Polynomfunktion 3. Grades

Grad einer Funktion

Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.

Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:

• Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
• Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
• Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
• Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
• Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.

Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:

• Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
• Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
• Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.

• Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.

• Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.

Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades

Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:

Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion

Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab

Funktion vom 2. Grad: Parabel

Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben

Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten

Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf