Terme und Zahlensysteme

Zahlensysteme

In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du die Entwicklung der Zahlensysteme von den ersten Strichlisten in der Jungsteinzeit, über das sumerische Stellenwertsystem, die geometrisch geprägte alt-griechische Mathematik, gewisse Rückschritte beim römischen Zahlensystem, welches kein Stellenwertsystem ist, sowie die arabische Ziffernschreibweise, welche die Entwicklung der modernen Mathematik ermöglichte. Wir gehen auf die Bedeutung von Zahl und Ziffer ein. Besprechen das heutige Dezimalsystem als Stellenwertsystem und zeigen die Visualisierung von Zahlen am Zahlenstrahl, der Zahlengerade und in der gaußschen Zahlenebene. Abschließend gehen wir kurz auf die für Menschen unlesbaren, weil auf Maschinenlesbarkeit optimierten, Zahlencodes aus dem Alltag ein.

Erste Strichlisten gehen auf die Jungsteinzeit zurück. Kerben, geritzt in Holz oder Knochen, die 20.000 Jahre und älter sind und aus Afrika stammen, stellen wohl die ersten mathematischen Aufzeichnungen in Form von Strichlisten dar. Vermutlich hat man mit ihnen versucht, Informationen dauerhaft festzuhalten.

Aus den Strichlisten entwickelten sich Zahlensysteme. Zahlensystemen unterscheidet man in solche ohne bzw. in solche mit Stellenwertsystem.

• Das römische Zahlensystem hat kein Stellenwertsystem, da der Zahlenwert durch Addition oder Subtraktion der Ziffern ermittelt wird. Es ist sehr unpraktisch mit dem römischen Zahlensystem zu rechnen.
• Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Ziffer von der Position in einer Zahl abhängt. Ein Stellenwertsystem ermöglicht eine leistungsfähige Mathematik. 3000 Jahre vor den Römern hatten die Sumerer und dann die Babylonier bereits ein Stellenwertsystem zur Basis 60, heute rechnen wir mit einen Stellenwertsystem zur Basis 10, dem Dezimalsystem. Die Unterteilung bei der Zeitmessung, in der 1 Stunde 60 Minuten und 1 Minute 60 Sekunden hat und die Unterteilung bei Winkeln, wo ein Vollkreis 360 Grad und ein Grad 60 Minuten und 1 Minute 60 Sekunden hat, zeigen, dass 60-er Systeme heute noch eine Bedeutung haben.

Sumerisches Zahlensystem

3500 v.Chr. waren es die Sumerer, eine frühe Hochkultur im heutigen Iran und Irak, welche die Strichlisten zu einem ersten Zahlensystem weiterentwickelten. Dieses Zahlensystem wurde später von den Babyloniern übernommen. In ihrer Keilschrift einwickelten sie ein Sexagesimalsystem, auch Hexagesimalsystem genannt. Es handelt sich dabei um ein Stellenwertsystem zur Basis 60, dh es gibt 60 verschiedene Ziffern. Sie kamen dabei mit nur 2 Symbolen aus, die innerhalb einer Stelle hintereinander gesetzt wurden:

• Ein Symbol "I" für die Zahl 1, welches bis zu 9 mal wiederholt wurde.  8=IIIIIIII  Achtung: Es handelt sich um nur 1 Stelle
• Ein Symbol "<" für die Zahl 10, welches bis zu 5 mal wiederholt wurde.  38=<<<IIIIIIII  Achtung: Es handelt sich um nur 1 Stelle

Damit konnte man mit einer Stelle die Zahlen 1 bis 59 darstellen. Erst ab der Zahl 60 wurde eine 2. Stelle und ab der Zahl 3600 wurde eine 3. Stelle verwendet.

• Die 3 Stellen der Zahl 6913 sehen also wie folgt aus: 6913=(1*3600)+(55*60)+(1*13) → I    <<<<<IIIII     <III   Achtung: Es handelt sich um nur 3 Stellen

Griechische Mathematik

Die alten Griechen verwendeten in der Mathematik vor allem geometrische Methoden und Brüche, als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Pythagoras lebte etwa 600 v. Chr. und war Mathematiker und Philosoph. Hippasos entdeckte die irrationalen Zahlen, also Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. 300 Jahre nach Pythagoras schuf Euclid, mit dem Lehrbuch "Elemente", das erste grundlegende Lehrbuch der Geometrie und legte damit den Grundstein für geometrische Formen, Axiome und Beweise, wobei die Beweise damals speziell auf geometrischen Beweisen basierten. Pythagoras formulierte das nach ihm benannte Theorem über rechtwinkelige Dreiecke, Euclid formalisierte und bewies es, wodurch aus dem Theorem ein Lehrsatz wurde. Archimedes approximierte um 240 v. Chr. mit Hilfe geometrischer Methoden die Kreiszahl Pi durch Approximation durch ein 96-Eck auf das Intervall \(\left[ {3\dfrac{{10}}{{71}} < \,\,\,\pi < \,\,3\dfrac{{10}}{{70}}} \right] \approx \left[ {3,1408 < 3,14159265; < 3,1428} \right]\) genau und zeigte, dass man die Genauigkeit durch eine Annäherung mit Polygonen mit mehr Ecken steigern könne.

Griechisches Alphabet

Bedeutsam in der modernen Mathematik ist das griechische Alphabet. Das griechische Alphabet hat sich im Laufe der Jahrtausende nicht verändert. Das moderne griechische Alphabet enthält zusätzliche Buchstaben wie Eta, Theta, Phi und Chi, die es im antiken griechischen Alphabet nicht gegeben hat. Natürlich wurde und wird das griechische Alphabet von den Griechen zum Schreiben verwendet, während es in den modernen Naturwissenschaften als mathematische Variable oder als Bezeichner einer physikalischen Größe Verwendung findet. 

Beispiele für den Einsatz von griechischen Buchstaben als Variable

• Alpha, Beta und Gamma werden bevorzugt für Winkel im Dreieck verwendet
• Delta wird oft für Differenzen, Abweichungen oder Änderungen verwendet
• Epsilon wird für kleine Abstände verwendet
• Lambda wird als Skalar in der Vektorrechnung verwendet

Beispiel für den Einsatz von griechischen Buchstaben als Konstante

• Pi steht für das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser

Beispiel für den Einsatz von griechischen Buchstaben als physikalische Größe

• Psi wird in der Quantenmechanik für die Wellenfunktion eines Teilchens verwendet
• Omega steht für die Kreisfrequenz bei periodischen Schwingungen

Römische Zahlen

Die römischen Zahlen stellen ein altes Zahlensystem dar. Es stammt aus der Zeit des Römischen Reichs am Anfang unserer Zeitrechnung und war in Europa über 1000 Jahre in Verwendung. Die in den römischen Zahlen nicht enthaltene Zahl "0" erreichte Zentraleuropa erst im 12. Jahrhundert. In Indien war die Null schon 300 Jahre v. Chr. bekannt. Obwohl es sich um ein Zahlensystem handelt, werden Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendet. 

Im Unterschied zu den uns heute vertrauten Zahlensystemen (Binär- Hexadezimal-, Dezimalsystem) gibt es bei römischen Zahlen keinen Stellenwert, da der Zahlenwert durch Addition oder Subtraktion der Ziffern ermittelt wird. D.h. die Wertigkeit einer Ziffer hängt nicht von ihrer Position in der Zahl ab. (z.B.: 6=VI; 7=VII; 8=VIII; Das I ist also immer 1 wert, egal an welcher Stelle in der Zahl es steht).  In Römischen Zahlen sind die uns vertrauten 10 Ziffern (0 bis 9) durch 7 Buchstaben repräsentiert (I, V, X, L, C, D, M), wobei es keine Null gibt.

Römische Zahlen werden von links nach rechts gelesen und die Werte der Ziffern werden addiert, es sei denn, ein kleinerer Wert steht vor einem größeren Wert, dann wird subtrahiert. Eine römische Zahl wird gebildet, indem man die römischen Ziffern beginnend mit der größten Ziffer in absteigender Wertigkeit hintereinander schreibt. Die Summe der Ziffern entspricht dann der Zahl. Damit nicht mehr als 3 idente Ziffern hinter einander angeschrieben werden, wird in diesen Fällen eine Ziffer mit geringerem Wert vor einer Ziffer mit höherem Wert geschrieben (Falsch: 9=VIIII; Richtig: 9=IX) . Durch diese Subtraktionsregel genannte Einschränkung, kann man mit römischen Ziffern nur die Menge der natürlichen Zahlen zwischen 1 bis 3999 darstellen (MMIM oder MMMCMXCIX). 

Mit römischen Zahlen kann man leider nicht einfach und praktisch schriftlich rechnen, weshalb die Römer als Rechenhilfe für Addition und Subtraktion den Abakus verwendet haben. Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit Stäben und Kugeln. Erst durch die indische bzw. arabische Ziffernschreibweise und dem Dezimalsystem wurde schriftliches Rechnen einfach möglich. Damit verschwanden die römischen Zahlen und werden heute meist nur aus ästhetischen Gründen, etwa auf Ziffernblätter, verwendet 

Arabische Ziffernschreibweise und die Entwicklung der modernen Mathematik

Die arabische Ziffernschreibweise war eine Weiterentwicklung der Zahlensysteme auf Babylonien (3000 v. Chr.) und Indien (500 v. Chr.) . Aus Indien stammte die Verwendung von "0" und die heutige Schreibweise der Ziffern 1,2,3, ... . Das indische Wissen verbreitete sich über die Seidenstraße nach Persien und Arabien. Im 10. und 11. Jahrhundert wurden als Folge der Übersetzung arabischer mathematischer Werke, die arabische Ziffernschreibweise auch in Europa bekannt. Entscheidend für deren Einführung in S-Europa war 1202 das Werk "Liber Abaci - Das Buch der Abakusrechnung" des italienischen Mathematikers Fibonacci. Europaweit hat sich die arabische Ziffernschreibweise erst im 15. Jahrhundert durchgesetzt. Durch die Ablösung der römischen Zahlen und durch die Verwendung der Ziffer "0" wurde eine leistungsfähige Mathematik erst möglich.

Der Verbreitung der Mathematik in Europa wurde durch die Erfindung des Buchdrucks um 1440 durch Johannes Gutenberg Vorschub geleistet. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnitz revolutionierten die Mathematik durch die Entdeckung der Infinitesimalrechnung, bei der mit unendlich kleinen Abweichungen gerechnet wurden und welche die heutige Differential- und Integralrechnung umfasst und somit die Grundlage der Analysis bilden. Im 18. Jahrhundert trug Euler maßgeblich zur Entwicklung der Zahlentheorie bei, während im 19. Jahrhundert Carl Friedrich Gauß,  Janos Bolyai und Nikolai Lobatschewski die Arbeiten von Euclid über die flache Geometrie durch die nichteuklidische Geometrie erweiterten,in dem sie das Parallelenaxiom negierten.

Zahl bzw. Ziffer

Jede natürliche Zahl besteht aus einer oder mehreren Ziffern. Jede Ziffer in einer Zahl hat einen Ziffernwert und einen Stellenwert, der vom jeweiligen Zahlensystem abhängt.
Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Stellenwert

Die additive Wertigkeit einer Ziffer hängt von ihrer Position in der Zahl ab. Uns ist das Zehnersystem besonders vertraut, aber gebräuchlich sind auch das Binärsystem oder das Hexadezimalsystem

Beispiel:
2.345,67 im Dezimalsystem
2 =Tausenderstelle, 3=Hunderterstelle, 4=Zehnerstelle,5= Einerstelle, 6=erste Nachkommastelle (=Zehntel), 7=zweite Nachkommastelle (=Hundertstel)

Stellenwertsysteme

Stellenwertsystem legen fest, welche Ziffernwerte eine Ziffer in einer Zahl annehmen darf und legen deren Stellenwert fest. Das gängigste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl ist eine von Null ausgehende Halbgerade, die der Veranschaulichung der natürlichen Zahlen dient, wobei jeder Zahl ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet wird.

• Vorgänger: Von zwei natürlichen Zahlen steht die kleinere Zahl weiter links als die größere Zahl. Jede Zahl hat einen um eins kleineren Vorgänger ( mit Ausnahme von Null)
• Nachfolger: Von zwei natürlichen Zahlen steht die größere Zahl weiter rechst als die kleinere Zahl. Jede Zahl hat einen um eins größeren Nachfolger.

Zahlengerade

Die Zahlengerade dient der Veranschaulichung reeller Zahlen, indem sie jeder reellen Zahl einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnet. Die Zahlengerade erweitert den Zahlenstrahl nach links und somit um die negativen Zahlen.

Gaußsche Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene dient der Veranschaulichung der komplexen Zahlen, wobei jeder Zahl ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene (Reale Achse und Imaginäre Achse) zugeordnet ist.

Bild

Darstellung von Zahlen als Tabelle

Eine Tabelle ist eine systematische Darstellung von Texten und Daten, aufgeteilt in Zeilen und Spalten.

Beispiel

Quelle: Statistik Austria, KFZ-Bestand 19.02.2020

Maschinenlesbare Darstellungen von Zahlencodes aus dem Alltag

Maschinenlesbare Darstellungen, von GS1 (Global Standards 1) normiert

• 1-Dimensionale Codes sind als Strichcode, der in 1 Richtung beschrieben ist, ausgeführt
  • EAN (European Article Number) verschlüsselt eine (8, besser) 13-stellige Artikelnummer GTIN (Global Trade Item Number), die sich aus Ländercode, Unternehmenscode und Artikelnummer sowie Prüfziffer zusammensetzt.
  • UPC-A (Universal Product Code, speziell für USA) verschlüsselt eine 12-stellige Artikelnummer GTIN (Global Trade Item Nuber).
  • DataBar verschlüsselt als verlängerter EAN neben der GTIN auch zusätzliche Angaben, wie Stückzahl, Gewicht, Preis usw. und eignet sich speziell für Handelseinheiten

• 2-Dimensionale Codes sind als Matrixcode, der in 2 Richtungen beschrieben ist, ausgeführt
  • QR-Code (Quick Response) für Marketing oder zur Registrierung bei Events, arbeitet mit URI, etwa einer URL, welche auf eine Webseite verweist, für 7.089 Zahlen oder 4.296 alphanumerischen Zeichen. Nur vom Herausgeber interpretierbar. Erfordert einen kamerabasierten Scanner, für Laserscanner nicht lesbar, 3 L-förmig angeordnete Quadrate an den Ecken markieren die Leserichtung
  • DataMatrix Code Arbeitet mit Element Strings, bestehend aus genormten Identifikationsnummern (für Gewicht, Ablaufdatum, zu verkaufen bis Datum,..) und den zugehörigen Informationen. Die Anzahl der kodierbaren Zeichen hängt von der Größe vom Viereck ab und liegt bei einer Matrixgröße von 132x132 bei 3.116 Zahlen oder 2.335 alphanumerischen Zeichen. Die Dekodierung ist standardisiert. Erfordert einen kamerabsierten Scanner, für Laserscanner nicht lesbar, 2 außen angeordnete L-förmige Linenpaare (durchgängig, bzw strichliert) markieren die Leserichtung
  • DotCode ist ein 2 dimensionaler Punktcode mit entweder fester Höhe und variabler Breite, die mit dem Datenumfang variiert, oder umgekehrt.

Terme

Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen bestehen. Gleichungen und Ungleichungen haben links und rechts vom Relationszeichen einen Term. Äquivalenz bezeichnet die Gleichwertigkeit von Termen.

• Beispiel für einen Term: \({x^2} + (px + q) \cdot 2\)
• Beispiel für kein Term, weil sinnlos: 1+!²

Terme sind Grundbestandteile um mathematische Aussagen zu formulieren. Sie müssen daher sinnvoll sein ("1" ist ein Term, "+" ist ein Term). Mathematisch Sinnloses stellt keinen Term dar.

Wert eines Terms

Den Wert eines Terms erhält man, indem man für die Variablen und für die durch Buchstaben ausgedrückten Konstanten konkrete Zahlen in den Term einsetzt

Beispiel:
\(\eqalign{ & {\text{Term: }}2x + c \cr & {\text{Variable }}x = 5 \cr & {\text{Konstante }}c = 3 \cr & {\text{Einsetzen in den Term: 2}} \cdot {\text{5 + 3}} \cr & {\text{Wert vom Term: }}13 \cr} \)

Gleichwertige bzw. äquivalente Terme

Zwei Terme sind gleichwertig bzw. äquivalent, wenn sie den selben Wert ergeben, nachdem man für die selben Variablen bzw. durch Buchstaben angeschriebene Konstanten im Term, jeweils den selben Zahlenwert eingesetzt hat.

Terme vereinfachen

• Gleich lautende Terme darf man zusammenfassen
  Beispiel: \(x + 2x - 4x = - x\)
• Prioritäten der Rechenoperationen: Klammern vor Punktrechnung vor Strichrechnung

Polynome

Man unterscheidet Terme nach der Anzahl ihrer Glieder. Für Polynome mit 1, 2 oder 3 Gliedern gibt es spezielle Bezeichner

• Monom: Term mit einem Glied
  Beispiel: \(\dfrac{2}{5}{x^3}\)
• Binom: Term mit zwei Gliedern. Das Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome
  Beispiel: \(\left( {a + b} \right)\)
• Trinom: Term mit drei Gliedern. Das Trinom ist die Summe oder Differenz dreier Monome
  Beispiel: \({a^2} - 2ab + {b^2}\)

Koeffizienten

Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor einer Variablen stehen. Der Koeffizient "1" wird nicht angeschrieben, sodass \(1 \cdot x = x\)

Konstante

Konstante sind Zahlen, die als alleinstehender Summand angeschrieben werden.
Beispiel: 2x+3

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• 3 ist eine Konstante

Achtung: Auch für Konstante werden Variablen wie a, b, c oder k verwendet. D.h. auch wenn ein Buchstabe verwendet wird, handelt es sich nach wie vor um eine Konstante. Die wohl berühmteste Konstante ist die Kreiszahl Pi: \(\pi = 3,14159\)

Beispiel: 2x+c

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• c ist eine Konstante, die für eine Zahl steht, die im aktuell betrachteten Zusammenhang nicht veränderlich ist

Variable

Variablen sind Platzhalter für veränderliche Elemente aus einer Grundmenge (z.B.: einen veränderlichen Zahlenwert)

• für Variablen bevorzugt man: x, y, z
• für Variablen, die abhängig von einer Formel mehrere Werte annehmen können, bevorzugt man x₁, x₂
• für Lauf-Variable, das sind Variablen die hochgezählt werden, also 0, 1, 2, 3,... bevorzugt man i, j für den höchsten Wert den die Zählvariable erreicht bevorzugt man n, m
• für Konstante bevorzugt man a, b, c, k

"Variable" auch "Platzhalter" oder "Veränderliche" stehen stellvertretend für einen veränderlichen Zahlenwert in Gleichungen oder Ungleichungen. Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. 

Lösbarkeit: Für n Variablen braucht man n unabhängige Gleichungen um das Gleichungssystem lösen zu können. Hat man n+1 Gleichungen ist das Gleichungssystem überbestimmt (was nicht automatisch ein Problem darstellen muss), hat man n-1 Gleichungen, ist das Gleichungssystem unlösbar, weil es unterbestimmt ist.

Rechenzeichen

Rechenzeichen sind Teil der mathematischen Notation und verbinden zwei Zahlen.
Die gängigsten Rechenzeichen sind das

• Plus-Zeichen: "a+b" für a und b werden addiert
• Minus-Zeichen: "a-b" für b wird von a subtrahiert
• Mal-Zeichen: "\(a \cdot b\)" für a und b werden multipliziert
• Dividiert-Zeichen: "\(a:b\,\,\,a/b\,\,\,a \div b\,\,\,\dfrac{a}{b}\)" für a wird durch b dividiert
• Plusminuszeichen: "\(a \pm b\)" für a plus oder minus b, kommt etwa beim Lösen quadratischer Gleichungen vor
• Minuspluszeichen: "\(a \mp b\)" für a minus oder plus b

Vorzeichen

Das Vorzeichen entscheidet ob die Zahl links und somit im negativen Bereich oder rechts und somit im positiven Bereich auf der Zahlengerade liegt. Steht kein Vorzeichen angeschrieben, so ist die Zahl grundsätzlich positiv. Bei negativen Vorzeichen in Verbindung mit Rechenzeichen empfiehlt sich die Verwendung von Klammern.

• Plus-Vorzeichen: \(1 = + 1\)
• Minus-Vorzeichen: \(- 1 = \left( { - 1} \right)\)

Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division

• Zweimal plus oder zweimal minus ergibt plus.
  • Positives mal Positives = Positives Ergebnis \(3 \cdot 2 = 6\)
  • Negatives mal Negatives = Positives Ergebnis \( - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 6\)
  • Positives durch Positives = Positives Ergebnis \(3/2 = 1,5\)
  • Negatives durch Negatives = Positives Ergebnis \(\left( - \right)3/\left( { - 2} \right) = 1,5\)
• Einmal plus und einmal minus ergibt minus.
  • Positives mal Negatives = Negatives Ergebnis \(3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 6\)
  • Negatives mal Positives = Negatives Ergebnis \( - 3 \cdot 2 = - 6\)
  • Positives durch Negatives = Negatives Ergebnis \(3/\left( { - 2} \right) = - 1,5\)
  • Negatives durch Positives = Negatives Ergebnis \(\left( { - 3} \right)/2 = - 1,5\)
• Positive oder negative Zahl mal Null ergibt Null \(\left( { - 3} \right) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0\)
• Null geteilt durch positive oder negative Zahl ergibt Null \(0/2 = 0/\left( { - 2} \right) = 0\)
• Positive oder negative Zahl geteilt durch Null ist in der klassischen Arithmetik nicht definiert \(2/0 \buildrel \wedge \over = \left( { - 2} \right)/0 = {\text{ nicht definiert}}\)

Relationszeichen

• Gleichheitszeichen
  Gleichungen sind Terme, die durch ein Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind
  Beispiel für eine Gleichung: 1+2x=5
• Ungleichheitszeichen
  Ungleichungen sind Terme, die durch ein Ungleichheitszeichen „<“, „≤“, „>“, „≥“, “ ≠“ verbunden sind
  Beispiel für eine Ungleichung: 1+2x>5

Klammern

Klammern sind Zeichen, die festlegen, in welcher Reihenfolge Terme ausgewertet werden. Es gibt mehrere Klammerstile, damit man diese optisch gut unterscheiden kann.

• Runde Klammer: \(\left( {{\rm{Term}}} \right)\)
• Eckige Klammer: \(\left[ {{\rm{Term}}} \right]\)
• Geschwungene Klammer: \(\left\{ {{\rm{Term}}} \right\}\)
• Verschachtelte Klammern: \(\left\{ {\left[ {\left( {{\rm{Term1}}} \right){\rm{Term2}}} \right]{\rm{Term3}}} \right\}\) Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst

Klammerregeln

• Plus vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Plus, so darf man die Klammer einfach weglassen
  \(a + \left( {b + c} \right) = a + b + c\)
   
• Minus vor der Klammer: Steht vor der Klammer ein Minus, so muss man beim Weglassen der Klammer alle Rechenzeichen die in der Klammer stehen umkehren
  \(\begin{gathered} a - \left( {b + c} \right) = a - b - c \hfill \\ a - \left( {b - c} \right) = a - b + c \hfill \\ \end{gathered} \)
   
• Ausmultiplizieren: Steht ein Faktor vor der Klammer, so multipliziert man diesen Faktor mit jedem Monom in der Klammer (Distributivgesetz)
  \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

• Herausheben: Kommt in mehreren Gliedern eines Polynoms der gleiche Faktor vor, so kann man diese Glieder in eine Klammer schreiben und den Faktor davor anschreiben.
  \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot \left( {b + c} \right)\)

• Einklammern: Darunter versteht man, wenn alle positiven und alle negativen Werte zu je einer Summe in einer Klammer zusammengefasst werden. Vor der Klammer mit der Summe der negativen Werte, kommt als Rechenzeichen ein Minus.
  \(a - b + c - d = (a + c) - (b + d)\)

• Ausklammern: Unter ausklammern versteht man das Auflösen von Klammern.

\(\left( {a - b} \right) - (c + d) = a - b - c - d\)

Rangordnung der Grundrechenarten

Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet:

• Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
• Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

Beispiel 1:

\(\eqalign{ & {\left( { - 3 + 4} \right)^2} - \left( {3 \cdot \left( { - 4 + 1} \right)} \right) = \cr & {\text{Exponenten und innere Klammern zuerst}} \cr & = \left( {9 - 24 + 16} \right) - \left( {3 \cdot \left( { - 3} \right)} \right) = \cr & {\text{Punktrechnung und Klammern auflösen}} \cr & =9 - 24 + 16 - \left( { - 9} \right) =\cr & {\text{Strichrechnung}} \cr & {\text{=9 - 24 + 16 + 9 = 10}} \cr} \)

Beispiel 2:
Achtung bei gleichrangigen Rechenarten:
\({6^2}:2 \cdot \left( {2 + 1} \right) = 36:2 \cdot 3 = ?\)

• Richtig: Wir rechnen von links nach rechts und schreiben die Division als Bruch an
  \(36:2 \cdot 3 = \dfrac{{36}}{2} \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54\)
• Falsch: Weil wir in der Rangordnung höhere Klammern dazuerfinden, die es in der Angabe gar nicht gibt. Daher auch das abweichende Resultat.
• \(36:2 \cdot 3 \ne 36:\left( {2 \cdot 3} \right) = \dfrac{{36}}{{2 \cdot 3}} = 36:6 = 6\)

Formel

Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen in Form einer Gleichung.

Beispiele für Formeln:

Grundrechnungsarten

Die vier Grundrechnungsarten umfassen die "Strichrechnungsarten" Addition und Subtraktion, sowie die "Punktrechnungsarten" Multiplikation und Division

Addition

​Die Addition ist der lateinische Name für die Plus Rechnung. Summand plus Summand ist gleich der Summe

• Summand ist die Zahl die dazu zuzählen ist
• Summe ist das Resultat einer Plus Rechnung

Subtraktion

​Die Subtraktion ist der lateinische Name für die Minus Rechnung. Minuend minus Subtrahend ist gleich der Differenz

• Minuend ist die Zahl von der etwas abgezogen wird
• Subtrahend ist die Zahl die abgezogen wird
• Differenz ist das Resultat einer Minus Rechnung

Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Addiert man eine Zahl und subtrahiert man sie wieder, so erhält man die Ausgangszahl

Multiplikation

​Die Multiplikation ist der lateinische Name für die Mal Rechnung. Faktor mal Faktor ist gleich dem Produkt

• Faktor ist die Zahl die multipliziert wird oder die Zahl mit der multipliziert wird
• Produkt ist das Resultat einer Mal Rechnung

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt ist dann null, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist.

Division

​Die Division ist der lateinische Name für das Teilen. Dividend durch Divisor ist gleich dem Quotient

• ​Dividend ist die Zahl die zu teilen ist
• Divisor ist die Zahl durch die geteilt wird
• Quotient ist das Resultat einer Geteilt Rechnung

Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Multipliziert man mit eine Zahl und dividiert man durch diese Zahl wieder, so erhält man die Ausgangszahl

Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division

• Plus mal / geteilt durch plus ergibt plus
• Plus mal / geteilt durch minus ergibt minus
• Minus mal / geteilt durch plus ergibt minus
• Minus mal / geteilt durch minus ergibt plus

Rechengesetze für reelle Zahlen

Für die vier Grundrechnungsarten gibt es mathematische Regeln, die in Form von Rechengesetzen formuliert sind

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

• ... der Addition: Summanden darf man vertauschen
  \(a + b = b + a\)
• ... der Multiplikation: Faktoren darf man vertauschen
  \(a \cdot b = b \cdot a\)

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

• ... der Addition: Summanden darf man zu Teilsummen verbinden
  \(\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)\)
• ... der Multiplikation: Faktoren darf man zu Produkten verbinden
  \(\left( {a \cdot b} \right) \cdot c = a \cdot \left( {b \cdot c} \right)\)

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

• Klammern dürfen ausmultipliziert werden
  \(\eqalign{ & a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c \cr & a \cdot \left( {b - c} \right) = a \cdot b - a \cdot c \cr} \)

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Existenz eines neutralen Elements

• das neutrales Element der Addition und der Subtraktion ist 0
  x+0=x; x-0=x
• das neutrales Element der Multiplikation und der Division ist 1
  x*1=x; x:1=x

Existenz eines inversen Elements

• das inverse Element der Addition ist (-x), das der Subtraktion ist (+x)
  x+(-x)=0; -x+(+x)=0
• das inverse Element der Multiplikation ist x^-1, das der Division ist x
  \(x \cdot {x^{ - 1}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{1}{x} \cdot x = 1\,\,\,\,\,{\rm{für x}} \ne {\rm{0}}\)

Diagramme und Histogramme

Diagramme und Histogramme dienen der Veranschaulichung von Größenverhältnissen zwischen Zahlen

Balkendiagramm

Ein Balkendiagramm stellt Balken parallel zur x-Achse dar. Die Länge vom Balken veranschaulicht die absolute oder relative Häufigkeit, die Breite vom Balken ist ohne Bedeutung.

Beispiel:
Für die Filialen mit den Nummern 10..14, die alle in der Innenstadt von Wien liegen, ist der Umsatz in 1000 € / Tag bekannt. Veranschauliche die Werte in einem Balkendiagramm

Säulendiagramm

Ein Säulendiagramm stellt Säulen senkrecht zur x-Achse dar. Die Länge der Säule veranschaulicht die absolute oder relative Häufigkeit, die Breite der Säule ist ohne Bedeutung.

Bild

Kreisdiagramm

Ein Kreisdiagramm stellt relative Häufigkeiten in Form von Teilen eines Kreises dar, wobei 360° 100% entspricht. Der Radius vom Kreis ist beliebig, entscheidend ist der Winkel je relativer Häufigkeit.
\({\text{Öffnungswinkel}} = \dfrac{{360^\circ \cdot {\text{Teilwert}}}}{{{\text{Gesamtwert}}}}\)

Beispiel:
Darstellung der Anteile A, B und C
\(\eqalign{ & A = 50\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 50\% }}{{100\% }} = 180^\circ \cr & B = 33\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 33\% }}{{100\% }} = 118,8^\circ \cr & C = 17\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 17\% }}{{100\% }} = 61,2^\circ \cr} \)

Stängel-Blatt-Diagramm

Das Stängel-Blatt-Diagramm ist eine tabellarische Darstellung von Zahlen, bei der es jeweils eine Spalte pro Stellenwert (Dezimalstelle) gibt.

Beispiel:
Stängel-Blatt-Diagramm zur Visualisierung der Häufigkeitsverteilung einer Messreihe.

Beispiel:
Vertraut ist uns diese Darstellung von den Fahrplänen öffentlicher Verkehrsmittel, bei denen der „Stängel“ der Stunde und das „Blatt“ der Minute von der Abfahrtzeit entspricht.

Mengendiagramm (Venn-Diagramm)

Ein Mengendiagramm veranschaulicht welche Elemente innerhalb eines geschlossenen Linienzugs liegen und somit Element der Menge sind, und welche Elemente außerhalb vom geschlossenen Linienzugs liegen und somit kein Element der Menge sind.

Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme

Bei Zahlensystemen bzw. bei Stellenwertsystemen wird jeder Stelle einer Zahl ein Wert zugeordnet. Dieser Wert jeder Stelle hängt von zwei Parametern ab und zwar von der Höhe der Ziffer selbst und von der Position in der Zahl, an der die Ziffer steht. Aus der Summe der Stellenwerte ergibt sich der Zahlenwert. In der täglichen Praxis haben sich verschiedene Zahlensysteme etabliert, die man einfach in einander umrechnen kann. Am vertrautesten ist uns das Dezimalsystem, auch Zehnersystem genannt. Hätte der Mensch 16 Finger, so wäre uns wohl das Hexadezimalsystem besser vertraut als das Dezimalsystem...

Dekadisches Zahlensystem bzw. Dezimalsystem bzw. Zehnersystem

Im dekadischen Zahlensystem ist das Zehnfache der Einheit, die nächsthöhere Einheit. 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hunderter, 10 Hunderter sind 1 Tausender, ...

Ziffernwert: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Stellenwerte: 1, 10, 100,..., Vielfache von 10

Die Basis im Dezimalsystem ist also die Zahl 10. Die einzelnen Stellen sind

• ...
• Tausenderstelle
• Hunderterstelle
• Zehnerstelle
• Einerstelle
• Zehntelstelle
• Hundertstelstelle
• ...

Große Zahlen gruppiert man in Dreiergruppen, die durch

• Leerzeichen Beispiel: \(6\,789,12\)
• Tausenderpunkt Beispiel(im deutschen Sprachraum): \(6.789,12\)
• Tausenderkomma (im englischen Sprachraum Beispiel: \(6,789.12\)

getrennt werden.

Beispiel
dezimal 123 = abc = a·10²+b·10¹+c·10⁰ mit a=1, b=2 und c=3

Beispiel
Dezimalsystem: Zahl = 123
diese Zahl besteht aus den drei Ziffern 1, 2, 3 die an der Hunderterstelle, Zehnerstelle und Einerstelle stehen

Sellenwert der "1" = 100 → Zahlenwert ist 100x1=100
Stellenwert der "2" = 10 → Zahlenwert ist 10x2=20
Stellenwert der "3" = 1 → Zahlenwert ist 1x3=3

Zahlenwert der Zahl "123" = 100+20+3=123 Einhundertdreiundzwanzig

Dual- bzw. Binärsystem

Im Dualsystem ist das Zweifache der Einheit die nächsthöhere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 2.

Ziffernwerte: 0, 1
Stellenwert: Vielfache von 2.

Das Binärsystem ist vor allem in der Datenverarbeitung im Computer in Verwendung. „0“ bedeutet dann, es fließt kein Strom, während „1“ bedeutet, es fließt Strom.

Beispiel
binär 1010 = a+b+c+d=a·2³+b·2²+c·2¹+d·2⁰ = 1·8+0·4+1·2+0·1=10 (dekadisch)

Hexadezimalsystem

Im Hexadezimalsystem ist das Sechzehn-fache der Einheit die nächst größere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 16.

Ziffernwerte: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Stellenwerte: Vielfache von 16.

Das „Sechzehnfache“ hat man gewählt, weil man damit 4 Bit einer Dualzahl in einer einzigen hexadezimalen Ziffer zusammenfassen kann.

Beispiel
Hex C4 bzw. #C4 = Dez: 12·16¹+4·16⁰=192+4=196 (dekadisch) oder Bin: 1100 0100

BCD Code

Bei BCD handelt sich um kein Zahlensystem sondern um einen Code, der in der Datenverarbeitung weit verbreitet ist.
Im Binary Coded Decimal System wird jede Stelle einer dezimalen Ziffer dualkodiert.

Beispiel
Dezimal 19 = 0001 1001 weil für die Zehnerstelle 1 = 0001 und für die Einerstelle 9 = 1001 gilt.

Gegenüberstellung Dezimal- Dual und Hexadezimalsystem sowie BCD Code