Aufgabe 1146
AHS - 1_146 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lokales Maximum
Gegeben ist eine Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1________ ist und _____2______ ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x1 ein lokales Maximum.
| 1 | |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) < 0\) | A |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) | B |
| \(f'\left( {{x_1}} \right) > 0\) | C |
| 2 | |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\) | I |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) = 0\) | II |
| \(f''\left( {{x_1}} \right) > 0\) | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Um festzustellen ob an einer Stelle x0 (oder x1 - egal wie man die Stelle nennt) ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt, muss man die 1. und die 2. Ableitung der Funktion wie folgt überprüfen:
- lokales Minimum: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\)
- lokales Maximum: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\)
Lösungsweg
Ein lokales Maximum liegt vor wenn: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\)
Somit können wir den Satz wie folgt vervollständigen:
→ Wenn \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) ist und \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\) ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x1 ein lokales Maximum.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wenn \(f'\left( {{x_1}} \right) = 0\) ist und \(f''\left( {{x_1}} \right) < 0\) ist, besitzt die gegebene Funktion f an der Stelle x1 ein lokales Maximum.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken jeweils der richtige Satzteil angekreuzt ist.