Polynomfunktion n-ten Grades
Eine Polynomfunktion besteht aus einer Summe von n Potenzen einer Variablen x, und aus Koeffizienten, die Faktoren zu ebendieser Variablen x sind.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Polynomfunktionen n-ten Grades
Ein Polynom ist die Summe von mehreren Potenzfunktionen. Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_0}} \right.} \right)\). Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen ist nicht eingeschränkt, daher gilt: \(D = {\Bbb R}\). Polynomfunktionen werden auch ganzrationale Funktionen genannt.
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} \)
\(f\left( x \right) = c \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right){\text{ wobei }}{{\text{x}}_n}{\text{ die n Nullstellen sind}}\)
wobei:
| \(\eqalign{ & {a_n},{a_{n - 1}},...,{a_1},{a_0} \cr & n \in N;\,\,\,\,\,{a_i} \in {\Bbb R};\,\,\,\,\,{a_n} \ne 0 \cr} \) | Koeffizienten |
| ai | i-ter Koeffizient |
| n | höchste Potenz |
| \({a_2} \cdot {x^2}\) | quadratisches Glied |
| \({a_1} \cdot x\) | lineares Glied |
| \({a_0}\) | konstantes Glied |
Die wichtigsten Polynomfunktionen:
n=0:
konstante Funktion
\(f\left( x \right) = {a_0}\)
- 0 oder bei f(x)== unendlich viele Nullstellen
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft parallel zur x-Achse
n=1:
lineare Funktion
\(f\left( x \right) = {a_1} \cdot x + {a_0} = k \cdot x + d\)
- 1 Nullstelle
- 0 Extremstellen
- 0 Wendestellen
- Typischer Graph ist eine Gerade, welche die x und die y-Achse schneidet
n=2:
quadratische Funktion bzw. Parabel
\(f\left( x \right) = {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0} = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
- 0, 1 oder 2 Nullstellen
- 1 Extremstelle, bei: \(x = - \dfrac{{{a_1}}}{{2{a_2}}}{\text{ für }}{{\text{a}}_2} \ne 0\)
- 0 Wendestelle
- Typischer Graph ist eine Parabel
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- a > 0 → Graph noch oben offen (U-förmig), d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt
- a < 0 → Graph nach unten offen, d.h. der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt
- Der Faktor b bewirkt eine Schiebung in x und y-Richtung.
- b = 0 → Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf der y-Achse. Wo auf der y-Achse der Scheitelpunkt liegt, hängt dann nur von c ab
- b = 0 und c = 0 → Scheitelpunkt der Parabel liegt im Ursprung vom Koordinatensystem
- Der Faktor c bewirkt ausschließlich eine Verschiebung noch oben (c>0) oder nach unten (c<0)
n=3:
kubische Funktion
\(f(x) = {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 1, 2 oder 3 Nullstellen
- 0 oder 2 Extremstellen
- 1 Wendestelle
- Typischer Graph verläuft s-förmig
n=4:
\(f(x) = {a_4} \cdot {x^4} + {a_3} \cdot {x^3} + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- 0 .. 4 Nullstellen
- 1 oder 3 Extremstellen
- 0 oder 2 Wendestellen
- Typischer Graph verläuft w-förmig
Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
Extremstellen: Maximale Anzahl der Extremstellen = Grad der Funktion n minus 1
Wendepunkte: Maximale Anzahl der Wendepunkte = Grad der Funktion n minus 2
- \(n \geqslant 3\) und n gerade: 0, 2, 4,.. Wendestellen
- \(n \geqslant 3\) und n ungerade: mindestens 1 Wendestelle
konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
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Aufgaben
Aufgabe 4017
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil b
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.
Begründen Sie, warum der Grad der in der obigen Abbildung dargestellten Polynomfunktion p größer oder gleich 4 sein muss.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4018
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
Teil c
Der Graph der Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) verläuft durch die folgenden 5 Punkte:
\(\eqalign{ & A = \left( {0\left| {1,8} \right.} \right) \cr & B = \left( {0,25\left| {2,1} \right.} \right) \cr & C = \left( {0,5\left| {0,4} \right.} \right) \cr & D = (0,75\left| {0,7)} \right. \cr & E = \left( {1\left| {0,5} \right.} \right) \cr} \)
mit
| x | horizontale Koordinate in Metern (m) |
| p(x) | vertikale Koordinate in Millimetern (mm) |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion p auf.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion p.
[1 Punkt]
Aufgabe 4004
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250
Teil b
Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.
\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
| x | horizontale Entfernung des Balls von der Abschussstelle in Metern (m) |
| h(x) | Höhe des Balls über dem Boden an der Stelle x in m |
Julia fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen Julia sich dabei befinden kann. [1 Punkt]
Aufgabe 1413
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Den Graphen einer Polynomfunktion skizzieren
Eine Polynomfunktion f hat folgende Eigenschaften:
- Die Funktion ist für x ≤ 0 streng monoton steigend.
- Die Funktion ist im Intervall [0; 3] streng monoton fallend.
- Die Funktion ist für x ≥ 3 streng monoton steigend.
- Der Punkt P = (0|1) ist ein lokales Maximum (Hochpunkt).
- Die Stelle 3 ist eine Nullstelle.
Aufgabenstellung:
Erstellen Sie anhand der gegebenen Eigenschaften eine Skizze eines möglichen Funktionsgraphen von f im Intervall [–2; 4]!
Aufgabe 1123
AHS - 1_123 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion
Es sind die Graphen von vier Polynomfunktionen gegeben
| Funktion A | \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x\) |
| Funktion B | \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 2x\) |
| Funktion C | \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) |
| Funktion D | \(f\left( x \right) = - {x^4} + 4{x^2}\) |
| Funktion E | \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3}\) |
| Funktion F | \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) |
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den obigen Graphen jeweils die entsprechende Funktionsgleichung (aus A bis F) zu!
| Deine Antwort | |
| Graph 1 | |
| Graph 2 | |
| Graph 3 | |
| Graph 4 |
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Aufgabe 1508
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion vom Grad n
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Alle charakteristischen Punkte des Graphen (Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkte, Wendepunkte) sind in dieser Abbildung enthalten.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die Polynomfunktion f ist vom Grad___1___ , weil f genau ___2___ hat.
| 1 | |
| \(n < 3\) | A |
| \(n = 3\) | B |
| \(n > 3\) | C |
| 2 | |
| eine Extremstelle | I |
| zwei Wendestellen | II |
| zwei Nullstellen | III |
Aufgabe 1289
AHS - 1_289 & Lehrstoff: FA 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang Tabelle – Graph
Von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\) kennt man die Funktionswerte f(x) an einigen Stellen x.
- Graph A:
- Graph B:
- Graph C:
- Graph D:
- Graph E:
- Graph F:
- Wertetabelle 1:
| x | f1(x) |
| -3 | 4 |
| -1 | 0 |
| 1 | 2 |
- Wertetabelle 2:
| x | f2(x) |
| -2 | -2 |
| 0 | 0 |
| 2 | -2 |
- Wertetabelle 3:
| x | f3(x) |
| 0 | 0 |
| 3 | 6 |
| 4 | 0 |
- Wertetabelle 4:
| x | f4(x) |
| -3 | 2 |
| -1 | 0 |
| 3 | 2 |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Tabellen jeweils einen möglichen Graphen (aus A bis F) richtig zu!
| Deine Antwort | |
| Wertetabelle 1 | |
| Wertetabelle 2 | |
| Wertetabelle 3 | |
| Wertetabelle 4 |
Aufgabe 1007
AHS - 1_007 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung einer Polynomfunktion
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = 7{x^3} - 5{x^2} + 2x - 3\)
Aufgabenstellung:
Bilden Sie die 1. und die 2. Ableitung der Funktion f!
Aufgabe 1149
AHS - 1_149 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f.
- Aussage 1: Die Funktion f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [2; 5] streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
- Aussage 4: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle.
- Aussage 5: Die Funktion f ist im Intervall [–2; 0] links gekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
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Aufgabe 1019
AHS - 1_019 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktionen
Die folgenden Aussagen beschreiben Eigenschaften von Polynomfunktionen f mit \(f\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i} \cdot {x^i}} {\text{ mit }}n \in \mathbb{N}\)
- Aussage 1: Jede Polynomfunktion dritten Grades hat genau eine Wendestelle.
- Aussage 2: Jede Polynomfunktion vierten Grades hat mindestens eine Nullstelle.
- Aussage 3: Jede Polynomfunktion, die zwei lokale Extremstellen hat, ist mindestens vom Grad 3.
- Aussage 4: Jede Polynomfunktion, die genau zwei lokale Extremstellen hat, hat mindestens eine Wendestelle.
- Aussage 5: Jede Polynomfunktion, deren Grad größer als 3 ist, hat mindestens eine lokale Extremstelle.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1040
AHS - 1_040 & Lehrstoff: FA 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Grad einer Polynomfunktion
Gegeben sind Ausschnitte der Graphen von fünf Polynomfunktionen f1 bis f5. Die Ausschnitte enthalten alle Extrem- und Wendepunkte der Graphen.
Zum weiterlesen bitte Aufklappen:
- Aussage 1: Die Polynomfunktion f1 hat den Grad 2.
- Aussage 2: Die Polynomfunktion f2 hat den Grad 2.
- Aussage 3: Die Polynomfunktion f3 hat den Grad 4.
- Aussage 4: Die Polynomfunktion f4 hat den Grad 3.
- Aussage 5: Die Polynomfunktion f5 hat den Grad 3.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) zum Grad an!