Logarithmusfunktion

Logarithmusfunktionen

Die Logarithmusfunktion \({}^a\operatorname{logx} \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=a^x . Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts von der y-Achse und durch den gemeinsamen Punkt (1|0). Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert. Der Definitionsbereich aller Logarithmusfunktionen ist \(\mathbb{R}^+\), der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\) und sie haben alle x₀=1 als Nullstelle.
Die y-Achse bildet eine Asymptote und die Nullstelle liegt an der Stelle x=1. Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die häufigste Logarithmusfunktion ist jene mit der Basis e (Euler'sche Zahl e=2,7182), die natürliche Logarithmusfunktion ln.

\(f\left( x \right) = {}^a\log x = {\log _a}x \)

\(\eqalign{ & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} \cr & x \in {{\Bbb R}^ + } \cr}\)

speziell:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^2\log x = \operatorname{lb} x \cr & f\left( x \right) = {}^e\log x = \ln x \cr & f\left( x \right) = {}^{10}\log x = \lg x \cr} \)

• \(a < 0\): Der Logarithmus ist für einen negativen Numerus nicht definiert
• \(0 < a < 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton fallend
• \(a = 1\): Der Logarithmus ist für die Basis = 1 nicht definiert
• \(a > 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton steigend