Aufgabe 1149

Achtung: Sehr wichtig: Der Graph in der Abbildung stellt die 1. Ableitung f'(x) und nicht die Funktion f(x) dar. Alle Fragen beziehen sich hingegen auf f(x)!

Mit Hilfe der Zusammenhänge die wir über das grafische Differenzieren wissen, können wir die 5 Aussagen wie folgt bewerten:

• Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil f' an der Stelle x=3 eine NST hat → Gemäß der NEW-Regel muss dann f eine Extremstelle (HP bzw TP) haben
  Links von 3 verläuft f'(x) oberhalb und rechts von 3 unterhalb der x-Achse → Links von 3 steigt f streng monoton und rechts von 3 sinkt f streng monoton → Die Extremstelle muss ein HP sein
• Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil wir bereits bei Aussage 1 gezeigt haben, dass im Intervall [2; 5] ein HP liegt und links davon, also im Intervall [2; 3] f(x) von streng monoton steigend ist.
• Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil f'(x) an der Stelle x=0 eine Extremstelle (TP) hat → f(x) hat gemäß der NEW-Regel an dieser Stelle einen Wendepunkt
• Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil wir schon bei Aussage 3 gezeigt haben, dass f(x) an der Stelle x=0 einen Wendepunkt und somit keine Extremstelle (HP, TP) haben kann
• Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil f'(x) links von x=0 oberhalb der x-Achse liegt → f(x) steigt in diesem Bereich streng monoton. Weiters wissen wir aus Aussage 3, dass f(x) an der Stelle x=0 einen Wendepunkt hat. Daher muss f(x) im Intervall [–2; 0] rechts gekrümmt sein

Mit Hilfe von Geogebra zeichnen wir den Graph von f(x) in die Illustration zusätzlich zu f'(x) ein.