Direkt zum Inhalt

Maths2Mind Navigation

      • Terme und Zahlensysteme
      • Fest- und Gleitkommadarstellung, Zehnerpotenzen, SI-Präfixe
      • Teiler bzw Vielfache
      • Brüche und Rundungsregeln
      • Kartesische-, trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung
      • Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
      • Fundamentalsatz der Algebra
      • Quadratische Gleichungen mit komplexer Lösung
      • Die Schönheit der Fraktale und der Selbstähnlichkeit
      • Potenzieren
      • Wurzelziehen
      • Logarithmieren
      • Determinante
      • Matrizen
      • Lineare Gleichung mit einer Variablen
      • Quadratische Gleichung mit einer Variablen
      • Lineare Gleichungssyteme mit zwei Variablen
      • Lineare Ungleichung mit einer Variablen
      • Lineare Ungleichung mit zwei Variablen
      • Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen
      • Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen
      • Quadratische Ungleichungen mit einer Variablen
      • Zahlenfolgen und Zahlenreihen
      • Modellbildung, Simulation
      • Zuordnungen
      • Eigenschaften einer Funktion
      • Lineare Funktion
      • Quadratische Funktionen (Parabel)
      • Polynomfunktionen
      • Gebrochenrationale Funktionen (Hyperbel)
      • Wurzelfunktionen
      • Potenzfunktionen
      • Exponentialfunktion
      • Logarithmusfunktion
      • Periodische Funktionen
      • Änderungsmaße
      • Differenzierbarkeit
      • Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln
      • Lineare Optimierung
      • Differentialgleichungen
      • Unbestimmtes Integral
      • Bestimmtes Integral
      • Stammfunktionen und Integrationsregeln
      • Numerische Integration
      • Integro-Differentialgleichungen
      • Geometrische Grundbegriffe
      • Koordinatensysteme
      • Ähnlichkeit und Kongruenz
      • Dreiecke
      • Vierecke
      • Polygone
      • Kreis, Kreissektor und Kreisbogen
      • Würfel, Quader, Prisma
      • Zylinder und Zylinderstumpf
      • Pyramide und Pyramidenstumpf
      • Kegel und Kegelstumpf
      • Kugel und Kugelkalotte
      • Winkel- und Arkusfunktionen
      • Hyperbel- und Areafunktionen
      • Vektoren
      • Vektoralgebra
      • Vektoranalysis
      • Gleichungen von Punkt, Gerade und Ebene
      • Gleichungen von Kreis, Kugel und Kegelschnitten
      • Kombinatorik
      • Beschreibende Statistik - Lagemaße
      • Beschreibende Statistik - Streumaße
      • Schließende Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung
      • Explorative Statistik - Data Mining
      • Aussagen
      • Mengen
      • Prüfungsteil A - Analysis
      • Prüfungsteil A - Stochastik
      • Prüfungsteil A - Geometrie
      • Prüfungsteil B - Analysis
      • Prüfungsteil B - Stochastik
      • Prüfungsteil B - Geometrie
      • Typ 1 - Algebra und Geometrie
      • Typ 1 - Analysis
      • Typ 1 - Funktionale Abhängigkeiten
      • Typ 1 - Wahrscheinlichkeit und Statistik
      • Typ 2 - Vernetzung der Grundkompetenzen
      • Teil A Aufgaben für alle Cluster
      • Teil B Aufgaben für spezielle Cluster
      • Zins- und Zinseszinsrechnung
      • Prozent- und Promillerechnung
      • Rentenrechnung
      • Kosten- und Preistheorie
      • Investitionsrechnung
      • Computer Algebra Systeme und Künstliche Intelligenz
      • GeoGebra
      • Wolfram Alpha
      • Berechnung von Gleichstromkreisen
      • Berechnung von Wechselstromkreisen
      • Berechnung von Drehstromsystemen
      • Elektro- und Magnetostatik
      • Elektrodynamik
      • Fourier Analyse
      • Basiseinheiten der Physik und die Naturkonstanten
      • Mechanik
      • Thermodynamik
      • Relativitätstheorien
      • Atom- und Kernphysik
      • Strahlen- und Wellentheorie des Lichtes
      • Vom Photon zum Photo
      • Photovoltaik
      • Quantenphysik
      • Standardmodell der Kosmologie
      • Standardmodell der Elementarteilchen
      • Die 4 Wechselwirkungen und der Higgs Mechanismus
      • Recruiting & Employer Branding
      • Zusammenarbeit mit LehrerInnen und Dozenten
      • Angeleitetes autonomes Lernen
      • Testbilder
      • Taxonomie
Maths2Mind

User account menu

  • Anmelden

Pfadnavigation

  1. Maths2Mind
  2. Algebra
  3. Gleichungen
  4. Quadratische Gleichung mit einer Variablen

Quadratische Gleichung mit einer Variablen

Hier findest du folgende Inhalte

2
Formeln
20
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Quadratischen Gleichung mit einer Variablen

    In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man eine quadratische Gleichung lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.

    Gleichung 2. Grades

    Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied

    \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)

    Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbei führen.

    • Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
    • Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
    • Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse

    Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel

    Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc Formel. Die abc Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“ genannt

    \(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)

    Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.


    Quadratische Gleichung in Normalform

    Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied

    \({x^2} + px + q = 0\)


    Normierte quadratische Gleichung

    Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren

    \(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)


    Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel

    Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel

    \(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)

     

    Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten: 

    \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

     

    Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.


    Rein quadratische Gleichung

    Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.

    \(a \cdot {x^2} + c = 0\)


    Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung

    Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung

    \(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)


    Diskriminante

    In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.

    Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.

    1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse 
    2. Fall: D = 0
    à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse.
    3. Fall: D < 0
    à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.


    Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen

    Funktion f f(x) = x² Funktion g g(x) = x² + 2 Funktion h h(x) = x² - 2 ${x^2}$ Text2 = “${x^2}$” ${x^2}$ Text2 = “${x^2}$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$ Text1_{2} = “${x^2} - 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 \to D > 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$ Text3 = “${x^2} + 2 = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - 2} \to D < 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” ${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$ Text1 = “${x^2} = 0 \to {x_{1,2}} = \pm \sqrt 0 \to D = 0$” NST_1 Text4 = “NST_1” NST_1 Text4 = “NST_1” NST_2 Text5 = “NST_2” NST_2 Text5 = “NST_2” NST_1_,_2 Text6 = “NST_1_,_2” NST_1_,_2 Text6 = “NST_1_,_2” NST_1_,_2 Text6 = “NST_1_,_2” NST_1_,_2 Text6 = “NST_1_,_2” x Text7 = “x” f(x) Text8 = “f(x)”


    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.

    \(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)

    → Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.

    Rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung
    Normalform
    pq-Formel
    Konjugiert komplexe Lösungen
    Diskriminante gleich Null
    Diskriminante größer Null
    Diskriminante kleiner Null
    Normierte quadratischen Gleichung
    Diskriminante
    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    Rechnerische Lösung einer rein quadratischen Gleichung
    Gleichung zweiten Grades
    Quadratisches Glied
    Lineares Glied
    Konstantes Glied
    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    abc-Formel
    Mitternachtsformel
    Gleichung der Parabel
    Allgemeine quadratische Gleichung
    Fragen oder Feedback

    Banner Werbung für Region DE

    Schon für den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

     

    Startseite
    Bild
    Illustration Buch mit Cocktail 1050 x 450
    Startseite
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Satz von Vieta

    Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann


    Satz von Vieta (Allgemeine Form)

    Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der Gleichung

    \(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

    Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

    \( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

    \(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)

    ​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.


    Satz von Vieta (Normalform)

    Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.

    \({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)

    Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

    \( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

    \(q = {x_1} \cdot {x_2}\)

    ​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.


    Faktorisieren

    Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.

    \(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)


    Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades

    Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x1 und x2 kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
    \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

    \({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)


    Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads

    Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.

    \(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

    → Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.

    Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:

    Wenn man alle Nullstellen xi bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.

    Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x1 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x1) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom pn durch den Linearfaktor. Das Restpolynom pn-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.

    \(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)

    Nun versucht man vom Restpolynom pn-1 wieder eine Nullstelle x2 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x2) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.


    Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung

    Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.

    \(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)


    Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung

    Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.

    Satz von Vieta
    Linearfaktoren
    Faktorisieren
    Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades
    Hornersche Regel
    Horner Schema
    Fragen oder Feedback
    Aufgaben
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 64

    Potenzieren von Potenzen

    Vereinfache:

    \(w = \left( {{{\left( {\dfrac{{ - 4ar}}{{3{b^2}s}}} \right)}^3}:{{\left( {\dfrac{{4ar}}{{12{b^3}{s^2}}}} \right)}^2}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{{bs}}{{2ar}}} \right)^4}\)

    Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
    Potenzen potenzieren
    Potenzen dividieren
    Potenzieren von Potenzen - 64. Aufgabe
    Fragen oder Feedback

    Banner Werbung für Region DE

    Schon für den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

     

    Startseite
    Bild
    Illustration Buch mit Cocktail 1050 x 450
    Startseite
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 65

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    1. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer quadratischen Gleichung ?
    2. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer normierten quadratischen Gleichung?
    3. Teilaufgabe: Dokumentiere durch ein Beispiel, wie man eine quadratische Gleichung, in eine normierte quadratische Gleichung überführen kann.

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Normierte quadratischen Gleichung
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 66

    Welche 3 Lösungsfälle können bei quadratischen Gleichungen auftreten? Unterscheide an Hand der Diskriminante!

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Normierte quadratischen Gleichung
    Diskriminante gleich Null
    Diskriminante größer Null
    Diskriminante kleiner Null
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 67

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \(a{x^2} + bx + c = 0;\,\,\,\,\,a{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

    Zeige an Hand des Beispiels a=4 und b=12 für den Spezialfall c=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + bx = 0\) lösen kann.

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Konstantes Glied
    Herausheben bei Polynomen
    Äquivalenzumformungen bei Gleichungen
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 68

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \(a{x^2} + bx + c = 0;{\text{ a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

    Zeige an Hand des Beispiels a=4 und c= -100 für den Spezialfall b=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + c = 0\) lösen kann.

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Lineares Glied
    Fragen oder Feedback

    Banner Werbung für Region DE

    Schon für den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

     

    Startseite
    Bild
    Illustration Buch mit Cocktail 1050 x 450
    Startseite
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 69

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung

    \({x^2} = k\)

    Für welche k hat diese Gleichung eine, zwei bzw. keine Lösung in R?

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Lineares Glied
    Diskriminante gleich Null
    Diskriminante größer Null
    Diskriminante kleiner Null
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 70

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({\left( {x - 3} \right)^2} = 25\)

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Quadratische Ergänzung
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 71

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \({x^2} + 4x + 2 = 14\)

    Berechne x1,2 mittels der Methode eines vollständigen Quadrats.

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Quadratische Ergänzung
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 72

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    \({x^2} - 6x = - 5\)

    Berechne x1,2 mittels der Methode eines vollständigen Quadrats.

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    Quadratische Ergänzung
    Fragen oder Feedback

    Banner Werbung für Region DE

    Schon für den nächsten Urlaub geplant?
    Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
    Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.

     

    Startseite
    Bild
    Illustration Buch mit Cocktail 1050 x 450
    Startseite
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 73

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({x^2} - 6x + 6 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    pq-Formel
    Diskriminante größer Null
    Konjugiert komplexe Lösungen
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 74

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({x^2} - 6x + 9 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    pq-Formel
    Diskriminante gleich Null
    Fragen oder Feedback
    LösungswegBeat the Clock

    Aufgabe 75

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen

    Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({x^2} - 6x + 12 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit einer Variablen
    pq-Formel
    Diskriminante kleiner Null
    Fragen oder Feedback

    Seitennummerierung

    • Aktuelle Seite 1
    • Page 2
    • Nächste Seite
    • Letzte Seite

    Sidebar Werbung für Region DE

    maths2mind®

    Kostenlos und ohne Anmeldung
    Lehrstoff und Aufgabenpool

    verständliche Erklärungen
    schneller Lernerfolg
    mehr Freizeit

    /
    Bild
    Illustration - Lady with Smartphone
    /

    Mathematik, Elektrotechnik und Physik
    für Gymnasien, AHS, BHS und BRP

    Wissen im Gedächtnis verankert
    dank kurzer einprägsamer
    Mikro-Lerneinheiten

    Hier geht's zur Startseite,
    dort findest du den Lehrstoff zu:

    Algebra
    Analysis
    Geometrie
    Stochastik
    Logik
    Wirtschaftsmathematik
    Elektrotechnik
    Physik

    /

    Fußzeile

    • FAQ
    • Über maths2mind
    • Cookie Richtlinie
    • Datenschutz
    • Impressum
    • AGB
    • Blog

    © 2022 maths2mind GmbH