Verknüpfungen zwischen Mengen
Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einenander verknüpft werden.
- Vereinigungsmenge: Die Menge all jener Elemente die zur einen oder zur anderen oder zu beiden Mengen gehören
- Schnittmenge: Die Menge aller Elemente, die zu beiden Mengen gehören
- Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die zwar zur einen, nicht aber zur anderen Menge gehören
- Symmetrische Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind
- Komplementärmenge: Die Elemente die zwar der Obermenge, nicht aber der darin enthaltenen Teilmenge angehören
- Produktmenge bzw. Kartesisches Produkt: Die Menge der geordneten Paare, wobei die 1. Komponente aus der Menge A und die 2. Komponente aus der Menge B stammt.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge umfasst jene Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. Die Vereinigung der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A oder x ist Element von B .
\(A \cup B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \vee x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: " Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x entweder ein Element der Menge A ist oder ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cup B = \left\{ {1,2,3,4} \right\} \cr} \)
Schnittmenge
Die Schnittmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A und zur Menge B gehören. Der Durchschnitt der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A und x ist auch Element von B.
\(A \cap B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A und ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cap B = \left\{ {2,3} \right\} \cr} \)
Differenzmenge
Die Differenzmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A aber nicht zur Menge B gehören. Der Differenz der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge für die gilt: x ist Element von A und x ist kein Element von B.
\(A\backslash B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \notin B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Differenzmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A, aber kein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A{\text{\ }}B = \left\{ 1 \right\} \cr} \)
Symmetrische Differenzmenge
Die symmetriesche Differenzmenge umfasst jene Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
\(A\Delta B = \left\{ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right\}: = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)\)
Sprich: "Die symmetrische Differenzmenge A Delta B enthält alle Elemente x, die Element der Menge A nicht aber der Menge B sind sowie alle Elemente x die kein Element von der Menge A dafür aber Element der Menge B sind"
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A\Delta B = \left\{ {1,4} \right\} \cr} \)
Komplementäre Menge
Die komplementäre Menge A Querstrich enthält all jene Elemente von der Grundmenge G, die nicht in der Menge A enthalten sind. Die komplementäre Menge von A ist die Grundmenge, ohne den Elementen der Menge A.
\(\mathop A\limits^ - : = \left\{ {x \in B\left| {x \notin A} \right.} \right\} = B\backslash A\)
Sprich: "Die komplementäre Menge von A ist die Menge aller Elemente x, die Element von der Menge B sind, für die gilt, dass x kein Element von der Menge A ist"
Beispiel:
Die Grundmenge sei \({{\Bbb N}_0}\)
\(\eqalign{ & {{\Bbb N}_0} \cr & A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist gerade}}} \right.} \right\} \cr & \overline A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist ungerade}}} \right.} \right\} \cr} \)
Produktmenge
Die Produktmenge bzw. das kartesische Produkt "A kreuz B" ist die Menge der geordneten Paare, wobei die erste Komponente aus der Menge A und die zweite Komponente aus der Menge B stammt.
\(A \times B = \left\{ {\left( {a,b} \right)\left| {a \in A \wedge b \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "A Kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare für die gilt dass a Element von der Menge A und b Element von der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {s,t} \right\} \cr & A \times B = \left\{ {\left( {1,s} \right),\left( {1,t} \right),\left( {2,s} \right),\left( {2,t} \right),\left( {3,s} \right),\left( {3,t} \right)} \right\} \cr} \)