Lokales Maximum einer Funktion

Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion

Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen

• Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• Polstellen und Lücken
• Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
• Symmetrie sowie Periodizität
• Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
• Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
• Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
• Wendepunkte und Sattelpunkte
• Wendetangente
• Krümmungsverhalten und Monotonie
• Charakteristische Wertetabelle
• Graph der Funktion mit Wendetangente(n)

Extremstellen einer Funktion

Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.

• notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
• hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
• Minimum, wenn \(f'' > 0\)
• Maximum, wenn \(f'' < 0\)

Lokaler Extremwert

Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.

Absoluter bzw. globaler Extremwert

Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.

Wendestelle einer Funktion

Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt

An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)

• Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
• Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.

Monotonie von Funktionen

Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.

\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)

Definitionslücke

Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)

Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.

Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"

Polstelle

Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x₀ eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.

• Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
• Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich

Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)

• mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
• der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist

Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.

• Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert. 
• Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert. 
• Ist die Funktion an der Stelle x₀ stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein. 

• Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
  In GeoGebra gibt es dafür die Befehle
  • LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
  • RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.

Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.

• Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
• Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
   
• Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
• Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
• Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
• Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
   
• Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.

Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel

Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden

Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x₀ bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.

\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Differential

Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.

\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)

Intervallweise differenzierbare Funktion

Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.

\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion ist an der Stelle x₀ dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.

Definition der Ableitung

Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x₀ ihrer Definitionsmenge D_f ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar. 

Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.

Weierstraß Funktion

Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)

Erste Ableitung einer Funktion

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)

Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:

• Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x₀ steigend. Die Tangente in x₀ verläuft von links unten nach rechts oben.
• Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ horizontal. Die Tangente in x₀ hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
• Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ fallend. Die Tangente in x₀ verläuft von links oben nach rechts unten

Zweite Ableitung einer Funktion

Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x₀  wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

Links gekrümmter Graph, lokales Minimum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x₀linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.

Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x₀rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss. 

Dritte Ableitung einer Funktion

Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.

Höhere Ableitungen

Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".

\(y = f\left( x \right)\)

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Grafisches Differenzieren

Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt

Merkhilfe: NEW-Regel

N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle

Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren

Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen

Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen

Graph mit Hochpunkt

Graph mit Tiefpunkt

Graph mit Wendepunkt

Graph mit Sattelpunkt