Quadratische Funktionen (Parabel)

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Quadratische Funktionen (Parabeln)

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).

\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)

Allgemeine Form der quadratischen Funktion

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.

quadratisches Glied: Ist a positiv, so ist die Parabel noch oben offen, ist a negativ, so ist die Parabel nach unten offen. Die rein quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Ursprung.
lineares Glied: Verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der x- und y-Achse. Die Parabel verläuft aber weiterhin durch den Ursprung
konstantes Glied: Verschiebt die Parabel in Richtung der y-Achse. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der quadratischen Funktion

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.

\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der quadratischen Funktion

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x₁ bzw. x₂ aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)

Falls b² - 4ac >0 ist, besitzt die Gleichung 2 verschiedene reelle Lösungen., bei b² - 4ac = 0 besitzt sie eine reelle Doppellösung, sonst besitzt sie 2 konjugiert komplexe Lösungen in C.

Beispiel:
Reinquadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0

Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=1 und c=0; Durch das lineare Glied, welches einer Geraden durch den Ursprung mit einer Steigung von 45° entspricht, erhalten wir eine nach links und nach unten verschobene Gerade.

Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=0 und c=1; Durch das konstante Glied c=1 wird der Graph der Funktion um c nach oben verschoben.

Beispiel:
Reinquadratischen Funktion mit a=-1, b=0 und c=0; Wir erhalten eine nach unten offene Normalparabel, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht.

Normalparabel Funktion f(x)=x²

Quadratische Funktion

Parabel

Scheitelpunktform

Quadratische Ergänzung

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Aufgabe 242

Parameter einer quadratischen Funktion

In einem Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion dargestellt.
Es gilt: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) mit b=0 und \({\text{a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung:
Ermittle die Werte der Parameter a und c. Die dafür erforderlichen Punkte - wähle solche mit ganzzahligen Koordinaten - sind im Koordinatensystem abzulesen.