Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
| f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
| f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
| f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
| f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
| f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
| f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
| f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
| F(x) | f(x) | N | E | W | ||
| f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
| f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
| Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
|
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
|
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
|
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
| f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
| f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
|
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
| f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
| Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
| \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
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Aufgaben
Aufgabe 1182
AHS - 1_182 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktionen
Die nachstehenden Abbildungen zeigen die Graphen von drei Funktionen f1, f2, f3 im Intervall [0; 160].
- Aussage 1: Die Funktionswerte von f1‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 2: Der Wert des Differenzialquotienten von f3 wächst im Intervall [0; 160] mit wachsendem x.
- Aussage 3: Die Funktion f2‘‘ hat im Intervall (0; 160) genau eine Nullstelle.
- Aussage 4: Die Funktionswerte von f3‘‘ sind im Intervall [0; 160] negativ.
- Aussage 5: Die Funktion f1‘ ist im Intervall [0; 160] streng monoton fallend.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1502
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzierbare Funktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f. Die Tangentensteigung an der Stelle x = 6 ist maximal.
- Aussage 1: \(f''\left( 6 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f''\left( {11} \right) < 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( 2 \right) < f''\left( {10} \right)\)
- Aussage 4: \(f'\left( 6 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f'\left( 7 \right) < f'\left( {10} \right)\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die gegebene Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1029
AHS - 1_029 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Funktionen
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema.
- Aussage 1: \(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\)
- Aussage 2: \(f'\left( {{x_2}} \right) > 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( {{x_4}} \right) < 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( {{x_5}} \right) > 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1031
AHS - 1_031 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion
In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–4; 4] drei lokale Extremstellen.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 0] eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f'' hat im Intervall [–3; 3] zwei Nullstellen.
- Aussage 5: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 ein lokales Minimum.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1146
AHS - 1_146 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokales Maximum
Gegeben ist eine Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1________ ist und _____2______ ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x1 ein lokales Maximum.
| 1 | |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) < 0\) | A |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) | B |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) > 0\) | C |
| 2 | |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\) | I |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) = 0\) | II |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\) | III |
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Aufgabe 1180
AHS - 1_180 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsgeschwindigkeit
Das Wachstum einer Bakterienkultur wird durch eine Funktion N beschrieben. Dabei gibt N(t) die Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt t (t in Stunden) an .
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1_____ positiv sind, erfolgt das Bakterienwachstum im Intervall [a; b] ______2______.
| 1 | |
| die Funktionswerte N(t) für t ∈ [a; b] | A |
| die Funktionswerte N‘(t) für t ∈ [a; b] | B |
| die Funktionswerte N‘‘(t) für t ∈ [a; b] | C |
| 2 | |
| immer schneller | I |
| immer langsamer | II |
| gleich schnell | III |
Aufgabe 1168
AHS - 1_168 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kennzeichnung von x-Werten
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion p vierten Grades.
Aufgabenstellung:
Kennzeichnen Sie alle Stellen auf der x-Achse, für die p″(x) = 0 gilt!
Aufgabe 1382
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Negative erste Ableitung
In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f im Intervall [–3; 11] dargestellt. An der Stelle x = 4 hat die Funktion ein lokales Minimum.
Aufgabenstellung:
Geben Sie das Intervall I für diejenigen Stellen x ∈ [–3; 11] an, für die gilt: f ′( x) < 0!
I =
Aufgabe 1455
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften der Ableitungsfunktion einer Polynomfunktion 3. Grades
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig.
- Aussage 1: Die Funktionswerte der Funktion f′ sind im Intervall (0; 2) negativ.
- Aussage 2: Die Funktion f′ ist im Intervall (–1; 0) streng monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 2 eine Wendestelle.
- Aussage 4: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 1 ein lokales Maximum.
- Aussage 5: Die Funktion f′ hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen treffen auf die Ableitungsfunktion f‘ der Funktion f zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1405
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer Ableitungsfunktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ mit
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{4} \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot x - 2\)
- Aussage 1: Die Funktion f hat im Intervall [–4; 5] zwei lokale Extremstellen.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [1; 2] monoton steigend.
- Aussage 3: Die Funktion f ist im Intervall [–4; –2] monoton fallend.
- Aussage 4: Die Funktion f ist im Intervall [–4; 0] linksgekrümmt (d. h. f''(x) > 0 für alle x ∈ [–4; 0]).
- Aussage 5: Die Funktion f hat an der Stelle x = 1 eine Wendestelle.
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind richtig? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1150
AHS - 1_150 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion – Funktionsuntersuchung
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit den Parametern \(a \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\ {\Bbb R}}\) . Die Funktion f hat einen Hochpunkt im Punkt H = (2|2) und einen Wendepunkt an der Stelle x2 = –1. An der Stelle x3 = 3 hat die Steigung der Funktion den Wert –9.
- Aussage 1: \(f'\left( 3 \right) = - 9\)
- Aussage 2: \(f\left( 2 \right) = 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( { - 1} \right) = 0\)
- Aussage 4: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f''\left( 2 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1334
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Funktion
Von einer reellen Polynomfunktion f sind der Graph und die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f' gegeben: \(f'\left( x \right) = - x + 2\)
- Aussage 1: Die Stelle x1 = 0 ist eine Wendestelle von f.
- Aussage 2: Im Intervall [0; 1] ist f streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt (0|f (0)) hat die Steigung 2.
- Aussage 4: Die Stelle x2 = 2 ist eine lokale Maximumstelle von f.
- Aussage 5: Der Graph der Funktion f weist im Intervall [2; 3] eine Linkskrümmung (positive Krümmung) auf.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!