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  2. Algebra
  3. Komplexe Zahlen
  4. Quadratische Gleichungen mit komplexer Lösung

Quadratische Gleichungen mit komplexer Lösung

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
5
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.


    pq Formel

    \(\eqalign{ & {z^2} + pz + q = 0 \cr & p,q \in {\Bbb R} \cr & {z_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt D \cr}\)


    • D > 0: Es gibt 2 Lösungen in R
    • D = 0: Es gibt eine Doppellösung in R
    • D < 0: Es gibt 2 konjugiert komplexe Lösungen in C

    \(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)


    Wurzelsatz von Vieta für eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen

    Der Satz von Vieta macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung in normierter Darstellung mit einer Variablen x auf der einen Seite und den Lösungen (Nullstellen) zi auf der anderen Seite

    \(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr}\)


    abc Formel, auch „Mitternachtsformel“

    \(\eqalign{ & a \cdot {z^2} + b \cdot z + c = 0 \cr & a,b,c \in {\Bbb R} \cr & a \ne 0 \cr & {z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr}\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    Satz von Vieta (komplexe Zahlen)
    Mitternachtsformel
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    Aufgabe 33

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({x^2} - 6x + 12 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
    pq-Formel
    Diskriminante kleiner Null
    Konjugiert komplexe Lösungen
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    Aufgabe 34

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \({x^2} - 6x + 58 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
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    Aufgabe 35

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(\dfrac{1}{{6 + x}} - \dfrac{1}{{6 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{36 - {x^2}}}\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
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    Aufgabe 36

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(2{x^2} + 4x + 10 = 0\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
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    Aufgabe 37

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

    Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:

    Berechne:
    \(\dfrac{{2x - 9}}{{x - 1}} - \dfrac{{3x + 5}}{{x + 2}} = 3\)

    Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
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