Tiefpunkt einer Funktion
Am Tiefpunkt einer Funktion ist die 1. Ableitung der Funktion 0 und die 2. Ableitung größer als 0
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
| f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
| f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
| f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
| f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
| f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
| f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
| f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
| F(x) | f(x) | N | E | W | ||
| f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
| f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
| Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
|
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
|
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
| f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
| f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
|
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
| f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
| \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
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Aufgaben
Aufgabe 224
Kurvendiskussion
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)
- 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- 2. Teilaufgabe: Polstellen
- 3. Teilaufgabe: Lücken
- 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
- 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
- 6. Teilaufgabe: Symmetrien
- 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
- 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
- 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
- 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
- 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
- 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
- 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
- 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
- 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion
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Aufgabe 6021
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Der Graph Gf einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(f:x \mapsto a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3}{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)
Punkt O(0 | 0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
W(1| -1) ist ein weiterer Wendepunkt von Gf .
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .
Die Gerade g schneidet Gf in den Punkten W und (2 | 0).
3. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.
4. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.
Gf und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.
5. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.
Aufgabe 1478
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nachweis eines lokalen Minimums
Gegeben ist eine Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = {x^3} - 3 \cdot x + 2\). Die erste Ableitung p′ mit \(p'\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} - 3\) hat an der Stelle x=1 den Wert null.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie rechnerisch, dass p an dieser Stelle ein lokales Minimum (d. h. ihr Graph dort einen Tiefpunkt) hat!
Aufgabe 1012
AHS - 1_012 & Lehrstoff: FA 1.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynom 4. Grades
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f, die vom Grad 4 ist.
- Aussage 1: Die Funktion besitzt drei Wendepunkte.
- Aussage 2: Die Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
- Aussage 3: Die Funktion ist streng monoton steigend für x ∈ [0; 4].
- Aussage 4: Die Funktion besitzt einen Wendepunkt, der gleichzeitig auch Tiefpunkt ist.
- Aussage 5: Die Funktion hat drei Nullstellen.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1725
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades
Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. An den beiden Stellen x1 und x2 mit x1 < x2 gelten folgende Bedingungen:
\(\eqalign{
& f'\left( {{x_1}} \right){\text{ = 0 und }}f''\left( {{x_1}} \right) < 0 \cr
& f'\left( {{x_2}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_2}} \right) > 0 \cr} \)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.
- Aussage 1: \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
- Aussage 2: Es gibt eine weitere Stelle x3 mit \(f'\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 3: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f\left( {{x_3}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)
- Aussage 4: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 5: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x3 mit \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\)
[0 / 1 Punkt]
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