Brüche und Rundungsregeln

Bruch

Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Zahl. Der Bruch besteht aus einem Bruchstrich, der dem Rechenzeichen "Dividiert" entspricht, einer Zahl als Zähler, die oberhalb vom Bruchstrich steht und einer Zahl als Nenner, die unterhalb vom Bruchstrich steht. Der Nenner, der auch Teiler oder Divisor genannt wird, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler, der auch Dividend genannt wird, gibt an wie viele Teile vom Nenner genommen werden. Dividiert man den Dividend durch den Divisor, so erhält man eine Dezimalzahl, die Quotient genannt wird. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. Verbal sagt man statt Bruchstich gerne "gebrochen durch" oder "geteilt durch". Geschrieben wird der Bruchstrich als waagrechter oder schräger Strich der zwischen dem Zähler und den Nenner steht.

\({\text{Wert des Bruchs = }}\dfrac{{{\text{Zähler}}}}{{{\text{Nenner}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{Dividend}}}}{{{\text{Divisor}}}}{\text{ = Quotient}}\)

Brüche lassen sich durch Division in Dezimalzahlen umwandeln. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. 

Beispiel:
Der Bruch vier Fünftel entspricht der Dezimalzahl 0,8

\(\dfrac{4}{5} = 4:5 = 0,8 \)

Echter Bruch

Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs kleiner als 1.

\(\dfrac{Z}{N} < 1{\text{ wobei Z < N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{3}{5}\)

Unechter Bruch

Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs größer als 1.

\(\dfrac{Z}{N} > 1;{\text{ wobei Z > N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{5}{3} \approx 1,6667\)

Gemischte Zahl

Eine gemischte Zahl ist eine spezielle Schreibweise für einen unechten Bruch, bei der man den unechten Bruch in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch aufspaltet. Danach gibt es noch eine verkürzte Schreibweise, bei der man das Summenzeichen weg lässt.

\(c\dfrac{Z}{N} = c + \dfrac{Z}{n}\)

Beispiel

\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)

Achtung:

• Bei der Schreibweise für Variablen gilt: \(ab = a \cdot b\)
• Bei der Schreibweise für Brüche gilt: \(2\dfrac{1}{2} \ne 2 \cdot \dfrac{1}{2}\)
  weil
  • \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\) ... sprich "2 Ganze plus ein Halbes"
  • \(2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2}} = \dfrac{2}{2} = 1\) ... sprich "2 mal ein Halbes"

Stammbruch

Beim Stammbruch ist der Zähler = 1.

\(\dfrac{1}{N}\)

Dezimalbruch

Beim Dezimalbruch ist der Nenner eine dekadische Einheit (10, 100, 1000,..).

\(\dfrac{Z}{{n \cdot 10}}\)

Uneigentlicher Bruch bzw. Scheinbruch

Beim uneigentlichen Bruch ist der Zähler gleich groß wie der Nenner oder ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner. Der Wert des Bruchs ist daher eine ganze Zahl.

\(\dfrac{{n \cdot N}}{N} = n;\)

Beispiel:
n=3, N=2: \(\dfrac{6}{2} = 3\)

Kehrwert eines Bruchs bzw. Reziprokwert

Den Kehrwert eines Bruchs, auch Reziprokwert genannt, erhält man, indem man Zähler und Nenner vom Bruch vertauscht. Man bildet den Kehrwert, damit sich die Division einer Zahl durch einen Bruch auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Bruch vereinfacht.

\(\eqalign{ & {\text{Bruch: }}\dfrac{{\text{Z}}}{{\text{N}}} \cr & {\text{Kehrwert: }}\dfrac{{\text{N}}}{{\text{Z}}} \cr}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{5} \to \dfrac{5}{4}\\ \dfrac{3}{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}} = 3:\dfrac{4}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{{15}}{4} = 3\dfrac{3}{4} = 3,75 \end{array}\)

Doppelbruch

Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Es wird also ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert. Wenn nur im Zähler oder im Nenner ebenfalls ein Bruch steht, so ist es wichtig, dass man den Überblick behält, welcher Bruchstrich den Hauptbruch darstellt, also den Hauptzähler vom Hauptnenner trennt.

• Einen Doppelbruch löst man auf, indem man „Außenglied (_A)“ mal „Außenglied (_A)“ gebrochen durch „Innenglied (_I)“ mal „Innenglied (_I)“ anschreibt.
  \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\)
   
• Ein Bruch wird dividiert, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert
  \(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Rechenregeln für Brüche

Die Rechenregeln für Brüche kommen immer dann zum Einsatz, wenn es um nicht ganzzahlige Zahlen geht. Es handelt sich dabei um die Menge der rationalen Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Brüche können in Dezimalzahlen umgerechnet werden und diese können endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben. Für die Grundrechnungsarten beim Rechnen mit Brüchen gelten Rechenregeln, wobei speziell zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen zu unterscheiden ist.

Rangordnung der Grundrechenarten beim Bruchrechnen

Die Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet, lautet wie immer:

• Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
• Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

Erweitern von Brüchen

Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Man nennt dies "erweitern" eines Bruchs. Der Grund dafür ist, dass der Wert von diesem Erweiterungsbruch in Wirklichkeit 1, also das neutrale Element der Multiplikation, ist.
\(\dfrac{Z}{N} = \dfrac{Z}{N} \cdot \dfrac{c}{c} = \dfrac{{Z \cdot c}}{{N \cdot c}}\)

Das Erweitern von Brüchen verwendet man, wenn man ungleichnamige Brüche auf gleichen Nenner bringen möchte

Beispiel:
Addiere die ungleichnamigen Brüche \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{3}{4}\)

Methode 1: Man erweiterte jeden Bruch um den Nenner des jeweils anderen Bruchs, das führt eventuell zu unnötig hohen Zahlen.
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 4}}{{2 \cdot 4}} + \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 2}} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{6}{8} = \dfrac{{10}}{8}\)

Methode 2: Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner.
\(\begin{array}{l} kgV(2;4) = 4\\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{{2 \cdot 2}} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)

Den ersten Bruch muss man mit 2 erweitern, damit der Nenner das kgV beträgt.
Der zweite Bruch hat bereits das kgV als Nenner, daher muss man ihn nicht mehr erweitern.

Kürzen von Brüchen

Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner durch die gleichen Zahl dividiert. Man nennt dies "kürzen eines Bruchs"

Beispiel:
Kürze \(\dfrac{{10}}{8}\)

Wir suchen die größte Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt
\(\begin{array}{l} ggT(8;10) = 2\\ \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{{10:2}}{{8:2}} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)

Anmerkung: Gibt es keinen ggT von Zähler und Nenner, so kann man einen Bruch nicht kürzen, man kann ihn aber "ausdividieren" wobei man eine Dezimalzahl mit Nachkommastelle als Resultat erhält.

Bruchteil einer Größe

Man errechnet den Bruchteil eines Gesamtwerts, indem man den Gesamtwert als multiplikativen Faktor in den Zähler schreibt

\(\dfrac{Z}{N}{\text{ von }}x = \dfrac{{Z \cdot x}}{N}\)

Beispiel:
Berechne \(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }}\)

\(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }} = \dfrac{2}{3} \cdot 12€ = \dfrac{{2 \cdot 12€ }}{3} = \dfrac{{24€ }}{3} = 8€\)

Addition bzw. Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

Gleichnamige Brüche haben den gleichen Nenner. Man schreibt die Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich, danach werden die Zähler addiert / subtrahiert.

\(\dfrac{a}{N} \pm \dfrac{b}{N} = \dfrac{{a \pm b}}{N}\)

Beispiel:
\(\dfrac{4}{{12}} + \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{{4 + 6}}{{12}} = \dfrac{{10}}{{12}}\)

Addition bzw. Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen

Ungleichnamige Brüche müssen auf gleichen Nenner gebracht werden, ehe dann ihre Zähler addiert / subtrahiert werden.
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)

Beispiel:
\(\dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{8}{{18}} - \dfrac{9}{{18}} = \dfrac{{8 - 9}}{{18}} = - \dfrac{1}{{18}}\)

Brüche auf gleichen Nenner bringen

Brüche mit gleichem Nenner nennt man gleichnamige Brüche. Man bringt mehrere Brüche auf gleichen Nenner, d.h. man macht sie gleichnamig, indem man sie durch Erweitern auf das (vorzugsweise kleinste) gemeinsame Vielfache der jeweiligen Nenner bringt.

• Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner, als die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches des einen als auch aller anderen Nenner ist. Dazu kann man etwa die Primfaktorenzerlegung anwenden. Das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Nenner nennt man den Hauptnenner.
• Man erweitert nun die Brüche jeweils so, dass ihr jeweiliger Nenner gleich groß wie der Hauptnenner wird. Dazu multipliziert man Zähler und Nenner mit einem gemeinsamen Faktor, der bei jedem der gegebenen Brüche natürlich unterschiedlich ist.
• Nun kann man alle erweiterten Zähler additiv in den Zähler eines einzigen Bruchs schreiben, dessen Nenner der Hauptnenner ist.

Will man sich die Primfaktorenzerlegung sparen, kann man jeden Bruch mit dem Produkt aus dem Nenner der jeweils anderen Brüche erweitern. Der Hauptnenner ist dann das Produkt aus allen Nennern der Ausgangsbrüche. Der Nachteil dieser Methode, die immer funktioniert ist, dass der Hauptnenner unnötig groß wird und man den so entstehenden Bruch eventuell noch kürzen kann.

\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)

Beispiel:
Bringe die beiden Brüche 1/2 und 3/4 auf gleichen Nenner
Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner. Wir suchen also das kgV der beiden Nenner
\(\begin{array}{l} kgV(2,4) = 4\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{2}{4}\\ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \end{array}\)

Beispiel:

Addiere die beiden Brüche 1/2 und 3/4

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 3}}{4} = \dfrac{5}{4}\)

Addition bzw. Subtraktion von gemischten Zahlen

Bei gemischten Brüchen werden die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt von einander addiert bzw. subtrahiert

\(A\dfrac{b}{c} \pm D\dfrac{e}{f} = \left( {A + \dfrac{b}{c}} \right) \pm \left( {D + \dfrac{e}{f}} \right) = \left( {A \pm D} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} \pm \dfrac{e}{f}} \right)\)

Achtung:
\(A + \dfrac{b}{c} = A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} 2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{3} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{3}} \right) = \\ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = 5 + \left( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}} \right) = \\ = 5 + \dfrac{5}{5} = 5\dfrac{5}{6} \end{array}\)

Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch

Bei der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch kann die ganze Zahl direkt als multiplikativer Faktor in den Zähler geschrieben werden. Ein allfälliges negatives Vorzeichen kann man vor dem Bruch stehen lassen oder zusammen mit dem Faktor in den Zähler schreiben,

Beispiel:
eine negative und eine positive Zahl
\(- 2 \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{6}{7}\)

Beispiel:
zwei negative Zahlen
\(- 2 \cdot \left( { - \dfrac{3}{7}} \right) = \dfrac{{ - 2}}{1} \cdot \dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{2 \cdot 3}}{7} = \dfrac{6}{7}\)

Multiplikation von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem man (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) rechnet.

\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot c}}{{b\cdot d}}\)

\(\dfrac{a}{b} \cdot c = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{1} = \dfrac{{a \cdot c}}{b}\)

Beispiel:
\(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}} = \dfrac{8}{{15}}\)

Division von Brüchen

Aus der Division von 2 Brüchen wird eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Divisor, ehe dann, wie bei Multiplikationen üblich (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) gerechnet wird.

\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Die Division von einem Bruch durch einen anderen Bruch kann man auch als Doppelbruch darstellen. Man löst diesen Doppelbruch gemäß der Regel "äußeres Glied mal äußeres Glied" geteilt durch "inneres Glied mal inneres Glied" auf
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Besteht der Nenner eines Bruchs aus einer Potenz, so kann man den Bruch auch als Produkt anschreiben, indem man den Zähler mit dem inversen Nenner multipliziert.

\(\dfrac{{{a^r}}}{{{b^s}}} = {a^r} \cdot {b^{ - s}}\)

\(\dfrac{1}{{{a^{ - s}}}} = {a^s}\)

Beispiel:
Teile 3/4 durch 3/2
\(\dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\)

Beispiel
Teile 3/4 durch 3
\(\dfrac{3}{4}:3 = \dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{3 \cdot 1}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{1}{4}\)

Rundungsregeln

Es kann sinnvoll sein, Zahlen zu runden. Etwa wenn bei Divisionen unerwünscht viele Nachkommastellen entstehen. So macht etwa die 3. Nachkommastelle bei einem Euro-Betrag oder ein zehntel Millimeter bei einem Hausbau in der täglichen Praxis keinen Sinn. Speziell im technischen Umfeld spricht man dann von Scheingenauigkeit (Gemessen wurde auf Millimeter, aber durch eine Division entstanden rechnerisch zehntel Millimeter) . Grundsätzlich kann man Zahlen auf jeden beliebigen Stellenwert auf oder abrunden.

Kaufmännisches Runden

Um den Rundungsfehler möglichst klein zu halten bedient man sich in der täglichen Praxis gerne des kaufmännischen Rundens. Beim kaufmännischen Runden wird ausschließlich auf Grund der ersten wegfallenden Dezimalstelle gerundet

• 0,1,2,3,4 werden abgerundet
• 5,6,7,8,9 werden aufgerundet
• negative Zahlen werden so gerundet, als würde man deren Betrag runden, wobei das negative Vorzeichen nach dem Runden natürlich wieder angeschrieben wird

Beispiel:
Der Nettopreis einer Ware beträgt 23,13€. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%. Ermittle den kaufmännisch gerundeten Bruttopreis!

richtige Lösung
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\)
Die erste wegfallende Dezimalstelle ist eine "4", daher wird abgerundet.

falsche Lösung
Achtung: Man darf das Problem nicht von hinten aufrollen und die "7" in die Rundung mit einbeziehen.
Das würde nämlich wie folgt zu einer faschen Rundung führen:
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,525 \approx 27,53\)

Summenerhaltendes Runden

Hier wird so gerundet, dass die Summe der gerundeten Zahlen exakt der Ausgangszahl entspricht. Dieses Problem stellt sich bei der Ermittlung der Sitzverteilung in Abhängigkeit von den Wählerstimmen und bei der Ermittlung vom Gesamt-Bruttopreis, wenn von Netto-Teilpreisen ausgegangen wird:

Beispiel:
Ein Produkt besteht aus 2 Komponenten, deren Nettopreise betragen 23,13 bzw. 9,33 €. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%

Variante 1:
Wir berechnen den Netto-Summenpreis, ermitteln daraus den Bruttopreis vom Produkt und runden am Schluss
\(\left( {23,13 + 9,13} \right) \cdot 1,19 = 32,46 \cdot 1,19 = 38,6274 \approx 38,63\)

Variante 2:
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden kaufmännisch und addieren zum Summenpreis.

\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10\\ 27,52 + 11,10 = 38,62 \end{array}\)

→ Variante 1 und Variante 2 unterscheiden sich um 1 Cent.

Variante 3
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden summenerhaltend und addieren zum Summenpreis.
Um Summenerhaltend runden zu können, bestimmen wir den Fehler zwischen dem tatsächlichen Bruttopreis je Komponente und dem gerundeten Bruttopreis je Komponente. Wir runden jene Komponente die den größeren Fehler aufweist, sodass die Summe wieder stimmt.

\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52 \to {\Delta _1} = 27,5247 - 27,52 = 0,0047\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10 \to {\Delta _2} = 11,1027 - 11,10 = 0,0027\\ {\Delta _1} > {\Delta _2} \to 27,5247 \approx 27,53\\ 27,53 + 11,10 = 38,63 \end{array}\)

→ Variante 1 und Variante 3 unterscheiden sich nicht mehr.

Maßstab

Unter einem Maßstab versteht man das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Länge einer Strecke in der Natur und der Länge dieser Strecke in einer Abbildung. Der Maßstab kann eine Vergrößerung oder Verkleinerung bewirken.

Beispiel: Autokarte im Maßstab 1:600.000

\(\begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{Abbildung}}}}{{{\rm{Natur}}}} = \dfrac{1}{{600\,\,000}}\\ 1m \buildrel \wedge \over = 600km \end{array}\)

600 km Luftlinie in der Natur entsprechen 1 m auf der Autokarte