Kartesische-, trigonometrische bzw. exponentielle Darstellung

Komplexe Zahlen

Die Gleichung \({x^2} = - 1\) kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden, da x dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre, was unzulässig ist.

\({x^2} = - 1 \to x = \sqrt { - 1}\)

Leonhard Euler führte den Begriff \({i^2} = - 1\) in die Mathematik ein und definierte den Ausdruck \(z = a + i \cdot b = a + b \cdot \sqrt { - 1} \). Eine komplexe Zahl setzt sich somit aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. a und b sind dabei reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit. Die reellen Zahlen sind jener Spezialfall der komplexen Zahlen, für die der Imaginärteil der komplexen Zahl Null ist.

Definition der imaginären Einheit i

Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist, also \({i^2} = - 1\). Das ist eine Definition. Wir können damit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ziehen und Gleichungen vom Typ x²+1=0 lösen.

\(\eqalign{
& {x^2} + 1 = 0 \cr
& {x^2} = - 1\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right. \cr
& x = \sqrt { - 1} = i \cr} \)

Achtung, man muss zwischen der Definition \(\sqrt { - 1} = i\) unterscheiden und zwischen den beiden Lösungen der 2. Wurzel der Zahl z=-1 im Bereich der komplexen Zahlen: 

\(w = \sqrt { - 1} \)

Wie jede 2-te Wurzel hat auch die Quadratwurzel aus -1 zwei Lösungen:

• Nämlich eine, als Hauptwert bezeichnete, 1. Lösung w₀=+i mit der Probe i²=-1 und
• eine um 180° verschobene 2. Lösung w₁=-i mit der Probe (-i)²=-1.

Eine detailliertere Erklärung findet sich, wenn man "Wurzeln komplexer Zahlen" in den Suchslot eingibt.

• i ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, und deren Imaginärteil eben i ist. i selbst hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der positiven imaginären Achse dargestellt.
• -i hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der negativen imaginären Achse dargestellt.
• +i und -i schließen in der gaußschen Zahlenebene einen 180° Winkel ein. 

Beachte:

\(\begin{array}{l} \sqrt { - 1} = i \leftarrow {\rm{true}}\\ \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{false}}\\ i = \pm \sqrt 1 \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ - \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{true}}\\ - \sqrt { - i} = i \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ {i^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}}\\ {\left( { - i} \right)^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}} \end{array}\)

Anmerkung für Elektrotechniker: Da in der Wechsel- und Drehstromrechnung durchgängig mit komplexen Zahlen gerechnet wird und i für die zeitabhängige Stromstärke i(t) steht, verwenden Elektrotechniker statt dem Buchstaben i den Buchstaben j, somit \(\sqrt { - 1} = j\)

Gleichheit komplexer Zahlen

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl in ihrem Real-als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen.

Höhere Potenzen der imaginären Einheit i

Die höheren Potenzen von i kann man wie folgt vereinfachen:

Wir erkennen dabei ab i² folgende Abfolge: -1, -i, 1, i die sich danach immer wieder wiederholt. Es bietet sich eine Zerlegung in Vielfache von i⁴ wegen i⁴=1 an.

Beispiele:

\(\eqalign{ & - {i^3} = - \left( {{i^3}} \right) = - \left( { - i} \right) = i \cr & \cr & {( - i)^5} = {\left( { - i} \right)^2} \cdot {\left( { - i} \right)^2} \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = {i^2} \cdot {i^2} \cdot \left( { - i} \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i \cr} \)

Gaußsche Zahlenebene

Grafisch werden komplexe Zahlen in der gaußschen Zahlenebene dargestellt. Vergleichbar zu einem Vektor in der Ebene, wird der Realteil in Richtung der x-Achse und der Imaginärteil in Richtung der y-Achse (=imaginäre Achse) aufgetragen. Für komplexe Zahlen verwendet man verschiedene Darstellungsformen, nachfolgend die kartesische Darstellung auch Normalform genannt.
\(z = a + ib\)

Für die Darstellung in Polarkoordinaten \(z = \left( {r\left| \varphi \right.} \right)\) gilt:

\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\varphi = \arctan \dfrac{b}{a}\)   
Achtung: Zur Bestimmung von \(\varphi\) auf den Quadranten in dem z liegt achten!

Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

Auf der x-Achse wird der Realteil also a bzw. r·cos \(\varphi\) aufgetragen, auf der y-Achse wird der Imaginärteil also b bzw. r·sin \(\varphi\) aufgetragen. Die komplexe Zahlenebene entspricht dabei der gaußsche Zahlenebene, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet werden.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr}\)

Illustration einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene

Betrag einer komplexen Zahl

Stellt man sich eine komplexe Zahl als Vektor in der gaußschen Zahlenebene vor, wobei der Schaft vom Vektor im Ursprung und die Spitze vom Vektor an der Stelle \(\left( {a\left| b \right.} \right)\) liegt, so entspricht der Betrag der komplexen Zahl der Länge vom Vektor.

\(\eqalign{ & \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \cr & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cr & \left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n} \cr}\)

Konjugiert komplexe Zahl

Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & \overline z = a - ib \cr}\)

Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung der komplexen Zahl um die x-Achse.

Illustration einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl

Darstellungsformen komplexer Zahlen

Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung

Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung

Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen.
Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt.

\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\,i = \sqrt { - 1} \cr}\)

• a = Re(z) … a ist der Realteil von z
• b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
• i … imaginäre Einheit

Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen. Erst im Zusammenspiel mit der imaginären Einheit i entsteht die komplexe Zahl. Der imaginäre Einheit i entspricht geometrisch eine 90 Grad Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Komplexe Zahl als Zahlenpaar

Eine komplexe Zahl kann als reelles Zahlenpaar bestehend aus Real- und Imaginärteil angeschrieben werden.

\(z = (a\left| b \right.)\)

Komplexe Zahl in Polarform, d.h. mit Betrag und Argument

Für die Polarform gibt es die trigonometrische und die exponentielle Darstellung.

\(\eqalign{ & z = \left| z \right| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr}\)

Dabei entspricht

• Betrag r dem Abstand vom Koordinatenursprung
• Argument \(\varphi\) dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt z

Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung

Eine komplexe Zahl z in trigonometrischer Darstellung wird mittels Betrag r und den Winkelfunktionen cos φ und sin φ dargestellt.

\(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\)

Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung

Komplexe Zahlen in exponentieller Darstellung werden mit Hilfe vom Betrag r=|z| und dem Winkel φ als Exponent der eulerschen Zahl e dargestellt. Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen.

\(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\)

Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler’sche Form einer komplexen Zahl.

\({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\)

\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\)

Umrechnung von komplexen Zahlen

Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung an. Selbstverständlich kann man zwischen diesen Darstellungen wie folgt umrechnen:

\(z = (a\left| b \right.)\)

Illustration der unterschiedlichen Notationen einer komplexen Zahl

Eulersche Formel

Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi\) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten i einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits

\(\eqalign{ & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr & {e^{ - i\varphi }} = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right) = \cos \varphi - i\sin \varphi \cr}\)

bzw:

\(\begin{array}{l} {e^{iy}} = \cos y + i \cdot \sin y\\ {e^{x + iy}} = {e^x} \cdot \left( {\cos y + i \cdot \sin y} \right) \end{array}\)

Aus der Addition bzw. der Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:
\(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2}; \cr & \sin \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}}; \cr}\)

Eulersche Identität

Die Euler'sche Identität gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den fünf wichtigen Zahlen, der Euler'schen Zahl e, der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit i, der reellen Einheit 1 und der Null.
\({e^{i\pi }} + 1 = 0\)

Da e und \(\pi\) irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind und i die Wurzel aus -1 ist, wirkt es verblüffend, dass es einen Term aus diesen 3 Zahlen gibt, dessen Wert exakt -1 ist.

Herleitung der Euler'schen Identität aus der Euler'schen Formel

Wenn man in der Euler'schen Formel \({e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi\) wie folgt setzt: \(\varphi = \pi\) so erhält man \({e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi = - 1 + i0\) bzw. vereinfacht \({e^{i\pi }} = - 1\) oder umgeformt \({e^{i\pi }} + 1 = 0\) die Euler'sche Identität.

Darstellung der komplexen Winkelfunktionen durch Exponentialfunktionen

\(\begin{array}{l} \sin z = \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{2i}}\\ \cos z = \dfrac{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}}{2}\\ \tan z = - i \cdot \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}} \end{array}\)

\({\cos ^2}z + {\sin ^2}z = 1\)

Darstellung der komplexen Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen

\(\begin{array}{l} \sinh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{2}\\ \cosh z = \dfrac{{{e^z} + {e^{ - z}}}}{2}\\ \tanh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{{{e^z} + {e^{ - z}}}} \end{array}\)

\({\cosh ^2}z - {\sinh ^2}z = 1\)