Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung, abc Formel auch „Mitternachtsformel“
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - dh deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
\(\eqalign{ & a \cdot {z^2} + b \cdot z + c = 0 \cr & a,b,c \in {\Bbb R} \cr & a \ne 0 \cr & {z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr}\)
- D > 0: Es gibt 2 Lösungen in R
- D = 0: Es gibt eine Doppellösung in R
- D < 0: Es gibt 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D ;\)