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Gleichungen von Punkt, Gerade und Ebene

Hier findest du folgende Inhalte

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Geradengleichungen und deren vier Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie oder Hauptform der Geraden.

Bezeichnungen

g beliebige Gerade im Koordinatensystem
X beliebiger Punkt auf der Geraden
\(\lambda \) Parameter, welcher den Richtungsvektor verlängert, verkürzt und/oder dessen Orientierung umkehrt
\(\overrightarrow r\) Richtungsvektor
A, B, P Punkte auf der Geraden
\(\overrightarrow n\) Normalvektor, der im rechten Winkel zur Geraden g steht
\(\overrightarrow {{n_0}}\) Einheitsvektor vom Normalvektor, der im rechten Winkel zur Geraden g steht
k Steigung der Geraden
d Abschnitt auf der y-Achse, auch Ordinatenabschnitt genannt
\(\alpha\) Steigungswinkel der Geraden (=Winkel zwischen g und der x-Achse)

 

Parameterform der Geradengleichung

Bei der Parameterform der Geraden benötigt man einen beliebigen Punkt, den "Aufpunkt" A bzw. P auf der Geraden und einen Vektor \(\overrightarrow r \) oder einen zweiten Punkt B. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann eine Gerade in der Ebene und im Raum eindeutig festgelegt werden. Der Name "Parameterform" leitet sich davon ab, dass man alle Punkte der Geraden dadurch erhält, indem man für den Parameter \(\lambda\) unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt, wobei: \(\lambda \in {\Bbb R}\).

Punkt-Richtungsform der Geradengleichung

Bei der Punkt-Richtungsform der Geraden setzt am Aufpunkt A der Richtungsvektor r auf, der in die Richtung der Geraden zeigt. Die Gerade wird also durch einen Punkt und einen Richtungsvektor definiert

\(\begin{array}{l} g:X = A + \lambda \cdot \overrightarrow r \\ g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Zwei-Punktform der Geradengleichung

Bei der Zwei-Punktform der Geraden setzt an den Aufpunkt A ein Vektor an, der vom Aufpunkt zu einem beliebigen zweiten Punkt B auf der Geraden weist. Die Gerade wird also durch zwei Punkte definiert
\(g:X = A + \lambda \overrightarrow { \cdot AB} \)

Normalform der Geradengleichung (nur in R2 )

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor \(\overrightarrow n \) benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf die Gerade g steht. Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann zwar eine Gerade in der Ebene nicht aber im Raum eindeutig festgelegt werden.

Vektorschreibweise der Normalform der Geradengleichung

Sind von einer Geraden g ein Punkt P und ihr Normalvektor \( \overrightarrow n\) gegeben, so gilt für alle Punkte X der Geraden, dass der bekannte Normalvektor \( \overrightarrow n\) und alle Vektoren \(\overrightarrow {PX} \) normal auf einander stehen, womit ihr Skalarprodukt Null ist. Die Gerade ist also duch einen Punkt und eine Normale auf die eigentliche Gerade definiert.
\(\begin{array}{l} g:\overrightarrow n \cdot X - \overrightarrow n \cdot P = 0\\ g : \overrightarrow n \cdot \left( {X - P} \right) = 0 \end{array}\)

 

Hesse'sche Normalform der Geradengleichung

Bei der Normalvektorform der Geraden g wird ein Punkt P auf der Geraden und ein Vektor n benötigt, der normal (also im rechten Winkel) auf der Geraden g steht. Ersetzt man den Normalvektor \( \overrightarrow n\) durch dessen Einheitsvektor \(\overrightarrow {{n_0}}\), so erhält man die Hesse'sche Normalform. Die Gerade ist also durch einen Punkt und einen Vektor der Länge 1 in Richtung der Normalen auf die eigentliche Gerade definiert.

\(\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {X - P} \right) = 0\)

Allgemeine Form der Geradengleichung

Bei der allgmeinen bzw. impliziten Form einer Geraden sind die Koeffizienten a und b zugleich die Koordinaten des Normalvektors \(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\) und die Variablen x und y sind die Koordinaten aller jener Punkte \(X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)\), die auf der Geraden liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a und b jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} g:a \cdot x + b \cdot y + c = 0\\ g(x) = - \dfrac{a}{b} \cdot x - \dfrac{c}{b}\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right) \end{array}\)

Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten vom Normalvektor.

Hauptform der Geradengleichung

Bei der Hauptform der Geraden sind die Steigung k der Geraden und der Ordinatenabschnitt der Geraden gegeben. Man nennt diese Darstellungsform auch die explizite Form der Geraden. Dabei handelt es sich um eine lineare Funktion also eine vektorfreie Form der Geraden.

Hauptform einer Geraden,
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & y = k\left( {x - {A_x}} \right) + {A_y} \cr}\)

 

Umrechnung Parameterform in die parameterfreie Hauptform der Geraden

Um die Geradengleichung von der Parameterform \(X = P +\lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) +\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) in die parameterfreie (Haupt)Form \(y = kx + d\) zu bringen, spaltet man sie in eine Gleichung für die x-Koordinate und in eine Gleichung für die y-Koordinate auf und eliminiert den Parameter t

\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{P_x}}& + &{\lambda \cdot {r_x}}\\ y& = &{{P_y}}& + &{\lambda \cdot {r_y}} \end{array}\)

Umrechnung parameterfrei Hauptform in die Parameterform der Geraden

Um die Geradengleichung von der parameterfreien (Haupt)Form \(y = kx + d\) in die Parameterform \(X = P + \lambda \cdot \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}}\\ {{r_y}} \end{array}} \right)\) zu bringen,

  • ermittelt man einen bel. Punkt auf der Geraden, z. B.: in dem man y=0 setzt
  • ermittelt man den Normalvektor \(\overrightarrow n\), dessen Koordinaten die Koeffizienten der Hauptform \(y - kx = d\) sind, und wendet anschließend die Links-Kipp-Regel an: \(\overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_y}}\\ {{n_x}} \end{array}} \right)\)

Umrechnung von der Parameterform auf die allgemeine Form der Geraden

Gegeben ist die Parameterform in Koordinatenschreibweise
\(g:\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x}}\\ {{A_y}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\)

1. Schritt: Zeilenweises Anschreiben der Parameterform:
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& = &{{A_x}}& + &{t \cdot {a_x}}\\ y& = &{{A_y}}& + &{t \cdot {a_y}} \end{array}\)

2. Schritt: t eliminieren vom Parameter t:
\(\begin{array}{l} y - {A_y} = t \cdot {a_y} \to t = \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}}\\ x = {A_x} + \dfrac{{y - {A_y}}}{{{a_y}}} \cdot {a_x}\,\,\,\,\,\left| {:{a_x}} \right.\\ \dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} + \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}} \end{array}\)

3. Schritt: Anschreiben in der allgemeinen Form:
\(\dfrac{1}{{{a_x}}} \cdot x - \dfrac{1}{{{a_y}}} \cdot y = \dfrac{{{A_x}}}{{{a_x}}} - \dfrac{{{A_y}}}{{{a_y}}}\)

Umrechnung von der Normalform bzw. der Parameterform in die Hauptform der Geraden

\(\begin{array}{l} k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \dfrac{{{n_x}}}{{{n_y}}} = \dfrac{{{B_y} - {A_y}}}{{{B_x} - {A_x}}} = tan\left( \alpha \right) = - \dfrac{a}{b}\\ d = \dfrac{c}{{{n_y}}} = - \dfrac{c}{b} \end{array}\)

Parameterform der Geraden
Allgemeine Form der Geradengleichung
Hauptform der Geradengleichung
Normalform einer Geraden
Geradengleichungen und deren Darstellungsformen
Hessesche Normalform der Geraden
Ordinatenabschnitt
Punkt-Richtungsform der Geradengleichung
Gerade

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Ebenengleichungen und ihre drei Darstellungsformen

In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt, nachfolgend die Parameterform, die Normalvektorform und die allgemeine Form der Ebenengleichung

X=(x,y,z) beliebiger Punkt der Ebene
P fester Punkt der Ebene, Aufpunkt
\(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen
u, v Parameter
\(\overrightarrow n\) Normalvektor der Ebene

Parameterform der Ebenengleichung

Es handelt sich bei beiden nachfolgend angeführten Schreibweisen um "Parameterformen" der Ebene, da man alle Punkte der Ebene dadurch erhält, indem man für die Parameter u und v unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt.

​Ebene in Koordinatenschreibweise

Jeder Punkt X der Ebene \(\varepsilon\)  kann ausgehend von einem Startpunkt \({\rm{P}} \in \varepsilon\) entlang zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)erreicht werden.
\(\varepsilon :X = P + u.\overrightarrow a + v.\overrightarrow b \)

\(\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = P + u \cdot \overrightarrow a + v \cdot \overrightarrow b \)

\(\varepsilon :\left\{ \matrix{ x = {p_x} + u \cdot {a_x} + v \cdot {b_x} \cr y = {p_y} + u \cdot {a_y} + v \cdot {b_y} \cr z = {p_y} + u \cdot {a_z} + v \cdot {b_z} \cr} \right.\)

Ortsvektor zu jedem Punkt X in der Ebene

Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem Punkt X

\(\overrightarrow x = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u \cdot \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + v \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)

Ebene durch 3 Punkte

Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

\(P\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right);\,\,\,Q\left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right);\,\,\,R\left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)

2 Richtungsvektoren spannen die Ebene auf:

\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right);\,\,\,\overrightarrow {PR} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)

Somit lautet die Ebenengleichung durch den Aufpunkt P und aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren:

\(\varepsilon :X = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)

Normalvektorform der Ebenengleichung

Bei der Normalvektorform der Ebene \(\varepsilon\) wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n\), welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser Bestimmungsgröße kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden. Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung

Normalvektorform der Ebene, wenn der Aufpunkt P bekannt ist

\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow X - P} \right) = 0\\ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow X - \overrightarrow n \cdot P = 0 \end{array}\)

Normalvektorform der Ebene, wenn der senkrechte Abstand d vom Koordinatenursprung bekannt ist

Es gehören all jene Punkte X zur Ebene, für die das Skalarprodukt aus deren Ortsvektor mit dem Normalvektor dem minimalen Abstand vom Ursprung d entsprechen

\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \overrightarrow X = d\)

Hessesche Normalform der Ebene.

Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung vom Abstand eines Punktes im Raum von der Ebene. Ersetzt man den Normalvektor durch dessen Einheitsvektor, so erhält man die hessesche Normalform

\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cdot (X - P) = 0\\ \varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_x}}\\ {{x_y}}\\ {{x_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0 \end{array}\)

Allgemeine Form der Ebenengleichung

Bei der allgmeinen Form einer Ebene sind die Koeffizienten a, b und c zugleich die Koordinaten des Normalvektors und die Variablen x, y und z sind die Koordinaten all jener Punkte X, die auf der Ebene liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a, b und c jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.

\(\begin{array}{l} \varepsilon :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)

Parameterform der Ebenengleichung
Normalvektorform der Ebenengleichung
Allgemeine Form der Ebenengleichung
Hessesche Normalform der Geraden bzw. der Ebene
Normalvektor zur Ebene
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Lagebeziehung zweier Punkte

Zwei Punkte im Raum können ident bzw. deckungsgleich sein, oder sie können einen Abstand von einander haben. Wenn sie nicht ident sind, kann man sie durch eine Gerade verbinden. Die Strecke PQ auf der Geraden g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten.

  • \(\begin{array}{l} \left\{ {P,Q,R} \right\} \in g\\ d\left( {P,R} \right) = \left| {\overrightarrow {PR} } \right| = 0\\ d(P,Q) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| \ne 0 \end{array}\)

Gerade f Gerade f: Linie A, B Strecke g Strecke g: Strecke A, B Punkt A A = (2.15, 10.88) Punkt A A = (2.15, 10.88) Punkt B B = (7.18, 8.93) Punkt B B = (7.18, 8.93) Punkt E E = (2.38, 10.92) Punkt E E = (2.38, 10.92) P Text1 = “P” Q Text2 = “Q” R Text3 = “R” g Text4 = “g” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$” $d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$ Text5 = “$d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right|$”

Punkt in Koordinatenform

Punkte im Raum werden durch ihre Koordinaten oder ihren Ortsvektor angegeben.
\(P\left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right);\,\,\,Q\left( \begin{array}{l} {Q_x}\\ {Q_y}\\ {Q_z} \end{array} \right);\)

Punkt als Ortsvektor

Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Punktes weist. Zu jedem Punkt gibt es exakt einen Ortsvektor.

\(\overrightarrow P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right);\)

Richtungsvektor von P nach Q

Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der in die Richtung der Strecke vom ersten Punkt zum zweiten Punkt weist. Der Richtungsvektor hat seinen Anfang nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sonder er ist die Verbindung zweier Ortsvektoren. Der Richtungsvektor definiert ledig die Richtung und die Orientierung der Verbindung der beiden Punkte, jedoch nicht den Abstand der beiden Punkte. D.h. ein Richtungsvektor kann mit einem Skalar multipliziert bzw. parallel verschoben werden, ohne dass sich etwas an seiner Aussagekraft ändert. Es gibt also unendlich viel Richtungsvektoren die von P nach Q weisen.
\(\overrightarrow {PQ} = \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)

Parameterform der Geraden

Die Parameterform der Geraden setzt sich aus einem Aufpunkt zusammen und einem dort ansetzendem Richtungsvektor. Durch Parametervariation von \(\lambda \) erhält man alle Punkte X, die auf der Geraden g liegen
\(g:X = \left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)

Abstand d zweier Punkte

Der Abstand zweier Punkte im Raum kann mit Hilfe vom Satz des Pythagoras formuliert werden, als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Abstände je Koordinatenachse.

\(d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} \)

Abstand zweier Punkte
Lagebeziehung zweier Punkte
Vektor zwischen 2 Punkten
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Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade

Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden

  • \(P \in g\)
  • \(P \notin g\)

Gerade f Gerade f: Linie E, F Punkt A A = (-3.7, 11.93) Punkt A A = (-3.7, 11.93) Punkt E E = (-5.88, 11.7) Punkt E E = (-5.88, 11.7) $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$ Text1 = “$\begin{array}{l} {P_1} \in g\\ {P_1} \cap g = \left\{ {{P_1}} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” $\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} {P_2} \notin g\\ {P_2} \cap g = \left\{ {} \right\} \end{array}$” g Text3 = “g”

Prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt

Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn er für alle Koordinatenachsen die Geradengleichung erfüllt

Gegeben sei ein Punkt und eine Gerade

\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)\)

Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{P_x}}& = &{{Q_x}}& + &{{\lambda _1}.{v_x}}& \Rightarrow &{{\lambda _1} = \frac{{{P_x} - {Q_x}}}{{{v_x}}}}\\ {{P_y}}& = &{{Q_y}}& + &{{\lambda _2}.{v_y}}& \Rightarrow &{{\lambda _2} = \frac{{{P_y} - {Q_y}}}{{{v_y}}}}\\ {{P_z}}& = &{{Q_z}}& + &{{\lambda _3}.{v_z}}& \Rightarrow &{{\lambda _3} = \frac{{{P_z} - {Q_z}}}{{{v_z}}}} \end{array}\)

→ Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es für alle Koordinatenachsen einen einzigen und somit einheitlichen Parameter \(\lambda\) gibt, sodass der Punkt die Geradengleichung erfüllt

\({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} \Rightarrow P \in \overrightarrow g\)

→ Der Punkt liegt außerhalb der Geraden, wenn es für einzelne Koordinatenachsen unterschiedliche Parameter \(\lambda\) gibt.

Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt:

\(\eqalign{
& y = k \cdot x + d \cr
& P\left( {{P_x}|{P_y}} \right) \cr
& \cr
& P \to y \cr
& {P_y} = k \cdot {P_x} + d \to {\text{wahre Aussage}} \cr} \)

Normalabstand eines Punktes von einer Geraden

Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden entspricht dem Abstand des Punkts zu seinem Lotpunkt auf der Geraden. Der Lotpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene, die einerseits den Punkt enthält und die andererseits orthogonal zur Geraden steht.

  • Man stellt zunächst die Gleichung einer Ebene n auf, die durch den Punkt P verläuft und orthogonal zur Geraden g liegt.
  • Dann bestimmt man den Lotfußpunkt, das ist jener Punkt L, in dem die Gerade g die Ebene n durchstößt.
  • Abschließend bestimmt man den Abstand des Punktes P vom Lotfußpunkt L.

\(\begin{array}{l} d\left( {P,g} \right) = \left| {\overrightarrow {PL} } \right| = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \times \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\ d\left( {P,g} \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right)} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} }} = Skalar \end{array}\)

Lagebeziehung Punkt und Gerade
Punkt auf Gerade
Punkt nicht auf Gerade
Abstand Punkt von Gerade
Normalabstand Punkt zu Gerade
Wissenspfad

Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene

Entweder liegt der Punkt in der Ebene oder außerhalb der Ebene, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene​.

  • \(P∈ε\)
  • \(Q∉ε\)

Viereck v1 Viereck v1: Polygon H, G, F, E Strecke h Strecke h: Strecke H, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke f Strecke f: Strecke F, E Strecke e Strecke e: Strecke E, H Punkt I I = (3.04, 3.28) Punkt I I = (3.04, 3.28) Punkt J J = (5.62, 7.57) Punkt J J = (5.62, 7.57) ε Text1 = “ε” $P \in \varepsilon $ Text2 = “$P \in \varepsilon $” $P \in \varepsilon $ Text2 = “$P \in \varepsilon $” $P \in \varepsilon $ Text2 = “$P \in \varepsilon $” $Q \notin \varepsilon $ Text3 = “$Q \notin \varepsilon $” $Q \notin \varepsilon $ Text3 = “$Q \notin \varepsilon $” $Q \notin \varepsilon $ Text3 = “$Q \notin \varepsilon $” $Q \notin \varepsilon $ Text3 = “$Q \notin \varepsilon $”

Prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt

Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn er für alle Koordinatenachsen die Ebenengleichung erfüllt

Gegeben sei ein Punkt und eine Ebene

\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon :X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

Wir prüfen ob der Punkt die Ebenegleichung erfüllt.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)

→ Aus den drei Gleichungen für die x, y und z Komponente kann man die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen

Normalabstand eines Punktes von einer Ebene

zunächst bestimmt man den Normalvektor zur Ebene
Merkregel: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)"

\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} \cdot {w_z} - {v_z} \cdot {w_y}}\\ {{v_z} \cdot {w_x} - {v_x} \cdot {w_z}}\\ {{v_x} \cdot {w_y} - {v_y} \cdot {w_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right)\)

dann schreiben wir die Normalform der Ebene an
\(\varepsilon {\rm{:}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_x}}\\ {{X_y}}\\ {{X_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0\)

bzw. die Hesse'sche Normalform der Ebene, für die wir lediglich normieren müssen
\(\varepsilon {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow x - \overrightarrow q } \right) = 0\)

Letztlich können wir den Abstand d wie folgt anschreiben
\(d\left( {P,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow {{n_0}} } \right|\)

mit \(\overrightarrow {{n_0}} = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Lagebeziehung Punkt und Ebene
Punkt in der Ebene
Punkt außerhalb der Ebene
Abstand Punkt von Ebene
Normalabstand Punkt zu Ebene

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Lagebeziehung zweier Geraden

Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, normal, schneidend oder windschief zu einander sein

Implizite Darstellung zweier Geraden:

\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\)

Explizite Darstellung zweier Geraden:

\(\eqalign{ & y = {k_1}x + {d_1} \cr & y = {k_2}x + {d_2} \cr}\)

Umrechnung zwischen impliziter und expliziter Darstellungsform

\({k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,\,\,{d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}}\)

Identische Geraden

Zwei Geraden sind identisch, wenn alle bzw. mindestens 2 Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade sind. Die beiden Geraden fallen dann zusammen.Zwei Geraden sind identisch, wenn die beiden Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = g = h\)

Das Gleichungssystem für 2 deckungsgleiche Geraden hat unendlich viele Lösungen:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} = {d_2} \cr} \)

Parallele Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\). Für parallele Gerade kann man einen Abstand zwischen den Geraden angeben.

Das Gleichungssystem für 2 parallele Geraden hat keine Lösung:

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} \ne {d_2} \cr} \)

Schneidende Geraden

Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, haben. Zwei Geraden schneiden einander, wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\) Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt.

Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\).

\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\)

\(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \)

Windschiefe Geraden

Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief, wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\)

Das Gleichungssystem für 2 windschiefe Geraden hat keine Lösung

Illustration identischer, paralleler, schneidender und windschiefer Geraden

Winkel α Winkel α: Winkel zwischen W, U, V Winkel α Winkel α: Winkel zwischen W, U, V Gerade f Gerade f: Linie E, F Gerade g Gerade g: Linie G, H Gerade h Gerade h: Linie I, J Gerade i Gerade i: Linie K, L Gerade j Gerade j: Linie M, N Gerade k Gerade k: Linie O, P Strahl l Strahl l: Strahl durch Q, S Strahl m Strahl m: Strahl durch R, T Punkt U Punkt U: Schnittpunkt von i, j Punkt U Punkt U: Schnittpunkt von i, j S Text1 = “S” g Text2 = “g” h Text3 = “h” g Text4 = “g” h Text5 = “h” g Text6 = “g” h Text7 = “h” g Text8 = “g” h Text9 = “h” α Text10 = “α”

Normale Geraden

Eine Gerade n steht auf die Gerade g mit der Steigung k \(\left( {k \ne 0} \right)\) dann normal / senkrecht / im rechten Winkel, wenn die Steigung von n: \( - \dfrac{1}{k}\) beträgt. Im Spezialfall von k=0 nennt man die Gerade g eine horizontale Gerade und jede vertikale Gerade ist eine normale Gerade dazu.

Illustration einer Geraden und der Normalen dazu

Sektor c Sektor c: Kreissektor[E, F, G] Sektor c Sektor c: Kreissektor[E, F, G] Funktion g_1 g_1(x) = Wenn[-2 < x < 6, 0.4x + 2] Funktion g_2 g_2(x) = Wenn[1 < x < 4, 3 - 5 / 2 (x - 2.5)] Strecke u Strecke u: Strecke [A, B] Vektor f Vektor f: Vektor[B, C] Vektor f Vektor f: Vektor[B, C] Vektor h Vektor h: Vektor[B, D] Vektor h Vektor h: Vektor[B, D] Punkt H H = (2.63, 3.36) Punkt H H = (2.63, 3.36) $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" $g = k \cdot x + d$ Text1 = "$g = k \cdot x + d$" n Text2 = "n" k Text3 = "k" $ - \frac{1}{k}$ Text4 = "$ - \frac{1}{k}$" $ - \frac{1}{k}$ Text4 = "$ - \frac{1}{k}$" $ - \frac{1}{k}$ Text4 = "$ - \frac{1}{k}$" $ - \frac{1}{k}$ Text4 = "$ - \frac{1}{k}$" 1 Text5 = "1" d Text6 = "d"

Schnittpunkt S von zwei Geraden

Den Schnittpunkt von zwei Geraden, so es ihn überhaupt gibt, erhält man, indem man die beiden Geraden gleichsetzt, da der Schnittpunkt beiden Geradengleichungen entsprechen muss

  • indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt und die Parameter u und v berechnet
  • dann setzt man die beiden Parameter u und v in die jeweilige Geradengleichung ein. Erhält man eine wahre Aussage so gibt es tatsächlich einen Schnittpunkt.
  • um die Koordinaten vom Schnittpunkt zu berechnen, setzt man u in \(\overrightarrow g\) ein oder alternativ v in \(\overrightarrow h\).

\(\eqalign{ & \overrightarrow g = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr & \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel schneidender Geraden

Um den Schnittwinkel schneidender Geraden zu bestimmen bilden wir den Quotienten aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der beiden Richtungsvektoren und berechnen davon den Arkuskosinus

\(\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }}\)

Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind.

Abstand zweier windschiefer Geraden

Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g,h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.

Gegeben sind also zwei windschiefe Gerade g, h, jeweils durch einen Ortsvektor p, q  zu einem Aufpunkt P, Q und je einen Richtungsvektor a, b

\(\begin{array}{l} \overrightarrow g = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow h = \overrightarrow q + \mu \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_x}}\\ {{q_y}}\\ {{q_z}} \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)

Der gemeinsame Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren ergibt sich mit Hilfe vom Kreuzprodukt wie folgt:

\(\overrightarrow n = \overrightarrow a \times \overrightarrow b \)

Der Abstand der windschiefen Geraden ergibt sich mit Hilfe vom Skalarproukt zu

\(d = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow q - \overrightarrow p } \right) \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)

Illustration zum Abstand zweier windschiefer Geraden

Viereck v1 Viereck v1: Polygon K, L, J, I Viereck v2 Viereck v2: Polygon M, N, P, O Winkel β Winkel β: Winkel zwischen r, h Winkel β Winkel β: Winkel zwischen r, h Winkel α Winkel α: Winkel zwischen r, q Winkel α Winkel α: Winkel zwischen r, q Strecke k Strecke k: Strecke K, L Strecke l Strecke l: Strecke L, J Strecke j Strecke j: Strecke J, I Strecke i Strecke i: Strecke I, K Strecke m Strecke m: Strecke M, N Strecke n Strecke n: Strecke N, P Strecke p Strecke p: Strecke P, O Strecke o Strecke o: Strecke O, M Strecke h Strecke h: Strecke Q, R Strecke q Strecke q: Strecke S, T Strecke r Strecke r: Strecke F, G Punkt E E = (3, 10) Punkt E E = (3, 10) Punkt F F = (14, 8) Punkt F F = (14, 8) Punkt G G = (14, 4) Punkt G G = (14, 4) Punkt H H = (4.06, 2.38) Punkt H H = (4.06, 2.38) Punkt U U = (14.5, 7.53) Punkt U U = (14.5, 7.53) Punkt V V = (14.46, 3.59) Punkt V V = (14.46, 3.59) g Text1 = “g” h Text2 = “h” d(g,h) Text3 = “d(g,h)” E_g Text4 = “E_g” E_g Text4 = “E_g” E_h Text5 = “E_h” E_h Text5 = “E_h” P Text6 = “P” Q Text7 = “Q”

Lagebeziehung zweier Geraden
Parallele Geraden
Windschiefe Geraden
Schneidende Geraden
Komplanare Geraden
Rechtwinkelige Geraden
Schnittpunkt zweier Geraden
Schnittwinkel schneidender Geraden
Abstand zweier windschiefer Geraden
Wissenspfad

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene

Eine Gerade kann eine Ebene schneiden, zur Ebene parallel verlaufen oder in der Ebene liegen. Um herauszufinden wie die Lagebeziehung ist, setzt man die Gleichung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein.

Entweder

  • schneidet die Gerade die Ebene,

    • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau einer Lösung
  • verläuft die Gerade parallel zur Ebene
    • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau keiner Lösung
  • liegt die Gerade in der Ebene
    • Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu unendlich vielen Lösungen

Viereck v1 Viereck v1: Polygon H, G, F, E Gerade i Gerade i: Linie K, J Strecke h Strecke h: Strecke H, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke f Strecke f: Strecke F, E Strecke e Strecke e: Strecke E, H Strahl l Strahl l: Strahl durch O, N Strecke m Strecke m: Strecke O, P Strahl n Strahl n: Strahl durch P, Q Strecke p Strecke p: Strecke R, S Punkt O O = (6.32, 3.75) Punkt O O = (6.32, 3.75) ε Text1 = “ε” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$ Text3 = “$\begin{array}{l} g \notin \varepsilon \\ g \cap \varepsilon = \left\{ {} \right\}\\ g\parallel \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$ Text5 = “$\begin{array}{l} i \in \varepsilon \\ i \cap \varepsilon = i\\ i \subseteq \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” $\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$ Text6 = “$\begin{array}{l} h \notin \varepsilon \\ h \cap \varepsilon = \left\{ S \right\}\\ S \in \varepsilon \end{array}$” g Text2 = “g” h Text4 = “h” i Text7 = “i”

Spurpunkt

Als Spurpunkt bezeichnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, die von zwei Achsen des Koordinatensystems aufgespannt wird.

  • Sx ist der Durchstoßpunkt durch die yz-Ebene
  • Sy ist der Durchstoßpunkt durch die xz-Ebene
  • Sz ist der Durchstoßpunkt durch die xy-Ebene

Man bestimmt den Spurpunkt mit folgenden zwei Schritten:

  • Abhängig vom Spurpunkt Si setzt man die i-te Zeile der Geradengleichung gleich Null und bestimmt den Wert von Lambda.
  • Man setzt Lambda in die verbleibenden Zeilen der Geradengleichung ein und erhält so die fehlenden Komponenten des Spurpunkts

\(\begin{array}{l}
g:\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right)\\
{S_y} = {A_y} + \lambda \cdot {r_y} = 0 \to \lambda = - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}}\\
S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_x}}}{{{r_y}}}}\\
0\\
{{A_z} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_z}}}{{{r_y}}}}
\end{array}} \right)
\end{array}\)

Schnittpunkt Gerade und Ebene

Man setzt die Gleichung der Geraden mit der Gleichung der Ebene gleich. Der gemeinsame Punkt ist der Schnittpunkt.

\(\overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b\)

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der Parameterform

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:\overrightarrow X = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Wir setzen nun die Gerade und die Ebene gleich, um den Schnittpunkt zu finden:

\(\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)

Somit haben wir für x, y und z jeweils eine eigene Gleichung, also 3 Gleichungen aus denen wir die 3 Unbekannten \(\lambda ,\sigma {\text{ und }}\tau\) ermitteln können.

Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der parameterfreien Form

\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:{n_1} \cdot x + {n_2} \cdot y + {n_3} \cdot z + {c_1} = 0 \cr} \)

Aus der Geradengleichung ...

\(\eqalign{ & x = \left( {{p_x} + \lambda \cdot {v_x}} \right) \cr & y = \left( {{p_y} + \lambda \cdot {v_y}} \right) \cr & z = \left( {{p_z} + \lambda \cdot {v_z}} \right) \cr}\)

... und durch Einsetzen in die Ebenengleichung errechnet sich die einzige Unbekannte \(\lambda\)

\(\eqalign{ & {\rm{E:}}\,\,\,{{\rm{n}}_1} \cdot \left( {{p_x} + \lambda {v_x}} \right) + {n_2} \cdot \left( {{p_y} + \lambda {v_y}} \right) + {n_3} \cdot \left( {{p_z} + \lambda {v_z}} \right) + {c_1} \cr & \overrightarrow {0S} = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) \cr}\)

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene.

Gerade, gegeben durch ihren Richtungsvektor:

\(\overrightarrow r = \left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)

Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow n = \left( {\matrix{ {{n_x}} \cr {{n_y}} \cr {{n_z}} \cr } } \right)\)

Daraus ergibt sich der Schnittwinkel wie folgt:

\(\eqalign{ & \varphi = \arcsin {{\left| {\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow r } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \varphi = \arcsin {{\left| {{r_x} \cdot {n_x} + {r_y} \cdot {n_y} + {r_z} \cdot {n_z}} \right|} \over {\sqrt {{r_x}^2 + {r_y}^2 + {r_z}^2} .\sqrt {{n_x}^2 + {n_y}^2 + {n_z}^2} }} \cr}\)

Lagebeziehung Gerade und Ebene
Schnittpunkt Gerade und Ebene
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Spurpunkt
Wissenspfad

Lagebeziehung zweier Ebenen

Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen - so sie sich überhaupt schneiden - entspricht dem spitzen Winkel zwischen den Normalvektoren der beiden Ebenen, wobei diese beiden Normalvektoren einen gemeinsamen Punkt auf der Schnittgerade der beiden Ebenen haben müssen.

Viereck v1 Viereck v1: Polygon F, E, G, H Viereck v2 Viereck v2: Polygon I, J, L, K Viereck v5 Viereck v5: Polygon A_1, B_1, U, D_1 Viereck v6 Viereck v6: Polygon F_1, E_1, D_1, G_1 Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon H_1, I_1, J_1 Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon H_1, I_1, J_1 Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon K_1, L_1, M_1 Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon K_1, L_1, M_1 Viereck v8 Viereck v8: Polygon P_1, S_1, R_1, Q_1 Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon C_2, E_2, D_2 Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon C_2, E_2, D_2 Viereck v9 Viereck v9: Polygon E_2, F_2, G_2, D_2 Viereck v10 Viereck v10: Polygon B_2, C_2, D_2, A_2 Winkel α Winkel α: Winkel zwischen c, d Winkel α Winkel α: Winkel zwischen c, d Strecke f Strecke f: Strecke F, E Strecke e Strecke e: Strecke E, G Strecke g Strecke g: Strecke G, H Strecke h Strecke h: Strecke H, F Strecke i Strecke i: Strecke I, J Strecke j Strecke j: Strecke J, L Strecke l Strecke l: Strecke L, K Strecke k Strecke k: Strecke K, I Strecke q Strecke q: Strecke Q, R Strecke r Strecke r: Strecke S, T Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke A_1, B_1 Strecke b_1 Strecke b_1: Strecke B_1, U Strecke u_1 Strecke u_1: Strecke U, D_1 Strecke d_1 Strecke d_1: Strecke D_1, A_1 Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke F_1, E_1 Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke E_1, D_1 Strecke s Strecke s: Strecke D_1, G_1 Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke G_1, F_1 Strecke t Strecke t: Strecke E_1, A_1 Strecke a Strecke a: Strecke B_1, V Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke H_1, I_1 Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke I_1, J_1 Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke J_1, H_1 Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke K_1, L_1 Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke L_1, M_1 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke M_1, K_1 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke P_1, S_1 Strecke s_1 Strecke s_1: Strecke S_1, R_1 Strecke r_1 Strecke r_1: Strecke R_1, Q_1 Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke Q_1, P_1 Strecke b Strecke b: Strecke T_1, U_1 Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke C_2, E_2 Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke E_2, D_2 Strecke e_2 Strecke e_2: Strecke D_2, C_2 Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke E_2, F_2 Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke F_2, G_2 Strecke h_2 Strecke h_2: Strecke G_2, D_2 Strecke d_2 Strecke d_2: Strecke D_2, E_2 Strecke b_2 Strecke b_2: Strecke B_2, C_2 Strecke c_2 Strecke c_2: Strecke C_2, D_2 Strecke i_2 Strecke i_2: Strecke D_2, A_2 Strecke a_2 Strecke a_2: Strecke A_2, B_2 Vektor c Vektor c: Vektor(V_1, W_1) Vektor c Vektor c: Vektor(V_1, W_1) Vektor d Vektor d: Vektor(V_1, Z_1) Vektor d Vektor d: Vektor(V_1, Z_1) Punkt V_1 Punkt V_1: Punkt auf b Punkt V_1 Punkt V_1: Punkt auf b ε_1 Text1 = “ε_1” ε_1 Text1 = “ε_1” ε_2 Text2 = “ε_2” ε_2 Text2 = “ε_2” ε_3 Text3 = “ε_3” ε_3 Text3 = “ε_3” ${n_{\varepsilon 3}}$ Text4 = “${n_{\varepsilon 3}}$” ${n_{\varepsilon 3}}$ Text4 = “${n_{\varepsilon 3}}$” ${n_{\varepsilon 3}}$ Text4 = “${n_{\varepsilon 3}}$” ${n_{\varepsilon 4}}$ Text5 = “${n_{\varepsilon 4}}$” ${n_{\varepsilon 4}}$ Text5 = “${n_{\varepsilon 4}}$” ${n_{\varepsilon 4}}$ Text5 = “${n_{\varepsilon 4}}$” ε_4 Text6 = “ε_4” ε_4 Text6 = “ε_4” φ Text7 = “φ”

1. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\matrix{ {{n_{1x}}} \cr {{n_{1x}}} \cr {{n_{1z}}} \cr } } \right)\)

2. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:

\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\matrix{ {{n_{2x}}} \cr {{n_{2y}}} \cr {{n_{2z}}} \cr } } \right)\)

Somit errechnet sich der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen:

\(\eqalign{ & \varphi = \arccos \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \circ \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \cr & \varphi = \arccos \frac{{\left| {{n_{1x}} \cdot {n_{2x}} + {n_{1y}} \cdot {n_{2y}} + {n_{1z}} \cdot {n_{2z}}} \right|}}{{\sqrt {{n_{1x}}^2 + {n_{1y}}^2 + {n_{1z}}^2} .\sqrt {{n_{2x}}^2 + {n_{2y}}^2 + {n_{2z}}^2} }} \cr} \)

Lagebeziehung zweier Ebenen
Schnittwinkel zweier Ebenen