Aufgabe 1165
AHS - 1_165 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Charakteristika einer Polynomfunktion
Von einer Polynomfunktion f ist Folgendes bekannt: \(f\left( 2 \right) = 0;\,\,\,\,\,f'\left( 2 \right) = 0;\) und \(f''\left( 2 \right) = 1\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
f hat an der Stelle _______1____ sicher _______2_______ .
1 | |
x=0 | A |
x=1 | B |
x=2 | C |
2 | |
ein lokales Minimum | I |
ein lokales Maximum | II |
eine Wendestelle | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zusammenhänge zwischen höheren Ableitungen (Auszug)
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine Wendestelle an der Stelle x0 |
Lösungsweg
Wir ziehen folgende 2 Schlussfolgerungen:
-
Alle 3 Aussagen der Angabe beziehen sich ausschließlich auf die Stelle x=2. Über die Stellen x=1 und x=2 werden keine Aussagen gemacht. → C
-
wissen über die Zusammenhänge höherer Ableitungen, dass bei \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) → \(f\left( {{x_0}} \right)\) hat einen Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle \({{\text{x}}_0}\) → I
Somit: f hat an der Stelle x=2 sicher ein lokales Minimum.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
f hat an der Stelle x=2 sicher ein lokales Minimum.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.