Quadratische Gleichung mit einer Variablen

Quadratischen Gleichung mit einer Variablen

In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.

Gleichung 2. Grades

Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied

\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)

Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.

• Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
• Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
• Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse

Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel

Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“

oder „große Lösungsformel“ genannt.

\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)

Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x₁ ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x₂ ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.

Quadratische Gleichung in Normalform

Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied

\({x^2} + px + q = 0\)

Normierte quadratische Gleichung

Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren

\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel

Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.

\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)

Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten: 

\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.

Rein quadratische Gleichung

Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.

\(a \cdot {x^2} + c = 0\)

Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung

Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung

\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)

Diskriminante

In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.

Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.

1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse 
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.

Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen

Bild

Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.

\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)

→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.

Satz von Vieta

Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann

Satz von Vieta (Allgemeine Form)

Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der Gleichung

\(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)

Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Satz von Vieta (Normalform)

Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x₁ und x₂ der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.

\({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)

Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen

\( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(q = {x_1} \cdot {x_2}\)

​Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x₁ und x₂ einfach ausrechnen.

Faktorisieren

Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt aus zwei oder mehr Faktoren umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.

\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)

Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades

Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x₁ und x₂ kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

\({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung

Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x₁, x₂ der zugrunde liegenden Funktion in den geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)

Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
 

• Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
• Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.

Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads

Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)

→ Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.

Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:

Wenn man alle Nullstellen x_i bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.

Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x₁ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₁) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom p_n durch den Linearfaktor. Das Restpolynom p_n-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.

\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)

Nun versucht man vom Restpolynom p_n-1 wieder eine Nullstelle x₂ und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x₂) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.

Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung

Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.

\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)

Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung

Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.