Lineare Optimierung

Extremwertaufgabe

Ein Bauer hat 700m Gartenzaun. Er will ein Gemüsebeet mit der größtmöglichen rechteckigen Fläche einzäunen. Welche Länge l bzw. welche Breite b muss er wählen?

Kurvendiskussion

Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

• 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• 2. Teilaufgabe: Polstellen
• 3. Teilaufgabe: Lücken
• 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
• 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
• 6. Teilaufgabe: Symmetrien
• 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
• 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
• 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
• 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
• 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
• 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
• 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
• 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
• 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
• 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Extremwert 1: \(E{W_1}\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
• Extremwert 2: \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Hochpunkt: \(HP\left( {0\left| 6 \right.} \right)\)
• Punkt \(P\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
• Tangente in P hat den Anstieg: \({\rm{k = - 2}}{\rm{,5}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Hochpunkt \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
• Wendepunkt \(WP\left( {0\left| 1 \right.} \right)\)

Gleichung der Tangente an den Graph eines Polynoms

Gesucht ist die Gleichung der Tangente gemäß \(y = kx + d\) an den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\) an der Stelle \(x = - \dfrac{1}{3}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Extremstelle: \(EST(\dfrac{1}{3}\left| {ES{T_y}} \right.)\)
• Wendepunkt: \(WP\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {W{P_y}} \right.} \right)\)
• Gleichung der Wendetangente: \(WT:\,y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades:

• Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( { - 2\left| 0 \right.} \right)\)
• Punkt auf dem Graph: \({\rm{P}}\left( {0\left| 4 \right.} \right)\)
• Anstieg der Tangente in P: \({\rm{k = 10}}\)

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

• Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( {4\left| y \right.} \right)\)
• Gleichung der Wendetangente: \(x + y = 8\)
• Der Graph von f(x) verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems

Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 4. Grades

• Die Funktion ist gerade, also symmetrisch zur x-Achse
• Sie hat ein lokales Maximum bei \({\rm{Max}}\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
• Sie hat einen Wendepunkt bei: \(W{P_1}(\sqrt {\dfrac{2}{3}} \left| { - \dfrac{2}{9})} \right.\)