Eigenschaften einer Funktion

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Grad einer Funktion

Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.

Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:

• Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
• Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
• Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
• Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
• Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.

Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:

• Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
• Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
• Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.

• Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.

• Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.

Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades

Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:

Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion

Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab

Funktion vom 2. Grad: Parabel

Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben

Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten

Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf

Nullstelle einer Funktion

Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). Um die Nullstellen einer Funktion aufzufinden, setzt man die Funktion einfach gleich Null.

\(f\left( x \right) = 0\)

• Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad der Funktion ist, bzw. ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben
• Ein Polynom von ungeradem Grad, muss mindestens eine Nullstelle haben

Regula Falsi

Die Regula Falsi ist eine Methode zur numerischen Berechnung von Nullstellen mit Hilfe von Sekanten, deren Schnittpunkt mit der x-Achse sich bei jeder Iteration der gesuchten Nullstelle annähert. Die Regula Falsi wird aus folgemden Grund auch Sekantenverfahren genannt: Von zwei Funktionswerten mit unterschiedlichem Vorzeichen wird der Schnittpunkt der Sehne mit der x-Achse bestimmt. Mit Hilfe dieses Näherungswertes für die Nullstelle wird ein neuer Funktionswert bestimmt, sodass die Funktionswerte weiterhin unterschiedliche Vorzeichen haben. In der Folge wird eine weitere Sehne gelegt und so wird der nächste Näherungswert für die Nullstelle bestimmt.

\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - f\left( {{x_n}} \right) \cdot \dfrac{{{x_i} - {x_{i - 1}}}}{{f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right)}} \cr & \operatorname{sgn} f\left( {{x_i}} \right) \ne \operatorname{sgn} f\left( {{x_{i - 1}}} \right) \cr}\)

Newtonsches Näherungsverfahren

Das newtonsche Näherungsverfahren ist eine Methode zur numerischen oder graphischen Bestimmung von Nullstellen.

Rechnerische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren

Für das rechnerische newtonsche Näherungsverfahren schätzt man zunächst einen Startwert x₁. Für diesen Startwert x₁ berechnet man den Funktionswert f(x₁) und den Wert der 1. Ableitung f'(x₁). Für den jeweils nächst-besseren Wert x_i+1 zum Vorgängerwert x_i gilt die Iterationsformel:

\(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - \dfrac{{f\left( {{x_i}} \right)}}{{f'\left( {{x_i}} \right)}} \cr & f'\left( {{x_i}} \right) \ne 0 \cr & {\text{Startwert: }}{x_1} \cr}\)

Hoch- und Tiefpunkte eignen sich daher nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente an den Extremwert, zu Null wird.

Graphische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren

Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird die Funktion durch eine Tangente Tg₁ in einem geeignet gewählten Näherungswert x₁ der tatsächlichen Nullstelle x₀ ersetzt. Dort wo die Tangente Tg₁ die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x₂ bestimmt. Dabei liegt x₂ schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x₀ als dies noch bei x₁ der Fall war. Die nächste Näherung x₃ wird mittels der Tangente Tg₂ bestimmt. Dabei liegt x₃ schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x₀ als dies noch bei x₁ und x₂ der Fall war....

Bild

Die Lösungen der Gleichung f(x)=0 stimmen mit den Nullstellen der Funktion f(x) überein. Im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) befindet sich nur dann mindestens eine Nullstelle x₀ der Funktion f(x), wenn f(x) dort stetig ist und f(x₁) und f(x₂) unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion

Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen

• Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• Polstellen und Lücken
• Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
• Symmetrie sowie Periodizität
• Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
• Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
• Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
• Wendepunkte und Sattelpunkte
• Wendetangente
• Krümmungsverhalten und Monotonie
• Charakteristische Wertetabelle
• Graph der Funktion mit Wendetangente(n)

Extremstellen einer Funktion

Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.

• notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
• hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
• Minimum, wenn \(f'' > 0\)
• Maximum, wenn \(f'' < 0\)

Lokaler Extremwert

Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.

Absoluter bzw. globaler Extremwert

Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.

Wendestelle einer Funktion

Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt

An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)

• Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
• Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.

Monotonie von Funktionen

Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.

\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)

Definitionslücke

Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)

Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.

Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"

Polstelle

Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x₀ eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.

• Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
• Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich

Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)

• mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
• der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist

Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert

An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.

• Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert. 
• Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x₀, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert. 
• Ist die Funktion an der Stelle x₀ stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein. 

• Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
  In GeoGebra gibt es dafür die Befehle
  • LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
  • RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)

Asymptote

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.

Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.

• Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
• Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
   
• Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
• Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
• Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
• Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
   
• Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.

Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel

Gerade und ungerade Funktionen

Abhängig vom Symmetrieverhalten unterscheidet man zwischen geraden und ungeraden Funktionen.

Gerade Funktion

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)

Beispiele für gerade Funktionen:

• die konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
• die Betragsfunktion \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
• die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n gerade}}\)
• die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_1},{a_3},{a_{ungerade}} = 0\)
• die Kosinusfunktion \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\)
• die Sekansfunktion \(f\left( x \right) = \sec \left( x \right)\)

Ungerade Funktion

Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)

Beispiele für ungerade Funktionen

• die Vorzeichenfunktion \(f\left( x \right) = \operatorname{sgn} \left( x \right)\)
• die identische Funktion \(f\left( x \right) = x\)
• die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n ungerade}}\)
• die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_0},{a_2},{a_{gerade}} = 0\)
• die Sinusfunktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
• die Tangensfunktion \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\)

Parameterfunktionen

Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion.

Parameter einer Sinusfunktion

Über Parameter kann die Form von Funktionen verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)

• Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude.
• Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
• Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
• Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse.

Funktionsschar

Eine Schar ist eine Anzahl von Funktionsgraphen, die jeweils aus einer gegebenen Funktionsgleichung mit veränderlichen Parametern hervorgehen.

Bijektive, injektive und surjektive Funktionen

Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.

Bijektivität

Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge D_f eindeutig ein Element y der Wertemenge W_f zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge W_f genau ein Element x der Definitionsmenge D_f gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv. 

Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie

• entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
• oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
   

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)

Illustration einer bijektiven Funktion

Umkehrfunktion

Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f^-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f^-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.

Reziproke Funktion

Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion

\(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)

Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion