n-ten Grades lässt sich somit durch wiederholte Abspaltung von (komplexen) Linearfaktoren wie folgt faktorisieren:
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot \left( {z - {z_0}} \right) \cdot \left( {z - {z_s}} \right) \cdot ... \cdot \left( {z - {z_n}} \right)\)
- Für Polynome ohne konstantes Glied gilt: Sie können durch Herausheben der niedrigsten Potenz von z faktorisiert werden.
- Für Polynome mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten a gilt: Allfällige ganzzahlige Nullstellen sind stets ein Teiler des konstanten Gliedes a0.