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Quadratische Gleichungen mit komplexer Lösung
Formeln
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
pq Formel
\(\eqalign{ & {z^2} + pz + q = 0 \cr & p,q \in {\Bbb R} \cr & {z_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt D \cr}\)
- D > 0: Es gibt 2 Lösungen in R
- D = 0: Es gibt eine Doppellösung in R
- D < 0: Es gibt 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
Wurzelsatz von Vieta für eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen
Der Satz von Vieta macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung in normierter Darstellung mit einer Variablen x auf der einen Seite und den Lösungen (Nullstellen) zi auf der anderen Seite
\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr}\)
abc Formel, auch „Mitternachtsformel“
\(\eqalign{ & a \cdot {z^2} + b \cdot z + c = 0 \cr & a,b,c \in {\Bbb R} \cr & a \ne 0 \cr & {z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr}\)
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Aufgaben
Aufgabe 33
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 12 = 0\)
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Aufgabe 34
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 58 = 0\)
Aufgabe 35
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(\dfrac{1}{{6 + x}} - \dfrac{1}{{6 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{36 - {x^2}}}\)
Aufgabe 36
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(2{x^2} + 4x + 10 = 0\)
Aufgabe 37
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(\dfrac{{2x - 9}}{{x - 1}} - \dfrac{{3x + 5}}{{x + 2}} = 3\)
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