Aufgabe 1031
AHS - 1_031 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–4; 4] drei lokale Extremstellen.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 0] eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f'' hat im Intervall [–3; 3] zwei Nullstellen.
- Aussage 5: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Minimum.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Lösungsweg
Achtung: Sehr wichtig:
- Die Aussagen 1, 2, 3 und 5 beziehen sich auf die Funktion f, dargestellt ist aber deren 1. Ableitung f' !!
- Die Aussage 4 bezieht sich auf die Funktion f''(x) also auf die 2. Ableitung von f oder die 1. Ableitung von f'.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil die 1. Ableitung f'(x) hat im Intervall [–4; 4] drei NST. Gemäß der NEW-Regel bedeutet dies, dass die Funktion f(x) an diesen Stellen 3 Extremstellen haben muss.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wenn f'(x) (die 1. Ableitung) unterhalb der x-Achse verläuft - also negativ ist - (also die Steigung < 0 ist), dann muss die Funktion f(x) in diesem Bereich fallend sein.
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil f'(x) im Intervall [–3; 0] eine Extremstelle (HP) hat, muss gemäß der NEW-Regel die Funktion f(x) an dieser Stelle eine Wendestelle haben.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil f'(x) im Intervall [–3; 3] zwei Extremstellen (HP, TP) hat, muss gemäß der NEW-Regel die 2. Ableitung f''(x) an diesen Stellen je eine NST haben.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil an der Stelle x=0 hat zwar die 1. Ableitung f'(x) eine NST, sodass gemäß der NEW-Regel an dieser Stelle zwar eine Extremstelle vorliegen muss, die aber ein Maximum ist.
Begründung: Die Funktionswerte von f'(x) sind links von x=0 positiv → die Steigung ist positv; Die Funktionswerte von f'(x) sind rechts von x=0 negativ → die Steigung ist negativ. Somit geht eine positive Steigung in eine negative Steigung über und an der Stelle x=0 muss ein Maximum vorliegen
Mit Hilfe von Geogebra können wir uns die Zusammenhänge in folgender Illustration veranschaulichen:
Merkhilfe: NEW-Regel:
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
f(x) | N | E | W | ||
f'(x) | N | E | W | ||
f''(x) | N | E | W |
Der Graph der dargestellten Polynomfunktion hat einen typischen s-förmigen Verlauf - dh die 1. Ableitung f'(x) ist vom 3. Grad → die eigentliche Funktion f(x) muss einen Grad höher also 3+1=4. Grad sein
- Über Polynomfunktionen vom 4. Grad wissen wir ganz allgemein:
- 0 .. 4 Nullstellen
- 1 oder 3 Extremstellen
- 0 oder 2 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft w-förmig
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die drei zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.