Ungerade Funktion

Gerade und ungerade Funktionen

Abhängig vom Symmetrieverhalten unterscheidet man zwischen geraden und ungeraden Funktionen.

Gerade Funktion

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)

Beispiele für gerade Funktionen:

• die konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
• die Betragsfunktion \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
• die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n gerade}}\)
• die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_1},{a_3},{a_{ungerade}} = 0\)
• die Kosinusfunktion \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\)
• die Sekansfunktion \(f\left( x \right) = \sec \left( x \right)\)

Ungerade Funktion

Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)

Beispiele für ungerade Funktionen

• die Vorzeichenfunktion \(f\left( x \right) = \operatorname{sgn} \left( x \right)\)
• die identische Funktion \(f\left( x \right) = x\)
• die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n ungerade}}\)
• die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_0},{a_2},{a_{gerade}} = 0\)
• die Sinusfunktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
• die Tangensfunktion \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\)

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)

Verschiebungen vom Graph zufolge von Parametern

• (x+n): Der Graph ist um n nach links, also entlang der negativen x-Achse, verschoben
• (x-n): Der Graph ist um n nach rechts, also entlang der positiven x-Achse, verschoben
• \(c \cdot {x^z} + b\): Der Graph wird nach oben, also entlang der positiven y-Achse, verschoben
• b=0: Der Graph verläuft durch den Ursprung
• \(c \cdot {x^z} - b\): Der Graph wird nach unten, also entlang der negativen y-Achse, verschoben

Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

​Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"

\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)​

Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist →​ weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)

Grafisches Differenzieren

Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt

Merkhilfe: NEW-Regel

N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle

Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren

Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen

Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen

Graph mit Hochpunkt

Graph mit Tiefpunkt

Graph mit Wendepunkt

Graph mit Sattelpunkt