Winkel- und Arkusfunktionen

Winkelbeziehungen im rechtwinkeligen Dreieck

Winkelfunktion ist ein Oberbegriff für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Das sind Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck. Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten. Betrachtet man einen der beiden nicht rechten Winkel und nennt man ihn α so heißt jene Kathete die am Winkel α angrenzt die Ankathete und jene Kathete die dem Winkel α gegenüber liegt die Gegenkathete. 

• Beachte: Die Bezeichnung Ankathete bzw. Gegenkathete hängt ausschließlich vom Winkel ab, auf den sich die Aussage bezieht. Ein und dieselbe kurze Seite vom Dreieck ist für den einen Winkel die Ankathete und für den anderen Winkel die Gegenkathete.
• Wichtig: Lerne daher bitte nie die Winkelfunktionen auf Basis der Bezeichnungen a,b oder c von den Dreieckseiten sondern immer mit den Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse!

Sinus

Der Sinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Sinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)

Kosinus

Der Kosinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kosinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\cos \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)

Tangens

Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Tangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Kotangens

Der Kotangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Gegenkathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kotangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.

\(\cot \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\tan \alpha }}\)

Sekans

Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit der Kehrwert der Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & \sec \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{1}{{\cos \left( \alpha \right)}} \cr & {\sec ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\tan ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)

Kosekans

Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und somit der Kehrwert der Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & \csc \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\sin \left( \alpha \right)}} \cr & {\csc ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\cot ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)

Winkelfunktionen am Einheitskreis

Betrachtet man die Winkelfunkionen ausschließlich im rechtwinkeligen Dreieck, dann beschränken sich die Winkel auf den Bereich zwischen 0° und 90°. Nachfolgend die Betrachtung der Winkelfunktionen am Einheitskreis, also einem Kreis mit dem Radius r=c=1, wodurch die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel zwischen 0° und 360° zugänglich werden.

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Satz des Pythagoras ist lediglich eine andere Formulierung vom Satz des Pythagoras. Setzt man im Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse c gleich 1 und drückt man die Längen der Katheten a, b durch die entsprechende trigonometrische Winkelfunktion Sinus bzw. Kosinus aus, so erhält man den trigonometrischen Pythagoras.

Satz des Pythagoras im rechtwinkeliges Dreieck:

\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

Setzt man nun  \(c = r = 1\), so ergibt sich der Satz des Pythagoras am Einheitskreis wie folgt:

\(\eqalign{ & {r^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \cr & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr} \)

Dass man c=r=1 setzt, entspricht einer "Normierung" der drei Seiten, derzufolge die Länge der Hypotenuse c=r somit 100% entspricht und jede der beiden Katheten jeweils einem Wert kleiner gleich 100% entspricht. 

Alternative, gleichwertige Schreibweisen

\(\eqalign{ & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr & {\left( {\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha } \right)^2} = 1 \cr} \)

Illustration von den Zusammenhängen im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis

Gegenüberstellung der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis

Periodizität der Sinusfunktion

\(\sin x = \sin \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Sinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Periodizität der Kosinusfunktion

\(\cos x = \cos \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Kosinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Periodizität der Tangensfunktion

Der Tangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (1│0) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.

\(\tan x = \tan \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Tangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Periodizität vom Kotangens

Der Kotangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (0│1) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.

\(\cot x = \cot \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Kotangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Periodizität vom Sekans

Der Sekans entspricht dem Kehrwert von der Kosinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt Q in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Tangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0. 

\(\sec x = \sec \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Sekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Periodizität vom Kosekans

Der Kosekans entspricht dem Kehrwert von der Sinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt R in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Kotangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0.

\(\csc x = \csc \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)

Das Vorzeichen der Kosekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet

Illustration davon, wie sich die Winkelfunktionen am Einheitskreis geometrisch ergeben

​Wichtige Winkelfunktionswerte

Folgende Winkelfunktionswerte kommen in der technischen Praxis häufig vor und sollten einem vertraut sein:

Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 0° am Einheitskreis

Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 30° am Einheitskreis

Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 45° am Einheitskreis

Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 60° am Einheitskreis

Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 90° am Einheitskreis

Allgemeine Sinusfunktion

Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann. 

Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion

Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

• Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
• Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
  Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
  \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
• Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
  • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
  • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
• Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.

\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)

Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion

Zusammenhang der Funktionswerte einer Winkelfunktion zu den anderen 5 Winkelfunktionen bei gleichem Winkel

Mit Hilfe dieser Beziehungen lässt sich eine Winkelfunktion in eine der fünf anderen Winkelfunktionen umrechnen

Sinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{ & \sin \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} = \dfrac{{\tan \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)

Kosinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{ & \cos \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\cot \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{1}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)

Tangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{
& \tan \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }}{{\cos \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\cot \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( {x - 1} \right)} }} \cr} \)

Kotangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{ & \cot \left( x \right) = \cr & = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{{\cos \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\tan \left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} = \sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} \cr}\)

Sekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{
& \sec \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\cos \left( x \right)}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} = \cr
& = \dfrac{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }}{{\cot \left( x \right)}} = \dfrac{{\csc \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)

Kosekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen

\(\eqalign{
& \csc \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }}{{\tan \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} = \dfrac{{\sec \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)

Reduktionsformeln für beliebige Winkel

Mit Hilfe der Reduktionsformeln kann die Berechnung jedes beliebigen Winkelfunktionswerts auf die Berechnung des Winkelfunktionswerts zwischen 0 ° und 90 ° zurückführen.

Reduktionsformeln für \( - \varphi ,\,\,\,\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right),\,\,\,\left( {\varphi \pm 180^\circ } \right)\)

\(\eqalign{ & \sin \left( { - \varphi } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & sin\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \pm \cos \left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cos \left( { - \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \mp \sin \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 180} \right) = - \cos \left( \varphi \right) \cr & \cr & \tan \left( { - \varphi } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cot \left( { - \varphi } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)

Reduktionformeln für \(90^\circ \pm \varphi \)

\(\eqalign{ & \cos \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {90^\circ + \varphi } \right) = sin\left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = \sin \left( {90^\circ + \varphi } \right) = cos\left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {90^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)

Reduktionformeln für \(180° \pm \varphi \)

\(\eqalign{ & \sin \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \cos \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & - \tan \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \tan \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & - \cot \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \cot \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)

Reduktionformeln für \(270° \pm \varphi \)

\(\eqalign{ & - \cos \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = \cos \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \sin \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)

Additionstheoreme für Winkelfunktionen

Die Additionstheoreme vereinfachen das Rechnen mit Summen bzw. Differenzen von zwei Winkeln oder Summen bzw. Differenzen von zwei Winkelfunktionen

1. Summensatz Winkelfunktionen

Mit Hilfe des 1. Summensatzes kann man Winkelfunktionen, deren Argumente Summen oder Differenzen sind, in Winkelfunktionen mit einfachen Argumenten umrechnen.

\(\eqalign{ & \sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \cr & \cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \cr & \tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \cr & \cot \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}}{{\cot \alpha \pm \cot \beta }} \cr}\)

2. Summensatz Winkelfunktionen

Mit Hilfe des 2. Summensatzes kann man Summen oder Differenzen von Winkelfunktionen auf Produkte von Winkelfunktionen umrechnen.

\(\begin{array}{l} \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \cdot \sin \dfrac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha \mp \beta }}{2};\\ \cos \alpha \pm \cos \beta = \pm 2 \cdot \cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha - \beta }}{2};\\ \tan\alpha \pm \tan \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }};\\ \cot \alpha \pm \cot \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }} \end{array}\)

Produkte von Winkelfunktionen vereinfachen

Die Produkte trigonometrischer Winkelfunktionen lassen sich mit folgenden Formeln auf Summen bzw. Differenzen von Winkelfunktiuonen vereinfachen

\(\begin{array}{l} \sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \tan \alpha \cdot \tan \beta = \dfrac{{\tan \alpha - tan\beta }}{{\cot \alpha - \cot \beta }}\\ \cot \alpha \cdot \cot \beta = \dfrac{{\cot \alpha - \cot \beta }}{{\tan \alpha - \tan \beta }}\\ \sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \tan \alpha \cdot \cot \beta = - \dfrac{{\tan \alpha - \cot \beta }}{{\cot \alpha - \tan \beta }} \end{array}\)

Formel vom halben Winkel

Die Formeln vom halben Winkel führt den Funktionswert eines halben Winkels auf die Funktionswerte ganzer Winkel zurück

\(\begin{array}{l} \sin \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \left( \alpha \right)}}{2}} \\ \cos \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \pm \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}{2}} \\ \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{1 - \cos \left( \alpha \right)}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}\\ \cot \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \left( \alpha \right)}} \end{array}\)

Formel vom doppelten Winkel

Die Formeln vom doppelten Winkel führt den Funktionswert eines doppelten Winkels auf die Funktionswerte ganzer Winkel zurück

\(\begin{array}{l} \sin \left( {2\alpha } \right) = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \dfrac{{2 \cdot \tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \tan \left( {2\alpha } \right) = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\\ \cot \left( {2\alpha } \right) = \dfrac{{{{\cot }^2}\alpha - 1}}{{2\cot \alpha }} \end{array}\)

Arkusfunktionen als Umkehrung der Winkelfunktionen

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.

Illustration von Funktionswert und zugehörigem Argument bei trigonometrischen Winkelfunktionen

Achtung: Auf Taschenrechnern findet sich oft die Beschriftung sin^-1 für den Arcussinus. Dies ist mit Vorsicht zu genießen, denn \(\operatorname{arcsinx} \ne \dfrac{1}{{\sin x}}\)

Definitions- und Wertemengen der Arkusfunktionen

Für die Hauptwerte der Arkusfunktionen gelten folgende Definitions- und Wertemengen:

Haupt- und Nebenwerte der Arkusfunktionen

Zufolge der Periodizität der zugrunde liegenden trigonometrischen Winkelfunktionen - die innerhalb jeder einzelnen Periodendauer sämtliche Funktionswerte einmalig durchlaufen und somit eindeutig umkehrbar sind - unterscheidet man bei den Arkusfunktionen zwischen Hauptwert und Nebenwerten.

Illustration der Graphen der Hauptwerte der Arkusfunktionen

Pythagoräischer Lehrsatz für die Arkusfunktionen

Neben dem Satz des Pythagoras für rechtwinkelige Dreiecke und dem trigonometrischen Pythagoras für Winkelfunktionen kann man auch einen pythagoräischen Lehrsatz für die Arkusfunktionen anschreiben. Bedenke: Die Länge der Hypotenuse wird bei allen 3 Darstellungsformen auf 1 normiert.

\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} = {c^2}=1 \cr & {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\sin ^2}\left( \alpha \right) = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {\arcsin \left( x \right)} \right) + {\sin ^2}\left( {\arccos \left( x \right)} \right) = 1 \cr} \)

Zusammenhänge der Arkusfunktionen

Man kann folgende - eher selten verwendete - Zusammenhänge für die Arkusfunktionen anschreiben:

\(\eqalign{ & \sin \left( {\arccos \left( x \right)} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} = \cos \left( {\arcsin \left( x \right)} \right) \cr & \sin \left( {\arctan \left( x \right)} \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \cos \left( {\arctan \left( x \right)} \right) \cr & \cr & \arcsin \left( x \right) + \arccos \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ \cr & \arctan \left( x \right) + \operatorname{arccot} \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \operatorname{arc} \sec \left( x \right) + \operatorname{arc} \csc \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \cr & \arcsin ( - x) = - \arcsin (x) \cr & \arccos ( - x) = \pi - \arccos \left( x \right) \cr & \arctan \left( { - x} \right) = - \arctan (x) \cr & \operatorname{arccot} ( - x) = \pi - \operatorname{arccot} (x) \cr} \)

Zusammenhang der Funktionswerte einer Arkusfunktion zu den anderen 3 Arkusunktionen bei gleichem Winkel

Man kann folgende Beziehungen zwischen einer Arkusfunktion und den jeweiligen 3 anderen Arkusfunktionen anschreiben

\(\eqalign{
& \arcsin \left( x \right) = \arccos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) \cr
& \arccos \left( x \right) = \arcsin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \cr
& \arctan \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\frac{1}{x}} \right) \cr
& \operatorname{arccot} \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{x}} \right) \cr} \)