Quadratische Funktionen (Parabel)

Falls b² - 4ac >0 ist, besitzt die Gleichung 2 verschiedene reelle Lösungen., bei b² - 4ac = 0 besitzt sie eine reelle Doppellösung, sonst besitzt sie 2 konjugiert komplexe Lösungen in C.

• Der Graph einer allgemeinen quadratischen Funktion ist eine Parabel.
• a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), dh der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
• a < 0 → Graph nach unten offen, dh der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
• Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
• b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
• b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
• ​Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)

Der Scheitelpunkt S(x_S|y_S) des Graphen der Parabel hat die Koordinaten:

\(\eqalign{ & S\left( {{x_S}\left| {{y_S}} \right.} \right){\text{ mit:}} \cr & {x_S} = - \dfrac{b}{{2a}}{\text{ sowie }}{y_S} = c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}} \cr}\)

• Für a>0 ist der Scheitel ein Tiefpunkt, die Parabel ist nach oben offen.
• Für a<0 ist der Scheitel ein Hochpunkt, die Parabel ist nach unten offen.

Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).

Quadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0

Beispiel einer quadratischen Funktion mit a=1, b=1 und c=0;

Durch das lineare Glied, welches einer Geraden durch den Ursprung mit einer Steigung von 45° entspricht, erhalten wir eine nach links und nach unten verschobene Gerade.

Beispiel einer quadratischen Funktion mit a=1, b=0 und c=1;

Durch das konstante Glied c=1 wird der Graph der Funktion um c nach oben verschoben.

Beispiel einer quadratischen Funktion mit a=-1, b=0 und c=0;

Wir erhalten eine nach unten offene Normalparabel, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht.