Dreiecke

Allgemeines Dreieck

Ein allgemeines Dreieck erhält man, indem man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken verbindet.

\(\begin{array}{l} a \ne b \ne c\\ \gamma \ne 90^\circ \end{array}\)

• Mit drei Bestimmungsstücken (Seitenlänge, Innenwinkel), von denen mindestens eines eine Seitenlänge sein muss, ist ein Dreieck eindeutig definiert
• Rechtwinkelige Dreiecke sind in der technischen Praxis der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Dreiecke. Nur für diesen Spezialfall gilt der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Höhen kann man allgemeine Dreiecke in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen.
• Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber
• Mindestens zwei der drei Innenwinkel sind spitze Winkel

Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Im allgemeinen Dreieck ist es üblich, die Dreieckseiten mit a, b und c zu beschriftet. Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind:

• Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „\(\alpha\)“
• Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „\(\beta\)“
• Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „\(\gamma\)“
• Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet

Illustration zur Beschriftung im allgemeinen Dreieck

Dreiecksungleichungen

Die Dreiecksungleichungen besagen, dass die Summe zweier Seitenlängen immer größer ist, als die dritte Seite

\(a + b > c;\,\,\,\,\,a + c > b;\,\,\,\,\,b + c > a\)

Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

• Innenwinkel: Die Summe aller 3 Innenwinkel beträgt 180°
  \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• Außenwinkel: Die Summe aller 3 Außenwinkel beträgt 360°
• Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel (er ergänzt den Innenwinkel auf 180°) ist immer gleich groß, wie die Summe der zwei nicht anliegenden Innenwinkel

Illustration zur Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

Sinussatz

Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.

Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.

\(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Kosinussatz

Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz für Dreiecke MIT rechtem Winkel. Man sieht das auch sofort, da der Subtrahend im Kosinussatz zu null wird, weil der Kosinus von 90° null ist. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

\(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \left( {\angle ac} \right)\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \left( {\angle ab} \right) \end{array}\)

Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.

Umfang eines allgemeinen Dreiecks

Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

Trigonometrische Flächenformel

Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels:

\(A = \dfrac{{b \cdot c}}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{{a \cdot c}}{2} \cdot \sin \beta = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \gamma\)

Heron'sche Flächenformel

Die Heron'sche Flächenformel dient zur Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks, wenn alle 3 Seitenlängen a, b und c gegeben sind. Man erspart es sich dabei den Zwischenschritt, eine der Dreieckshöhen auszurechnen.

\(\begin{array}{l} s = \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ A = \sqrt {s \cdot \left( {s - a} \right) \cdot \left( {s - b} \right) \cdot \left( {s - c} \right)} \end{array}\)

Aufteilung eines allgemeinen Dreiecks in zwei rechtwinkelige Dreiecke

Mit Hilfe der Höhen ist es möglich aus einem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinkelige Dreiecke zu machen, für die dann wieder der Satz vom Pythagoras gilt.

\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \gamma = c \cdot \sin \beta \cr & {h_b} = c \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \gamma \cr & {h_c} = a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha \cr} \)

Für die Gültigkeit obiger Formeln muss die Seite c nicht die Hypotenuse sein, der Seite a muss aber der Winkel \(\alpha \) gegenüber liegen, usw.

Illustration eines allgemeinen Dreiecks, welches entlang der Höhe h_b in zwei rechtwinkelige Dreiecke aufgeteilt wird

Umkreisradius vom allgemeinen Dreieck

Jedes allgemeine Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt auf der Streckensymmetrale liegt. Bei spitzwinkeligen Dreiecken liegt er im Dreiecksinneren, bei rechtwinkeligen Dreiecken liegt er am Mittelkreis der Hypotenuse und bei einem Dreieck bei dem ein Winkel größer als 90° ist, liegt er außerhalb vom Dreieck.

\({r_U} = \dfrac{a}{{2 \cdot \sin \alpha }} = \dfrac{b}{{2 \cdot \sin \beta }} = \dfrac{c}{{2 \cdot \sin \gamma }} = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot A}}\)

Illustration vom Umkreis eines allgemeinen Dreiecks

Gleichschenkeliges Dreieck

Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis. Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall vom gleichschenkeligen Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Man spricht dann aber wieder von "Seiten" und nicht von "Schenkeln".

Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck

Die Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck sind gleich groß
\(\alpha = \beta ;\,\,\,\gamma \ne 90^\circ \)

Schenkel vom gleichschenkeligen Dreieck

Die Schenkel vom gleichschenkeligen Dreiecksind gleich lang
\(a = b \ne c\)

Schenkellänge im gleichschenkeligen Dreieck

Die Länge der Schenkel im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Länge der Basis und aus der Höhe auf die Basis
\(a = b = \sqrt {{{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2} + {h_c}^2} \)

Basislänge im gleichschenkeligen Dreieck

Die Länge der Basis im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Schenkellänge und aus der Höhe auf die Basis
\(c = 2 \cdot \sqrt {{a^2} - {h_c}^2} \)

Höhe auf die Basis im gleichschenkeligen Dreieck

Die Höhe h_c teilt das gleichschenkelige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke, weil sie eine Symmetrieachse ist. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis.
\({h_c} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2}} \)

Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck

Der Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck ergibt sich als doppelte Schenkellänge plus Basislänge
\(U = 2a + c\)

Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck

Die Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus Basis mal halber Höhe auf die Basis
\(A = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2} = \dfrac{c}{2} \cdot \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \)​

Illustration vom gleichschenkeligen Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten

Seitenlänge beim gleichseitigen Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang
\(a = b = c = \dfrac{{2 \cdot h}}{{\sqrt 3 }}\)

Innenwinkel beim gleichseitigen Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck betragen alle drei Innenwinkel 60°
\(\alpha = \beta = \gamma\)

Höhe beim gleichseitigen Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Höhen gleich lang
\(h = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt 3 \)

Umfang vom gleichseitigen Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich der Umfang als Summe der drei gleichlangen Seiten
\(U = a + a + a = 3a\)

Fläche vom gleichseitigen Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich die Fläche als Produkt der Seitenlänge mal halber Höhe
\(A = {a^2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = a \cdot \dfrac{h}{2}\)

Illustration vom gleichseitigen Dreieck

Rechtwinkeliges Dreieck

Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten.

Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck

• Die Hypotenuse wird durch die Höhenlinie in 2 Hypotenusenabschnitte p und q geteilt.
• Die Satzgruppe des Pythagoras, bestehend aus dem Satz des Pythagoras, dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid beschreiben die jeweiligen Zusammenhänge.
• Für jeden der beiden spitzen Winkel gilt, dass an ihm eine Kathete anliegt - die Ankathete und dass ihm die andere Kathete gegenüber liegt - die Gegenkathete
• Wichtig ist, dass obige Sätze nur in Dreiecken MIT rechtem Winkel gelten. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinus-Satz. Letzterer gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.

Hypotenuse

Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.

Katheten

Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegen links und rechts vom rechten Winkel

Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck

Die Summe aller 3 Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt 180°
\(\alpha + \beta = 90^\circ = \gamma \)

Umfang vom rechtwinkeligen Dreieck

Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)

Flächeninhalt vom rechtwinkeligen Dreieck

Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = \dfrac{{a \cdot b}}{2} = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

Illustration vom rechtwinkeligen Dreieck

Satz des Pythagoras

Der Satz vom Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten a,b, gleich ist dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Nochmals laut und deutlich: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck, nicht im allgemeinen Dreieck! Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz, der auch für allgemeine Dreiecke gilt.

\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieck her, die es ganz einfach erlaubt aus je zwei Seiten die dritte Seite zu errechnen.

\(\eqalign{ & a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \cr & b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \cr & c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)

Illustration vom Satz des Pythagoras

Beispiel
Gegeben sei von einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse c=5 und eine Kathete mit b=4 Längeneinheiten.
Gesucht ist die Länge der fehlenden Kathete a

\(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\)

Kathetensatz des Euklid

Der Kathetensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über jeder der beiden Katheten a bzw. b gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse c und dem der jeweiligen Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q.

\(\eqalign{ & {a^2} = c \cdot q \cr & {b^2} = c \cdot p \cr} \)

Illustration vom Kathetensatz des Euklid

Höhensatz des Euklid

Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe h_c gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks, aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.

Hypotenusenabschnitt

Zeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein, so teilt der Fußpunkt der Höhe die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte, die üblicher Weise mit p und q bezeichnet werden

\({h_c}^2 = p \cdot q;\)

Illustration vom Höhensatz des Euklid

Beispiel:
Bevor ein Transporter durch einen Tunnel mit Gegenverkehr fährt prüft der Fahrer ob sich die Durchfahrt mit der Höhe überhaupt ausgeht. Er schätzt den Gehsteig links und rechts auf je 1m Breite und die Fahrbahn auf 6m Breite. Aus den Wagenpapieren entnimmt er die Höhe seines Transporters zu 2,477m. Er beabsichtigt so weit wie möglich rechts, also direkt neben dem Gehsteig zu fahren.

Lösungsweg:
Für seine Berechnung zieht der Fahrer den Höhensatz des Euklid heran:
\(\eqalign{ & {h_c}^2 = p \cdot q \cr & {h_c} = \sqrt {p \cdot q} = \sqrt {7 \cdot 1} = 2,65m > 2,477m \cr} \)

Die Durchfahrt sollte auch bei Gegenverkehr möglich sein

Besondere Punkte im Dreieck

In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte

• Drei davon, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler'schen Geraden.
• Der vierte besondere Punkt ist der Inkreismittelpunkt.

Höhenschnittpunkt im Dreieck

Eine Höhenlinie auf eine Seite entspricht dem kürzesten Abstand dieser Seite, dem „Normalabstand“, zum gegenüber liegenden Eckpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb der Figur bei einem spitzwinkeligen Dreiecks und ausserhalb bei einem stumpfwinkeligen Dreieck. Im stumpfwinkeligen Dreieck muss man daher die Seite über den Eckpunkt hinaus verlängern, um die Höhe in den gegenüber liegenden Eckpunkt zeichnen zu können.

Umkreismittelpunkt im Dreieck

Eine Streckensymmetrale geht durch den Halbierungspunkt einer Seite des Dreiecks und steht normal auf diese Seite. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt, der von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt liegt. Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb vom Dreieck.

Schwerpunkt im Dreieck

Eine Schwerelinie verläuft vom Halbierungspunkt einer Seite in den gegenüber liegenden Eckpunkt des Dreiecks. Die drei Schwerelinien schneiden einander im Schwerpunkt. Man kann ein Dreieck entlang jeder der drei Schwerelinien ausbalancieren. Im Schwerpunkt ist das Dreieck an einem einzigen Punkt ausbalanciert.

Inkreismittelpunkt im Dreieck

Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Alle Punkte welche die Winkelsymmetrale bilden, sind von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt ist nämlich von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.