Gleichungen von Kreis, Kugel und Kegelschnitten

Gleichung des Kreises

Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.

\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.

Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)

Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt

Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben

Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)

Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)

Lagebeziehung Punkt und Kreis

Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis  liegen

Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
 

Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
 

Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Kreis

​Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.

• Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S₁, S₂ schneidet.
• Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
• Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.

Berührbedingung Gerade an Kreis

Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spezialfall: M = Ursprung:

\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)

Spaltform der Tangentengleichung des Kreises

Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)

\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)

Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)

Gleichung der Ellipse

Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F₁ und F₂ (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F₁P bzw. F₂P nennt man Brennstrecke. Schneidet man einen geraden Zylinder mit einer Ebene, dann ist die Schnittlinie eine Ellipse. 

\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)

Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.

mit:

\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)

Im Spezialfall a=b wird aus der Ellipse ein Kreis.

Ellipse in 1. Hauptlage

Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse \({F_{1,2}}\left( { \pm e\left| 0 \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:

Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage

\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Flächeninhalt Ellipse

\(A = a \cdot b \cdot \pi \)

Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage

Ellipse in 2. Hauptlage

Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse \({F_{1,2}}\left( {0\left| { \pm e} \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:

Normalform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage

\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)

Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage

Lagebeziehung Punkt und Ellipse 

Ein Punkt kann bezüglich einer Ellipse innerhalb, außerhalb oder auf der Ellipse liegen

• P liegt innerhalb der Ellipse:
  \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 < {a^2}{b^2}\)
• P liegt auf der Ellipse:
  \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 = {a^2}{b^2}\)
• P liegt außerhalb der Ellipse: \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 > {a^2}{b^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Ellipse​

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ellipse interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente

Berührbedingung Gerade an Ellipse

Die Berührbedingung der Ellipse ergibt sich aus der großen und der kleinen Halbachse der Ellipse sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)

\({a^2}{k^2} + {b^2} = {d^2}\)

Spaltform der Tangentengleichung der Ellipse

Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Ellipsengleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Ellipse aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)

\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x + {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)

Gleichung der Hyperbel

Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F₁ und F₂ (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecke F₁X bzw. F₂X nenne man Brennstrecke. Als Scheitelpunkte bezeichnet man jene zwei Punkte der Hyperbel, die am nächsten zum Mittelpunkt der Hyperbel liegen \(S_1\left( {a\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{S_2}\left( { - a\left| 0 \right.} \right)\). 

\(hyp:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {X{F_1}} - \overline {X{F_2}} = 2a} \right.} \right\}\)

Illustration der Einheitshyperbel

Bei der Einheitshyperbel gilt für die Halbachsenlängen: a=b=1. Daher liegen die Scheitelpunkte S₁ bei \(\left( { - 1\left| 0 \right.} \right)\) bzw. S₂ bei \(\left( {1\left| 0 \right.} \right)\) und die Brennpunkte F₁ bei \(\left( { - \sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\) bzw. F₂ bei \(\left( {\sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\). Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\).  Die Illustration veranschaulicht auch den Zusammenhang zwischen a, b und e gemäß: \({b^2} = {e^2} - {a^2}\)

Hyperbel in 1. Hauptlage

Eine Hyperbel in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse, sie haben die Koordinaten \({F_1}\left( {e\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{F_2}\left( { - e\left| 0 \right.} \right)\). 

Normalform der Hyperbelgleichung in 1. Hauptlage

\({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Hyperbel in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung

\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Illustration einer Hyperbel in 1. Hauptlage

Hyperbel in 2. Hauptlage

Eine Hyperbel in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.

Normalform der Hyperbelgleichung in 2. Hauptlage

\(- {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)

Abschnittsform der Hyperbel in 2. Hauptlage

\(- \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)

Lagebeziehung Punkt und Hyperbel

Ein Punkt kann bezüglich einer Hyperbel innerhalb, außerhalb oder auf der Hyperbel liegen

• P liegt innerhalb der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 < {a^2}{b^2}\)
• P liegt auf der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 = {a^2}{b^2}\)
• P liegt außerhalb der Hyperbel:
  \({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 > {a^2}{b^2}\)

Lagebeziehung Gerade und Hyperbel​

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Hyperbel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente

Berührbedingung Gerade an Hyperbel

Die Berührbedingung der Hyperbel ergibt sich aus der halben Haupt- und Nebenachse der Hyperbel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)

\({a^2}{k^2} - {b^2} = {d^2}\)

Spaltform der Tangentengleichung der Hyperbel

Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Hyperbelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Hyperbel aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).

\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)

\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x - {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)

Gleichung der Parabel

Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.

\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)

Illustration einer nach links verschobenen Parabel

Bild

Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel

\(y = a \cdot {x^2}\)

Der Scheitelpunkt S der Normalparabel liegt im Ursprung des Koordinatensystems:  \(S\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) 
Die Leitlinie l ist die vertikale Linie \(x = - 1\) bzw: \(l:x = - \dfrac{p}{2}\)

Für die Brennweite e gilt \(e = 1 \to p = 2\) ​

Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel

Allgemeine Form der Parabel

Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der Parabel

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.

\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der Parabel

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.

\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Parameterdarstellung der Parabel

\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)

Scheitelpunktform der Parabel

Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel. 

\(\eqalign{ & y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr & {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr & f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)

Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr & {\text{mit:}} \cr & S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)

Bild

Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)  herleiten. 

Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)

Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel (mit p=1/2)

• 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
• 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
• 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
• 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)

Parabeln vom Grad n:

\(f\left( x \right) = {x^n}\)

n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.

n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:

n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:

Lagebeziehung Punkt und Parabel

Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen

• P liegt innerhalb der Parabel:
  \({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt auf der Parabel:
  \({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt außerhalb der Parabel:
  \({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)

Lagebeziehung Gerade und Parabel

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\) erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.

Berührbedingung Gerade an Parabel

Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen. Für eine Parabel in 1. Hauptlage gilt somit:

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)

\(p = 2dk\)

Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel in 1. Hauptlage

Die Spaltform der Tangente an eine Parabel in 1. Hauptlage ist eine spezifische Darstellung der Tangentengleichung, die eine Alternative zur Punkt-Steigungsform und zur allgemeinen Geradengleichung der Tangente ist. Sie visualisiert besonders deutlich, wie sich der Parameter p der Parabel direkt in der Gleichung der Tangente wiederfindet.

Von der Spaltform spricht man, weil man den quadratischen Term der Parabelgleichung in Normalform (y² = 2px) so aufspaltet, dass er als Produkt aus dem y-Wert des Berührpunkts und der Variablen y dargestellt wird und man das Produkt 2px zu einer Summe aus dem x-Wert des Berührpunkts und der Variablen x umformt.

Für eine Parabel in 1. Hauptlage gilt somit:

\(\eqalign{ & T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in par \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr & \cr & {\text{Spaltform:}} \cr & par:y \cdot y = p \cdot x + p \cdot x \cr & y \cdot {y_T} = p \cdot x + p \cdot {x_T} \cr} \)

Die Tangentengleichung t in einem Punkt T einer Parabel par in 1. Hauptlage lautet:

\(t:y \cdot {y_T} = p \cdot \left( {x + {x_T}} \right)\)

"Spaltform" weil, wie man sieht, wurde der quadratische Term zu einem Produkt \(y \cdot {y_T}\) aufgespaltet und der Term 2px zu einer Summe \({x + {x_T}}\) umgeformt.

Gleichung der Kugel

Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, ist die Menge aller Punkte X, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben.

\(s\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^3}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)

Kugelgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt

Bei einer Kugel in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt der Kugel im Koordinatenursprung.

• Koordinatenschreibweise:
  \({r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\)
• Vektorschreibweise:
  \({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)

Allgemeine Kugelgleichung

Bei der allgemeinen Kugelgleichung ist der Mittelpunkt M der Kugel gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y- und / oder z-Richtung verschoben

• Koordinatenschreibweise:
  \({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} + \left( {z - {M_z}} \right) = {r^2}\)  wobei  \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}\left| {{M_z}} \right.} \right.} \right)\)
• Vektorschreibweise:
  \({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)