Eulerscher Satz oder Eulersche Formel
Der Eulersche Satz bzw. die Eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem er die Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten i mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus verknüpft.
\(\eqalign{ & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr & {e^{ - i\varphi }} = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right) = \cos \varphi - i\sin \varphi \cr}\)
bzw:
\({e^{iy}} = \cos y + i\,\sin y\)
Aus der Addition bzw. der Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:
\(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2}; \cr & \sin \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}}; \cr}\)
Eulersche Identität
Die Euler'sche Identität gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den fünf wichtigen Zahlen, der Euler'schen Zahl e, der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit i, der reellen Einheit 1 und der Null.
\({e^{i\pi }} + 1 = 0\)
Da e und \(\pi\) irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind und i die Wurzel aus -1 ist, wirkt es verblüffend, dass es einen Therm aus diesen 3 Zahlen gibt, dessen Wert exakt -1 ist.
Herleitung der Euler'schen Identität aus der Euler'schen Formel
Wenn man in der Euler'schen Formel \({e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi\) wie folgt setzt: \(\varphi = \pi\) so erhält man \({e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi = - 1 + i0\) bzw. vereinfacht \({e^{i\pi }} = - 1\) oder umgeformt \({e^{i\pi }} + 1 = 0\) die Euler'sche Identität.