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Kartesische-, trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung

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    Komplexe Zahlen

    Die Gleichung \({x^2} = - 1\) kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden, da x dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre, was unzulässig ist.

    \({x^2} = - 1 \to x = \sqrt { - 1}\)

    Leonhard Euler führte den Begriff \({i^2} = - 1\) in die Mathematik ein und definierte den Ausdruck \(z = a + i \cdot b = a + b \cdot \sqrt { - 1} \). Eine komplexe Zahl setzt sich somit aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. a und b sind dabei reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit. Die reellen Zahlen sind jener Spezialfall der komplexen Zahlen, für die der Imaginärteil der komplexen Zahl Null ist.


    Definition der imaginären Einheit i

    Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist, also \({i^2} = - 1\). Das ist eine Definition. Wir können damit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ziehen und Gleichungen vom Typ x2+1=0 lösen.

    \(\eqalign{ & {x^2} + 1 = 0 \cr & {x^2} = - 1\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right. \cr & x = \sqrt { - 1} = i \cr} \)


    Achtung, man muss zwischen der Definition \(\sqrt { - 1} = i\) unterscheiden und zwischen den beiden Lösungen der 2. Wurzel der Zahl z=-1 im Bereich der komplexen Zahlen: 

    \(w = \sqrt { - 1} \)

    Wie jede 2-te Wurzel hat auch die Quadratwurzel aus -1 zwei Lösungen:

    • Nämlich eine, als Hauptwert bezeichnete, 1. Lösung w0=+i mit der Probe i²=-1 und
    • eine um 180° verschobene 2. Lösung w1=-i mit der Probe (-i)²=-1.

    Eine detailliertere Erklärung findet sich, wenn man "Wurzeln komplexer Zahlen" in den Suchslot eingibt.


    • i ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, und deren Imaginärteil eben i ist. i selbst hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der positiven imaginären Achse dargestellt.
    • -i hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der negativen imaginären Achse dargestellt.
    • +i und -i schließen in der gaußschen Zahlenebene einen 180° Winkel ein. 

    Beachte:

    \(\begin{array}{l} \sqrt { - 1} = i \leftarrow {\rm{true}}\\ \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{false}}\\ i = \pm \sqrt 1 \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ - \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{true}}\\ - \sqrt { - i} = i \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ {i^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}}\\ {\left( { - i} \right)^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}} \end{array}\)


    Anmerkung für Elektrotechniker: Da in der Wechsel- und Drehstromrechnung durchgängig mit komplexen Zahlen gerechnet wird und i für die zeitabhängige Stromstärke i(t) steht, verwenden Elektrotechniker statt dem Buchstaben i den Buchstaben j, somit \(\sqrt { - 1} = j\)


    Gleichheit komplexer Zahlen

    Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl in ihrem Real-als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen.


    Höhere Potenzen der imaginären Einheit i

    Die höheren Potenzen von i kann man wie folgt vereinfachen:

    \({i = \sqrt { - 1} }\)  
      \({{i^2} = - 1}\)
      \({{i^3} = {i^2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i}\)
      \({{i^4} = {i^2} \cdot {i^2} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 1}\)
      \({{i^5} = \left( {{i^4}} \right) \cdot i = 1 \cdot i = i}\)
       
      \({{i^6} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\)
      \({{i^7} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^3} = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i}\)
      \({{i^8} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} = {{\left( 1 \right)}^2} = 1}\)
      \({{i^9} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot i = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot i = i}\)
       
      \({{i^{10}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\)
      \({{i^{11}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^3} = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot \left( { - i} \right) = - i}\)
      \({{i^{12}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} = 1}\)
      \({{i^{13}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} \cdot i = 1 \cdot i = i}\)

     

    Wir erkennen dabei ab i2 folgende Abfolge: -1, -i, 1, i die sich danach immer wieder wiederholt. Es bietet sich eine Zerlegung in Vielfache von i4 wegen i4=1 an.


    Beispiele:

    \(\eqalign{ & - {i^3} = - \left( {{i^3}} \right) = - \left( { - i} \right) = i \cr & \cr & {( - i)^5} = {\left( { - i} \right)^2} \cdot {\left( { - i} \right)^2} \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = {i^2} \cdot {i^2} \cdot \left( { - i} \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i \cr} \)


    Gaußsche Zahlenebene

    Grafisch werden komplexe Zahlen in der gaußschen Zahlenebene dargestellt. Vergleichbar zu einem Vektor in der Ebene, wird der Realteil in Richtung der x-Achse und der Imaginärteil in Richtung der y-Achse (=imaginäre Achse) aufgetragen. Für komplexe Zahlen verwendet man verschiedene Darstellungsformen, nachfolgend die kartesische Darstellung auch Normalform genannt.
    \(z = a + ib\)

    Für die Darstellung in Polarkoordinaten \(z = \left( {r\left| \varphi \right.} \right)\) gilt:

    \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

    \(\varphi = \arctan \dfrac{b}{a}\)   
    Achtung: Zur Bestimmung von \(\varphi\) auf den Quadranten in dem z liegt achten!


    Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

    Auf der x-Achse wird der Realteil also a bzw. r·cos \(\varphi\) aufgetragen, auf der y-Achse wird der Imaginärteil also b bzw. r·sin \(\varphi\) aufgetragen. Die komplexe Zahlenebene entspricht dabei der gaußsche Zahlenebene, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet werden.

    \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr}\)


    Illustration einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

    Strecke f Strecke f: Strecke (0, 7), B Strecke g Strecke g: Strecke (7, 0), B Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) z=a+ib text1 = “z=a+ib” z=a+ib text1 = “z=a+ib” z=a+ib text1 = “z=a+ib” z=a+ib text1 = “z=a+ib” z=a+ib text1 = “z=a+ib” z=a+ib text1 = “z=a+ib” a text4 = “a” b text5 = “b” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.cos φ text6 = “r.cos φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r.sin φ text7 = “r.sin φ” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}”


    Betrag einer komplexen Zahl

    Stellt man sich eine komplexe Zahl als Vektor in der gaußschen Zahlenebene vor, wobei der Schaft vom Vektor im Ursprung und die Spitze vom Vektor an der Stelle \(\left( {a\left| b \right.} \right)\) liegt, so entspricht der Betrag der komplexen Zahl der Länge vom Vektor.

    \(\eqalign{ & \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \cr & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cr & \left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n} \cr}\)


    Konjugiert komplexe Zahl

    Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.

    \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & \overline z = a - ib \cr}\)

    Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung der komplexen Zahl um die x-Achse.

    Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, dann ist das Produkt immer eine reelle Zahl.


    Illustration einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl

    Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor v Vektor v: Vektor(A, C) Vektor v Vektor v: Vektor(A, C) Vektor w Vektor w: Vektor(B, D) Vektor w Vektor w: Vektor(B, D) Vektor a Vektor a: Vektor(C, E) Vektor a Vektor a: Vektor(C, E) Vektor b Vektor b: Vektor(B, F) Vektor b Vektor b: Vektor(B, F) Vektor c Vektor c: Vektor(C, F) Vektor c Vektor c: Vektor(C, F) a text4 = “a” b text5_{1} = “b” -b text5_{2} = “-b” Realteil Text1 = “Realteil” Imaginärteil Text2 = “Imaginärteil” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $z = a + ib$ Text3 = “$z = a + ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$” $\overline z = a - ib$ Text4 = “$\overline z = a - ib$”

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    Darstellungsformen komplexer Zahlen

    Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung


    Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung

    Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen.
    Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt.

    \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\,i = \sqrt { - 1} \cr}\)

    • a = Re(z) … a ist der Realteil von z
    • b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
    • i … imaginäre Einheit

    Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen. Erst im Zusammenspiel mit der imaginären Einheit i entsteht die komplexe Zahl. Der imaginäre Einheit i entspricht geometrisch eine 90 Grad Drehung gegen den Uhrzeigersinn.


    Komplexe Zahl als Zahlenpaar

    Eine komplexe Zahl kann als reelles Zahlenpaar bestehend aus Real- und Imaginärteil angeschrieben werden.

    \(z = (a\left| b \right.)\)


    Komplexe Zahl in Polarform, d.h. mit Betrag und Argument

    Für die Polarform gibt es die trigonometrische und die exponentielle Darstellung.

    \(\eqalign{ & z = \left| z \right| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr}\)

    Dabei entspricht

    • Betrag r dem Abstand vom Koordinatenursprung
    • Argument \(\varphi\) dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt z

    Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung

    Eine komplexe Zahl z in trigonometrischer Darstellung wird mittels Betrag r und den Winkelfunktionen cos φ und sin φ dargestellt.

    \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\)


    Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung

    Komplexe Zahlen in exponentieller Darstellung werden mit Hilfe vom Betrag r=|z| und dem Winkel φ als Exponent der eulerschen Zahl e dargestellt. Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen.

    \(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\)

    Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler’sche Form einer komplexen Zahl.

    \({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\)

    \(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\)


    Umrechnung von komplexen Zahlen

    Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung an. Selbstverständlich kann man zwischen diesen Darstellungen wie folgt umrechnen:

    \(a = r \cdot \cos \varphi ;\)

    \(b = r \cdot \sin \varphi ;\)

    \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\)

    \(\tan \varphi = \dfrac{b}{a};\)

    \(z = (a\left| b \right.)\)


    Illustration der unterschiedlichen Notationen einer komplexen Zahl

    Winkel α Winkel α: Winkel zwischen D, E, C Winkel α Winkel α: Winkel zwischen D, E, C Strecke f Strecke f: Strecke (0, 7), B Strecke g Strecke g: Strecke (7, 0), B Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z 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text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = 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\end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = 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}}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” $\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$ text1 = “$\begin{array}{l} z = a + ib\\ z = r\left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ z = r \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left| z \right| \cdot {e^{i \cdot \varphi }}\\ z = \left( {a\left| b \right.} \right) \end{array}$” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” a=r.cos φ text6 = “a=r.cos φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” b=r.sin φ text7 = “b=r.sin φ” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” r = \sqrt{a^2+b^2} text8 = “r = \sqrt{a^2+b^2}” Realteil Text1 = “Realteil” Imaginärteil Text2 = “Imaginärteil” \varphi Text3 = “\varphi ”

    Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
    Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung
    Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung
    Komplexe Zahl in Polarform
    Umrechnung von komplexen Zahlen
    Komplexe Zahl als Zahlenpaar
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad

    Eulersche Formel

    Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi\) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten i einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits

    \(\eqalign{ & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr & {e^{ - i\varphi }} = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right) = \cos \varphi - i\sin \varphi \cr}\)

    bzw:

    \(\begin{array}{l} {e^{iy}} = \cos y + i \cdot \sin y\\ {e^{x + iy}} = {e^x} \cdot \left( {\cos y + i \cdot \sin y} \right) \end{array}\)


    Aus der Addition bzw. der Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:
    \(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2}; \cr & \sin \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}}; \cr}\)


    Eulersche Identität

    Die Euler'sche Identität gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den fünf wichtigen Zahlen, der Euler'schen Zahl e, der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit i, der reellen Einheit 1 und der Null.
    \({e^{i\pi }} + 1 = 0\)

    Da e und \(\pi\) irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind und i die Wurzel aus -1 ist, wirkt es verblüffend, dass es einen Term aus diesen 3 Zahlen gibt, dessen Wert exakt -1 ist.


    Herleitung der Euler'schen Identität aus der Euler'schen Formel

    Wenn man in der Euler'schen Formel \({e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi\) wie folgt setzt: \(\varphi = \pi\) so erhält man \({e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi = - 1 + i0\) bzw. vereinfacht \({e^{i\pi }} = - 1\) oder umgeformt \({e^{i\pi }} + 1 = 0\) die Euler'sche Identität.


    Darstellung der komplexen Winkelfunktionen durch Exponentialfunktionen

    \(\begin{array}{l} \sin z = \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{2i}}\\ \cos z = \dfrac{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}}{2}\\ \tan z = - i \cdot \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}} \end{array}\)

     

    \({\cos ^2}z + {\sin ^2}z = 1\)


    Darstellung der komplexen Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen

    \(\begin{array}{l} \sinh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{2}\\ \cosh z = \dfrac{{{e^z} + {e^{ - z}}}}{2}\\ \tanh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{{{e^z} + {e^{ - z}}}} \end{array}\)

     

    \({\cosh ^2}z - {\sinh ^2}z = 1\)

    Eulersche Formel
    Eulersche Identität
    Darstellung der komplexen Winkelfunktionen durch Exponentialfunktionen
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    Aufgabe 80

    Darstellungsformen komplexer Zahlen

    Stelle die komplexe Zahl z in weiteren 3 Darstellungsformen dar.

    \(z = 1,5 + 1,5i\)

    1. Teilaufgabe: Als Zahlenpaar
    2. Teilaufgabe: In der Exponentialform
    3. Teilaufgabe: In der Polarform

    Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
    Komplexe Zahl als Zahlenpaar
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    Darstellungsformen komplexer Zahlen - 80. Aufgabe
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    Aufgabe 81

    Zwischen Darstellungsformen komplexer Zahlen umrechnen

    Stelle die komplexe Zahl z in weiteren 3 Darstellungsformen dar

    \(z = \sqrt {65} .{e^{i300^\circ }}\)

    1. Teilaufgabe: In der Polarform
    2. Teilaufgabe: In kartesicher Darstellung
    3. Teilaufgabe: Als Zahlenpaar

    Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
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    Aufgabe 215

    Rechnen mit komplexen Zahlen

    Bringe in die kartesische Form:

    \(z = \dfrac{{2 + {i^2}}}{{{i^3}}}\)

    Kartesische Koordinaten
    Imaginäre Einheit
    Rechnen mit komplexen Zahlen - 215. Aufgabe
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    Aufgabe 30

    Betrag komplexer Zahlen

    Zeige:

    \(\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|\)

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    Aufgabe 31

    Betrag komplexer Zahlen

    Berechne:

    \(w = {\text{|7 - 4i|}}\)

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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
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    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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