Polynomfunktionen

Polynomfunktionen n-ten Grades

Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.

\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)

\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)

wobei:

Die wichtigsten Polynomfunktionen:

n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)

• ​0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
   

n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)

• ​1 Nullstelle
• 0 Extremstellen
• 0 Wendestellen
• Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
   

n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

• ​0, 1 oder 2 Nullstellen
• 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
• 0 Wendestelle
• Typischer Graph ist eine Parabel
   

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.

• a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
• a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
• Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
• b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
• b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
• Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)

n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 1, 2 oder 3 Nullstellen
• 0 oder 2 Extremstellen
• 1 Wendestelle
• Typischer Graph verläuft s-förmig
   

n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)

• 0 .. 4 Nullstellen
• 1 oder 3 Extremstellen
• 0 oder 2 Wendestellen
• Typischer Graph verläuft w-förmig
   

Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.

• Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
   

Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
 

Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2

• \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
• \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
   

konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.

Taylorpolynom

Das Taylorpolynom bietet die Möglichkeit eine komplizierte Funktion f(x), an einer vorgegebenen Stelle x₀ durch eine Polynomfunktion zu approximieren. Man spricht dann von einem „Taylor-Polynom n-ten Grades an der Entwicklungsstelle x₀ “_.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \approx \cr & f\left( {{x_0}} \right) + \dfrac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{1!}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{f''\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^2} + ... + \dfrac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^n} = \cr & = \sum\limits_{i = 0}^n {\dfrac{{{f^{\left( i \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{i!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^i} \cr}\)

Den Fehler, der bei der Näherung durch das Taylorpolynom gemacht wurde, kann man mit Hilfe der Formeln von Lagrange oder Cauchy abschätzen. Die beiden Formeln für das Restglied \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right)\) d.h. für den Fehler des n-ten Taylorpolynoms um den Entwicklungspunkt x₀ an der Stelle x lauten:

nach Lagrange: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot {\left( {x - {x_0}} \right)^{\left( {n + 1} \right)}}\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)

nach Cauchy: \({R_{n,{x_0}}}\left( x \right) = \dfrac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( c \right)}}{{n!}} \cdot {\left( {x - c} \right)^{\left( n \right)}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\,\,\,\,\,{\text{wobei}}\,\,\,c \in \left[ {{x_0},x} \right]\)