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Eigenschaften einer Funktion

Hier findest du folgende Inhalte

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    Darstellung von Funktionen

    Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

    \(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

    Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
    \(f:x \to 2{x^3}\)
    \(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
    \(y = 2{x^3}\)


    Funktionsgleichung

    Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

    \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

    Daher nennt man

    • y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
    • x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

    Typen wichtiger Funktionsgleichungen

    Konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
    Direkt proportionale Funktion
    sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen
    \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
    Lineare Funktion \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\)
    Quadratische Funktion (Parabel) \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
    Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel)
    sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen
    \(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\)
    Potenzfunktion \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)
    Wurzelfunktion \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\)
    Exponentialfunktion \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\)
    Logarithmusfunktion \(f\left( x \right) = {}^a\log x\)
    Periodische Funktion \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
    Polynomfunktion \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
    uvm.

    Graph einer Funktion

    Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

    \(y = f\left( x \right)\)

    Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

    Funktion f f(x) = 0.5(x - 1)³ + 0.5(x - 1)² - (x - 1) $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 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\left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$” $${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 1}}{{\text{)}}^3} + 0.5{\left( {x - 1} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)$$ Text1 = “$${\text{y = f(x) = 0}}{\text{.5(x - 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    Wertetabelle einer Funktion

    Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

    x y=f(x)
    x1 f(x1)
    x2 f(x2)
    ... ...
    xi f(xi)

    Mengendiagramm einer Funktion

    Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

    Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f" W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" y_3 Text8 = "y_3" y_3 Text8 = "y_3"

    Funktion
    Definitionsbereich
    Wertebereich
    Funktionsgleichung
    abhängige Variable
    unabhängige Variable
    Konstante Funktion
    Lineare Funktion
    Quadratische Funktion
    Indirekt proportionale Funktion
    Potenzfunktionen
    Wurzelfunktionen
    Exponentialfunktionen
    Logarithmusfunktionen
    Periodische Funktion
    Polynomfunktion
    Direkt proportionale Funktion
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    Grad einer Funktion

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    Polynomfunktionen, auch ganzrationale Funktionen genannt, bestehen aus einer Summe bzw. Differenz von Termen, den sogenannten Gliedern. Diese Glieder sind ihrerseits das Produkt aus einer Zahl und einer Potenz, etwa 2x². Zur besseren Lesbarkeit werden die Glieder geordnet nach der Höhe ihrer Exponenten angeschrieben. Der höchste vorkommende Exponent der Variablen, gibt zugleich den Grad der Polynomfunktion an. So handelt es sich bei 2x²+x um eine Polynomfunktion zweiten Grades.

    Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über deren Graph herleiten:

    • Eine konstante Funktion, die nicht konstant null ist, hat den Grad 0. Ihr Graph ist eine horizontale Gerade.
    • Eine lineare Funktion hat den Grad 1. Ihr Graph ist eine steigende oder fallende Gerade.
    • Eine quadratische Funktion hat den Grad 2. Ihr Graph ist eine Parabel.
    • Eine kubische Funktion hat den Grad 3. Ihr Graph weist einen s-förmigen Verlauf auf.
    • Eine Polynomfunktion vom 4. Grad kann einen w-förmigen Verlauf haben.

    Aus dem Grad einer Funktion kann man Aussagen über besondere Funktionswerte herleiten:

    • Der Grad einer Funktion ist gleich der maximalen Anzahl der Nullstellen (mit deren Vielfachheit gezählt). Vergleiche dazu den „Fundamentalsatz der Algebra“, welcher für den Bereich der komplexe Zahlen gilt.
    • Grad einer Funktion minus 1, ergibt die maximale Anzahl der Extremstellen.
    • Grad einer Funktion minus 2, ergibt die maximale Anzahl der Wendestellen.

     

    • Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte das gleiche Vorzeichen haben.

    • Wenn der höchste Exponent der Funktion ungerade ist, dann streben, wenn x gegen plus minus unendlich geht, die beiden Grenzwerte gegen Unendlich, wobei beide Grenzwerte unterschiedliche Vorzeichen haben.


    Graphen von Funkionen unterschiedlichen Grades

    Die Beschriftung vom Graph der jeweiligen Funktion erfolgt einmal in der Polynomform und einmal in der Linearfaktordarstellung, in der man die Nullstellen der Funktion sofort ablesen kann, indem man dasjenige x bestimmt, für das der Wert der jeweiligen Klammer zu Null wird:

    Funktion vom 0. Grad: Konstante Funktion
    Funktion g g(x) = 1 f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1” f(x)=x⁰=1 Text1 = “f(x)=x⁰=1”


    Funktion vom 1. Grad: Gerade, ob sie steigt oder fällt hängt vom Parameter vor der linearen Variable ab
    Funktion g g(x) = x - 2 f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)" f(x) = x-2=(x - 2) Text1 = "f(x) = x-2=(x - 2)"


    Funktion vom 2. Grad: Parabel
    Funktion f f(x) = (x - 0.8) (x - 2.25) f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)" f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25) Text1 = "f(x)={x^2} - 3,05 \cdot x + 1,8 = (x - 0,8) \cdot (x - 2,25)"


    Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von links unten nach rechts oben
    Funktion g g(x) = (x + 1) (x + 2) (x - 1) f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)" f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = "f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = (x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)"


    Funktion vom 3. Grad: S-förmiger Kurvenverlauf von rechts oben nach links unten
    Funktion g g(x) = -(x + 1) (x + 2) (x - 1) f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)” f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) Text1 = “f\left( x \right) = -{x^3} + 2{x^2} - x - 2 = -(x + 1) \cdot \left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 1} \right)”


    Funktion vom 4. Grad: W-förmiger Kurvenverlauf
    Funktion g g(x) = (x + 1) x (x - 1) (x - 2) f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)" f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) Text1 = "f(x) = {x^4} - 2{x^3} - {x^2} + 2x = (x + 1) \cdot \left( {x + 0} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)"

    Grad einer Funktion
    Linearfaktoren
    Polynomfunktion 0. Grades
    Polynomfunktion 1. Grades
    Polynomfunktion 2. Grades
    Polynomfunktion 3. Grades
    Polynomfunktion 4. Grades
    Fundamentalsatz der Algebra
    Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Nullstelle einer Funktion

    Jede Lösung der Gleichung f(x)=0 ist eine Nullstelle der Funktion f(x). Um die Nullstellen einer Funktion aufzufinden, setzt man die Funktion einfach gleich Null.

    \(f\left( x \right) = 0\)

    • Es gibt maximal so viele Nullstellen, wie der Grad der Funktion ist, bzw. ein Polynom n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben
    • Ein Polynom von ungeradem Grad, muss mindestens eine Nullstelle haben

    Funktion f f(x) = 0.5 (x + 1.3) (x - 2.7) (x - 0.7) - 0.02 Funktion f f(x) = 0.5 (x + 1.3) (x - 2.7) (x - 0.7) - 0.02 Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse Punkt C Punkt C: Schnittpunkt von f, xAchse Punkt C Punkt C: Schnittpunkt von f, xAchse f Text1 = "f" N_1(x_1I0) Text2 = "N_1(x_1I0)" N_1(x_1I0) Text2 = "N_1(x_1I0)" N_1(x_1I0) Text2 = "N_1(x_1I0)" N_1(x_1I0) Text2 = "N_1(x_1I0)" N_1(x_1I0) Text2 = "N_1(x_1I0)" N_2(x_2I0) Text2_1 = "N_2(x_2I0)" N_2(x_2I0) Text2_1 = "N_2(x_2I0)" N_2(x_2I0) Text2_1 = "N_2(x_2I0)" N_2(x_2I0) Text2_1 = "N_2(x_2I0)" N_2(x_2I0) Text2_1 = "N_2(x_2I0)" N_3(x_3I0) Text2_2 = "N_3(x_3I0)" N_3(x_3I0) Text2_2 = "N_3(x_3I0)" N_3(x_3I0) Text2_2 = "N_3(x_3I0)" N_3(x_3I0) Text2_2 = "N_3(x_3I0)" N_3(x_3I0) Text2_2 = "N_3(x_3I0)"


    Regula Falsi

    Die Regula Falsi ist eine Methode zur numerischen Berechnung von Nullstellen mit Hilfe von Sekanten, deren Schnittpunkt mit der x-Achse sich bei jeder Iteration der gesuchten Nullstelle annähert. Die Regula Falsi wird aus folgemden Grund auch Sekantenverfahren genannt: Von zwei Funktionswerten mit unterschiedlichem Vorzeichen wird der Schnittpunkt der Sehne mit der x-Achse bestimmt. Mit Hilfe dieses Näherungswertes für die Nullstelle wird ein neuer Funktionswert bestimmt, sodass die Funktionswerte weiterhin unterschiedliche Vorzeichen haben. In der Folge wird eine weitere Sehne gelegt und so wird der nächste Näherungswert für die Nullstelle bestimmt.

    \(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - f\left( {{x_n}} \right) \cdot \dfrac{{{x_i} - {x_{i - 1}}}}{{f\left( {{x_i}} \right) - f\left( {{x_{i - 1}}} \right)}} \cr & \operatorname{sgn} f\left( {{x_i}} \right) \ne \operatorname{sgn} f\left( {{x_{i - 1}}} \right) \cr}\)


    Newtonsches Näherungsverfahren

    Das newtonsche Näherungsverfahren ist eine Methode zur numerischen oder graphischen Bestimmung von Nullstellen.

    Rechnerische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren

    Für das rechnerische newtonsche Näherungsverfahren schätzt man zunächst einen Startwert x1. Für diesen Startwert x1 berechnet man den Funktionswert f(x1) und den Wert der 1. Ableitung f'(x1). Für den jeweils nächst-besseren Wert xi+1 zum Vorgängerwert xi gilt die Iterationsformel:

    \(\eqalign{ & {x_{i + 1}} = {x_i} - \dfrac{{f\left( {{x_i}} \right)}}{{f'\left( {{x_i}} \right)}} \cr & f'\left( {{x_i}} \right) \ne 0 \cr & {\text{Startwert: }}{x_1} \cr}\)

    Hoch- und Tiefpunkte eignen sich daher nicht als Startwert, da sonst der Nenner f'(x), auf Grund der horizontalen Tangente an den Extremwert, zu Null wird.


    Graphische Umsetzung vom newtonschen Näherungsverfahren

    Beim grafischen newtonschen Näherungsverfahren wird die Funktion durch eine Tangente Tg1 in einem geeignet gewählten Näherungswert x1 der tatsächlichen Nullstelle x0 ersetzt. Dort wo die Tangente Tg1 die x-Achse schneidet, wird erneut ein Näherungswert x2 bestimmt. Dabei liegt x2 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 der Fall war. Die nächste Näherung x3 wird mittels der Tangente Tg2 bestimmt. Dabei liegt x3 schon viel näher an der tatsächlichen Nullstelle x0 als dies noch bei x1 und x2 der Fall war....

    Bild
    Illustration newtonsches Näherungsverfahren

    Die Lösungen der Gleichung f(x)=0 stimmen mit den Nullstellen der Funktion f(x) überein. Im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) befindet sich nur dann mindestens eine Nullstelle x0 der Funktion f(x), wenn f(x) dort stetig ist und f(x1) und f(x2) unterschiedliche Vorzeichen besitzen.

    Nullstelle einer Funktion
    Regula Falsi (Differenzierbarkeit)
    Sekantenverfahren (Differenzierbarkeit)
    Newtonsches Näherungsverfahren
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion

    Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen

    • Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
    • Polstellen und Lücken
    • Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
    • Symmetrie sowie Periodizität
    • Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
    • Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
    • Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
    • Wendepunkte und Sattelpunkte
    • Wendetangente
    • Krümmungsverhalten und Monotonie
    • Charakteristische Wertetabelle
    • Graph der Funktion mit Wendetangente(n)

    Extremstellen einer Funktion

    Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.

    • notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
    • hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
    • Minimum, wenn \(f'' > 0\)
    • Maximum, wenn \(f'' < 0\)

    Lokaler Extremwert

    Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.


    Absoluter bzw. globaler Extremwert

    Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.


    Wendestelle einer Funktion

    Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt

    An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)

    • Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
    • Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.

    Monotonie von Funktionen

    Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.

    \(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)


    Definitionslücke

    Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)

    Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.

    Funktion f f(x) = x (x² - 1) / (x - 1) Strecke g Strecke g: Strecke [B, A] Punkt A A = (1, 2) f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 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1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x" f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x Text1 = "f\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot x}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) \cdot x}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \left( {x + 1} \right) \cdot x"

    Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"


    Polstelle

    Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x0 eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.

    • Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
    • Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich

    Funktion g g(x) = 1 / x f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}" f(x) = \frac{1}{x} Text2 = "f(x) = \frac{1}{x}"


    Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)

    • mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
    • der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist

     

    Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert

    An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.

    • Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert. 
    • Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert. 
    • Ist die Funktion an der Stelle x0 stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein. 

     

    • Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
      In GeoGebra gibt es dafür die Befehle

      • LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
      • RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)

    Asymptote

    Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.

    Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.

    • Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
    • Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
       
    • Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
    • Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
    • Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
    • Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
       
    • Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.

    Funktion g g(x) = x² / (x² - 1) Funktion f f(x) = 1 Funktion f f(x) = 1 Gerade h Gerade h: Gerade durch B, A Gerade i Gerade i: Gerade durch D, C f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} Text2 = "f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}" y=1 Text1 = "y=1" y=1 Text1 = "y=1" y=1 Text1 = "y=1" x=1 Text3 = "x=1" x=1 Text3 = "x=1" x=1 Text3 = "x=1" x=-1 Text4 = "x=-1" x=-1 Text4 = "x=-1" x=-1 Text4 = "x=-1" x=-1 Text4 = "x=-1"

    Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel

    Extremstellen einer Funktion
    Lokales Minimum einer Funktion
    Lokales Maximum einer Funktion
    Globales Minimum einer Funktion
    Globales Maximum einer Funktion
    Wendepunkt einer Funktion
    Sattelpunkt einer Funktion
    Monotonie einer Folge
    Streng monoton wachsende Funktion
    Streng monoton fallende Funktion
    Monoton fallende Funktion
    Monoton wachsende Funktion
    Polstelle
    Polstelle mit Vorzeichenwechsel
    Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
    Asymptote
    Zählergrad
    Nennergrad
    Definitionslücke
    hebbare Definitionslücke
    Linksseitiger Grenzwert
    GeoGebra LinksseitigerGrenzwert
    Rechtsseitiger Grenzwert
    GeoGebra RechtsseitigerGrenzwert
    Wendestelle einer Funktion
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    Gerade und ungerade Funktionen

    Abhängig vom Symmetrieverhalten unterscheidet man zwischen geraden und ungeraden Funktionen.


    Gerade Funktion

    Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

    \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)

    Beispiele für gerade Funktionen:

    • die konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
    • die Betragsfunktion \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
    • die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n gerade}}\)
    • die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_1},{a_3},{a_{ungerade}} = 0\)
    • die Kosinusfunktion \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\)
    • die Sekansfunktion \(f\left( x \right) = \sec \left( x \right)\)

    Funktion f f(x) = x² Funktion g g(x) = x⁴ f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^2 Text1 = "f(x)=x^2" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4" f(x)=x^4 Text2 = "f(x)=x^4"


    Ungerade Funktion

    Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.

    \(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)

    Beispiele für ungerade Funktionen

    • die Vorzeichenfunktion \(f\left( x \right) = \operatorname{sgn} \left( x \right)\)
    • die identische Funktion \(f\left( x \right) = x\)
    • die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n ungerade}}\)
    • die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_0},{a_2},{a_{gerade}} = 0\)
    • die Sinusfunktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
    • die Tangensfunktion \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\)

    Funktion f f(x) = x³ Funktion g g(x) = x⁵ f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^3 Text1 = "f(x)=x^3" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5" f(x)=x^5 Text2 = "f(x)=x^5"

    Gerade Funktion
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    Parameterfunktionen

    Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion.


    Parameter einer Sinusfunktion

    Über Parameter kann die Form von Funktionen verändert werden.
    \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)

    • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude.
    • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse.

     


    Funktionsschar

    Eine Schar ist eine Anzahl von Funktionsgraphen, die jeweils aus einer gegebenen Funktionsgleichung mit veränderlichen Parametern hervorgehen.

    Parameter einer Funktion
    Parameter einer Sinusfunktion
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    Bijektive, injektive und surjektive Funktionen

    Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.


    Bijektivität

    Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge Df eindeutig ein Element y der Wertemenge Wf zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge Wf genau ein Element x der Definitionsmenge Df gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv. 

    Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie

    • entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
    • oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
       

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)

    Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Ellipse c_2 Ellipse c_2: Ellipse mit Brennpunkten E_2, F_2 durch C_2 Ellipse c_2 Ellipse c_2: Ellipse mit Brennpunkten E_2, F_2 durch C_2 Ellipse c_3 Ellipse c_3: Ellipse mit Brennpunkten E_3, F_3 durch C_3 Ellipse c_3 Ellipse c_3: Ellipse mit Brennpunkten E_3, F_3 durch C_3 Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor w Vektor w: Vektor[K, L] Vektor w Vektor w: Vektor[K, L] Vektor a Vektor a: Vektor[M, N] Vektor a Vektor a: Vektor[M, N] Vektor b Vektor b: Vektor[O, P] Vektor b Vektor b: Vektor[O, P] Vektor d Vektor d: Vektor[Q, R] Vektor d Vektor d: Vektor[Q, R] W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" y_3 Text8 = "y_3" y_3 Text8 = "y_3" D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f" x_1 Text3_1 = "x_1" x_1 Text3_1 = "x_1" x_2 Text4_1 = "x_2" x_2 Text4_1 = "x_2" x_3 Text5_1 = "x_3" x_3 Text5_1 = "x_3" y_1 Text6_1 = "y_1" y_1 Text6_1 = "y_1" y_2 Text7_1 = "y_2" y_2 Text7_1 = "y_2" y_3 Text8_1 = "y_3" y_3 Text8_1 = "y_3" W_f Text2_1 = "W_f" W_f Text2_1 = "W_f" D_f Text1_1 = "D_f" D_f Text1_1 = "D_f"


    Illustration einer bijektiven Funktion

    Funktion f f(x) = x³ f(x)=x³ Text1 = “f(x)=x³”


    Umkehrfunktion

    Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.


    Reziproke Funktion

    Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion

    \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)


    Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion

    Funktion f f(x) = x Funktion g g(x) = 2^x Funktion h h(x) = ln(x) f Text1 = "f" f^-^1 Text2 = "f^-^1" f^-^1 Text2 = "f^-^1" f^-^1 Text2 = "f^-^1" 1. Mediane Text3 = "1. Mediane"


    Injektivität

    Injektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird höchstens von einem (oder keinem) Pfeil aus der Definitionsmenge getroffen.

    Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor w Vektor w: Vektor[K, L] Vektor w Vektor w: Vektor[K, L] W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" y_3 Text8 = "y_3" y_3 Text8 = "y_3" D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f" y_4 Text9 = "y_4" y_4 Text9 = "y_4"


    Illustration einer injektiven, aber nicht surjektiven Funktion

    Funktion h h(x) = ℯ^x f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x” f(x)=e^x Text3 = “f(x)=e^x”


    Surjektivität

    Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird mindestens von einem (oder mehreren) Pfeil(en) aus der Definitionsmenge getroffen.

    Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten E, F durch C Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Ellipse c_1 Ellipse c_1: Ellipse mit Brennpunkten E_1, F_1 durch C_1 Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor u Vektor u: Vektor[G, H] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor v Vektor v: Vektor[I, J] Vektor w Vektor w: Vektor[S, T] Vektor w Vektor w: Vektor[S, T] W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f"


    Illustration einer surjektiven, aber nicht injektiven Funktion

    Funktion g g(x) = x² f(x)=x² Text2 = “f(x)=x²”

    Umkehrbar eindeutige Funktionen
    Umkehrfunktion
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    surjektiv
    Reziproke Funktion
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    Aufgabe 110

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    Bijektivität (Funktionen)

     

    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
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    Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse D_f Ellipse D_f: Ellipse mit Brennpunkten A, B durch C Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Ellipse W_f Ellipse W_f: Ellipse mit Brennpunkten D, E durch F Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor u Vektor u: Vektor[x_4, y_1] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor v Vektor v: Vektor[x_1, y_2] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] Vektor w Vektor w: Vektor[x_3, y_4] D_f Text1 = "D_f" D_f Text1 = "D_f" W_f Text2 = "W_f" W_f Text2 = "W_f" x_1 Text3 = "x_1" x_1 Text3 = "x_1" x_2 Text4 = "x_2" x_2 Text4 = "x_2" x_3 Text5 = "x_3" x_3 Text5 = "x_3" y_1 Text6 = "y_1" y_1 Text6 = "y_1" y_2 Text7 = "y_2" y_2 Text7 = "y_2" y_3 Text8 = "y_3" y_3 Text8 = "y_3" x_4 Text3_1 = "x_4" x_4 Text3_1 = "x_4"

    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar bijektiv, injektiv und surjektiv
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    Aufgabe 112

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    Injektivität (Funktionen)

     

    • Aussage1 : Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Die vorliegende Funktion ist sogar injektiv, sie ist aber nicht surjektiv oder bijektiv.
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    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die surjektiv ist
    • Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die bijektiv ist
    • Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor, die aber weder injektiv, noch surjektiv ist
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    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die sogar surjektiv ist
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor, da x3 auf mehrere Elemente aus Wf verweist
    • Aussage 3: Es liegt keine Funktion vor, da auf y3 von den Elementen x2 und x3 aus Df verwiesen wird.
    • Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
    • Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor
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    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor, die sogar surjektiv ist
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor, da x3 auf mehrere Elemente aus Wf verweist
    • Aussage 3: Es liegt keine Funktion vor, da auf y3 von den Elementen x2 und x3 aus Df verwiesen wird.
    • Aussage 4: Es liegt eine Funktion vor, die injektiv ist
    • Aussage 5: Es liegt eine Funktion vor
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    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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    Aufgabe 117

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    • Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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    Aufgabe 118

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    Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!

    Funktion g g(x) = Wenn[(x > 0) ∧ (x < 2), x³ / 4, Wenn[x > 2, sin(x), x]] Strecke a Strecke a: Strecke [A, B]

    • Aussage 1: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor, die sogar bijektiv ist
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    Aufgabe 119

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    Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!

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    • Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor
    • Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor. Die Funktion beschreibt einen Kreis, mit dem Mittelpunkt \(M({x_M}\left| {{y_M})} \right.\)
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    Aufgabe 120

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    Prüfe, ob eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) vorliegt. Wähle alle richtigen Antworten!

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    • Aussage 1: Es liegt keine Funktion vor.
    • Aussage 2: Es liegt eine Funktion vor.
    • Aussage 3: Es liegt eine Funktion vor. Die Funktion beschriebt die um 45° gedrehten Sinus-Funktion.
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    • Aussage 1: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv sind
    • Aussage 2: Eine Funktion kann sowohl monoton steigende als auch monoton fallende Abschnitt beinhalten
    • Aussage 3: Jede Funktion muss entweder injektiv oder surjektiv oder bijektiv sein.
    • Aussage 4: Existiert eine Umkehrfunktion, dann ist die Funktion auch bijektiv
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    surjektiv
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    Monoton wachsende Funktion
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

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    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
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