Mechanik

Mechanik

Mechanik ist die Lehre von bewegten Körpern und Kräften.

Speziell untersucht man Fragestellungen zu physikalischen Eigenschaften von Masse (im Gegensatz zu chemischen und biologischen Eigenschaften) und deren Bewegungen, sowie die Ursachen dafür, warum sich die Bewegung von Massen verändert.

Die „klassische“ Mechanik"

Als „klassische“ Mechanik bezeichnet man jene Abschnitte der Physik die zeitlich vor der Relativitätstheorie und der Quantenphysik lagen. Ihr liegt das Kausalitätsprinzip zu Grunde, demzufolge man bei gegebenen Anfangsbedingungen das Verhalten eines deterministischen Systems in alle Zukunft (zumindest theoretisch) vorausbestimmen kann.

Heute wissen wir, dass die „klassische“ Mechanik nur im Grenzfall verhältnismäßig kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit gilt, denn sonst beschreibt die Relativitätstheorie die Physik großer Geschwindigkeiten besser.Weiters wissen wir heute, dass die „klassische“ Mechanik nur im Grenzfall verhältnismäßig großer räumlicher Distanzen im Vergleich zum Atom gilt, denn sonst beschreibt die Quantenphysik die Physik atomarer Abmessungen besser.

Auf Grund der Heisenberg’schen Unschärferelation ist es zudem grundsätzlich unmöglich alle Anfangsbestimmungen eines Systems beliebig genau zu kennen und man kann daher, wie die Chaostheorie zeigt, auch auf Grund der fluktuierenden Anfangsbestimmungen grundsätzlich die Zukunft des Systems nicht (schon gar nicht beliebig genau) vorausbestimmen.

Erst die Schrödinger Gleichung brachte wieder den Determinismus zurück, sodass wir nicht in einer chaotischen Welt leben. Kennt man nämlich die Wellenfunktion \(\psi\) eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt, dann ermöglicht es die Schrödinger Gleichung die Wahrscheinlichkeit anzugeben, zu der sich das Teilchen im Laufe seiner zeitlichen Entwicklung an einer bestimmten Stelle aufhält.

Masse (gemäß Isaac Newton, 1687)

Masse ist eine scheinbar alltägliche Eigenschaft der Materie. Die Größe der Masse wird durch ihre Dichtigkeit und ihr Volumen vereint gemessen.

Schwere Masse

Die "Schwere Masse" ist ein Maß für die Gravitationskraft die von einem Körper ausgeht. Masse ist jene Eigenschaft von Materie, die für den Aufbau eines Schwerefeldes verantwortlich ist. Man spricht von der „Schweren Masse“. Zwei Körper haben die gleiche (schwere) Massen, wenn sie auf je einer Seite einer Balkenwaage liegend diese nicht aus der Gleichgewichtslage bewegen.

Äquivalente Anziehungskräfte zwischen 2 Massen, gemäß dem newtonschen Gravitationsgesetz:

\({F_1} = {F_2} = G \cdot \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)

Träge Masse

Die "Träge Masse" ist ein Maß dafür, wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt. ​Masse ist aber auch jene Eigenschaft von Materie, die das Einwirken einer äußeren Kraft erfordert, um die Bewegung eines Objekts in Richtung und/oder Geschwindigkeit zu ändern. Man spricht von der „Trägen Masse“. Zwei Körper haben die gleiche (träge) Masse, wenn sie durch die gleiche Kraft gleich beschleunigt werden.

\(\overrightarrow F = m \cdot \overrightarrow a \)

Äquivalenzprinzip von träger und schwerer Masse

Zunächst einmal gibt es keinen Grund für die Annahme, dass ein Körper, der zweimal so viel Krafteinwirkung für eine Änderung seines Bewegungszustands erfordert, auch ein zweimal so großes Gravitationsfeld aufbaut. Dennoch ist es so! "Träge Masse" (als Maß wie sehr sich ein Körper einer Bewegungsänderung widersetzt) ist gleichwertig der "Schwere Masse" (als Maß für die Gravitationskraft die von einem Körper ausgeht). Man nennt dies das Äquivalenzprinzip von träger und schwerer Masse. Es ist ein wichtiger Aspekt in Einsteins Weiterentwicklung von der Speziellen zur Allgemeinen Relativitätstheorie.

Weitere Sichtweisen auf die Masse findest du auf maths2mind unter folgenden Tags:

• Masse (gemäß Einstein)
• Masse (gemäß Higgs)

Zeit t

Die Zeit ist eine die physikalische Basisgröße mit der Einheit Sekunde. Man unterscheidet zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, wobei der Fortschritt in der Zeit nur in Richtung Zukunft aber nicht in Richtung Vergangenheit laufen muss. Uhren messen periodische Vorgänge. Eine Sekunde entspricht 9 192 632 770 Perioden der Strahlung des Überganges zwischen den beiden Hyperfeinstruktur-Niveaus des Grundzustandes von Atomen des ElementsCäsium-133. In der klassischen Physik sind diese periodischen Vorgänge gleichförmig. In der relativistischen Physik hängt der Gang der Uhren von der relativen Bewegung zwischen Beobachter und Uhr zueinander ab. Mit zunehmender Geschwindigkeit gehen Uhren, genauer gesagt vergeht die Zeit selbst langsamer und kommt bei Lichtgeschwindigkeit zum Stillstand. D.h. je weiter man sich der Lichtgeschwindigkeit annähert, um so weniger altert man. Dieser Effekt wird aber erst bei mehr als 90% der Lichtgeschwindigkeit signifikant. 

Sekunde s - Zeiteinheit

Sekunde s ist die Basiseinheit der Zeit im internationalen Einheitensystem. 

Zeiteinheiten umrechnen:

• 1 Erdenjahr: 1a = 365,24 d (astronomisches Jahr) bzw. 365 d (Kalenderjahr) bzw. 366 d (Schaltjahr)
• 1 Kalenderjahr: 1.1 bis 31.12  
• 1 Geschäftsjahr: Zeitraum zwischen 2 aufeinander folgenden Bilanzstichtagen (z.B.: 1.10 - 30.9)
• 1 Jahr: 1a = 12m Monate
• 1 Monat: 1m = 28, 29, 30 bzw. 31d Tage bzw 4 Wochen
• 1 Woche: 1 Woche = 7d Tage
• 1 Tag: 1d = 24h Stunden
• 1 Stunde: 1h = 60min Minuten
• 1 Minute: 1m = 60s Sekunden

Schreibweisen:

• 3:40 min entspricht 3 Minuten und 40 Sekunden
• 3,40 min entspricht 3 Minuten und 24 Sekunden (60 x 0,4 = 24)
• 220 min entspricht 3,667 Minuten (220:60=3,667) bzw. 3:40 min (220-3*60=3min plus 40s) bzw. 3,667min= 3min plus 0,667min = 3min plus 0,667*60=40s)

Weg s

Der Weg s gibt an, wie weit 2 Punkte entlang einer gegebenen Bahn voneinander entfernt sind.

s=s(t)

Die Einheit vom Weg bzw. von der Länge ist das Meter. Ursprünglich war das Pariser Urmeter die Basis der Längenmessung. Heute ist das Meter über die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (das ist eine Naturkonstante) definiert, die auf exakt 299 792 458 m/s festgelegt wurde. Ein Meter ist somit jene Länge / jener Weg, den das Licht im Vakuum in einem 299 792 458-stel Bruchteil von einer Sekunde zurücklegt.

Meter m - Längeneinheit

Meter m ist die Basiseinheit der Länge im internationalen Einheitensystem. 

Längeneinheiten umrechnen:

• Kilometer: 1.000m = 1 km
• Dezimeter: 10dm = 1m; 10cm=1dm
• Zentimeter: 100cm = 1m; 10mm=1cm
• Millimeter: 1.000mm = 1m; 

Auch das Lichtjahr ist eine Längeneinheit, denn es entspricht der Strecke von \(9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\), welche das Licht im Vakuum innerhalb eines Jahres zurücklegt. Die zu unserer Sonne nächstgelegene Sonnensystem namens Alpha Centauri liegt 4,246 Lichtjahre, das sind \(4,246 \cdot 9,461 \cdot {10^{12}}{\text{km}}\) entfernt. 

Geschwindigkeit v

Die Geschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper gegenüber einem Bezugssystem bewegt. Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe, d.h. sie hat einen Betrag, eine Richtung und eine Orientierung. Etwa wie schnell sich ein Zug auf einem Gleis von Westen nach Osten gegenüber dem Bahnhof bewegt. 

\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( t \right) = {\overrightarrow s ^\prime }\left( t \right)\)

Wird in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten immer auch der gleiche Weg zurückgelegt, so bewegt sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit. Man spricht auch von einer gleichförmigen Translation. Die konstante Geschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegtem Weg und der dafür benötigten Zeit. Die Geschwindigkeit gibt also den zurückgelegten Weg in Relation zur dafür benötigten Zeitspanne an.

\(\overrightarrow v = \dfrac{{\overrightarrow s }}{t}\)

\(\eqalign{ & {\text{Geschwindigkeit}} = \dfrac{{{\text{zurückgelegter Weg}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ v \right] = \frac{m}{s} \cr} \)

\(\overrightarrow v = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow s }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow s }}{{dt}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^ \cdot\)

Die Momentangeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegt. In einem fahrenden Auto wird die Momentangeschwindigkeit Mittels des Tachometers angezeigt. Durch Verkehr, Ampeln und die Beschaffenheit der Fahrtstrecke ändert sich die Geschwindigkeit im Zuge einer Autofahrt jedoch immer wieder. Die Durchschnittsgeschwindigkeit gibt den Mittelwert aller Momentangeschwindigkeiten an. Sie ist ein Rechenwert, den man erhält, wenn man die gefahrene Strecke durch die dafür benötigte Zeitdauer dividiert. Tachometer messen den zurückgelegten Weg indirekt, indem sie zählen wie oft sich die Radachse in einer bestimmten Zeit gedreht hat. Dh sie messen eine Drehzahl und multiplizieren diese mit dem Abrollumfang des Rades. Montiert man ein Rad mit einem größeren Radius muss der Tacho neu justiert werden.

Werden in gleichen aufeinander folgenden Zeiteinheiten unterschiedliche weite Weg zurückgelegt, so liegt eine beschleunigte Bewegung vor, wodurch die Geschwindigkeit des Körpers zu- oder abnimmt, sich dessen Geschwindigkeit also erhöht oder verlangsamt. 

• Eine positive Beschleunigung bewirkt eine Zunahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper in Richtung seiner Bewegung einwirkt.
• Eine negative Beschleunigung bewirkt eine Abnahme der Geschwindigkeit und erfordert eine Kraft die auf den Körper entgegen seiner Bewegungsrichtung einwirkt.

Die Geschwindigkeit wird in der täglichen Praxis in Meter pro Sekunde (m/s) oder in Kilometer pro Stunde (km/h) angegeben. Wichtige Geschwindigkeiten sind

• Schallgeschwindigkeit ca. 1.234,8 km/h
• Fluchtgeschwindigkeit der Erde ca. 11,2 km/s
• Geschwindigkeit der Erde um die Sonne ca. 30 km/s
• Lichtgeschwindigkeit und somit die maximale Geschwindigkeit für Materie ca 299.792 km/s

Meter pro Sekunde

Meter pro Sekunde ist die Einheit der Geschwindigkeit. Ein Körper welcher sich mit konstanter Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt, legt in einer Sekunde die Entfernung von einem Meter zurück. Das entspricht der Geschwindigkeit mit der sich ein Fußgänger fortbewegt.

\(1 \cdot \dfrac{m}{s} = 1 \cdot \dfrac{m}{s} \cdot \dfrac{{1 \cdot km}}{{1000 \cdot m}} \cdot \dfrac{{3600 \cdot s}}{{1 \cdot h}} = \dfrac{{3600}}{{1000}} \cdot \dfrac{{m \cdot km \cdot s}}{{s \cdot m \cdot h}} = 3,6\dfrac{{km}}{h}\)

Beschleunigung a

Die Beschleunigung gibt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert.

a=a(t)=v'(t)=s''(t)

Die Beschleunigung ist eine gerichtete Größe (mathematisch ein Vektor), d.h. sie hat eine Richtung und einen Betrag.

\(\overrightarrow a = \dfrac{{\overrightarrow v }}{t}\)

\(\eqalign{ & {\text{Beschleunigung}} = \dfrac{{{\text{Änderung der Geschwindigkeit}}}}{{{\text{Zeit}}}} \cr & \left[ a \right] = \frac{m}{{{s^2}}} \cr} \)

\(\overrightarrow a = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{{\Delta \overrightarrow v }}{{\Delta t}} = \dfrac{{d\overrightarrow v \left( t \right)}}{{dt}} = \dfrac{{{d^2}\overrightarrow s }}{{d{t^2}}} = \mathop {\overrightarrow s }\limits^{ \cdot \cdot } = \mathop {\overrightarrow v }\limits^ \cdot \left( t \right)\)

Meter pro Sekundenquadrat

Meter pro Sekundenquadrat ms^-2 ist die Einheit der Beschleunigung im internationalen Einheitensystem.

\({\text{Einheit: }}1\dfrac{m}{{{s^2}}}\)

Damit ein Fahrzeug innerhalb von 10 Sekunden von 0 auf 100 km/h Geschwindigkeit kommt, muss es mit 2,778 m/s² beschleunigt werden.

Geschwindigkeit einer Internetverbindung

Die Geschwindigkeit einer Internetverbindung, also ihre Datenübertragungsrate, wird in Megabit pro Sekunde (Mbit/s) gemessen. Sie ist ein Maß dafür, wie viele Daten pro Sekunde von einem Server zum Nutzer (Download-Geschwindigkeit) bzw vom Nutzer zu anderen Nutzern (Upload-Geschwindigkeit) übertragen werden können. 

• 1 Megabit pro Sekunde Mbps entspricht 1 Million Bit pro Sekunde oder 125.000 Byte (1 Byte = 8 Bit) pro Sekunde.
• 1 MegaByte pro Sekunde MBps entspricht 1 Million Byte pro Sekunde oder 8 Millionen Bit pro Sekunde; 1 MBps = 8 Mbps

Übliche kabelgebundene Internet-Download-Geschwindigkeiten liegen zwischen 100 Mbit/s und 1 Gbit/s. Die Upload-Geschwindigkeiten sind meist wesentlich geringer, da Haushalte viele Daten, besonders Videos vom Internet als Stream beziehen und nur wenige Daten (etwa Mails, Chats, Bilder) ins Internet hochladen. Professionelle Webseiten wie maths2mind.com sind Upstream mit 1 GBit/s an das Backbone Internet angebunden.

Die tatsächliche Geschwindigkeit einer Internetverbindung wird mit sogenannten Speedtest-Tools gemessen. Hier ein Link auf die Datenratenmessung der deutschen Bundesnetzagentur.

Über einen Transponder eines TV-Satelliten können bei Mietkosten von ca. 2 Millionen € pro Jahr ca. 40 Mbps übertragen werden. Das bietet Platz für 16 SDTV-Kanäle oder 4 HDTV Kanäle mit 5-8 Mbps je Kanal oder einem einzigen 4k-TV-Kanal. Für ein 8k-TV-Signal wären bereits 4 Transponder parallel erforderlich.

Die erforderliche Datenübertragungsrate für ein Full-HD-Video (1920 x 1080 Pixel) liegt je nach Codec zwischen 3 Mbps (H.265) und 6 Mbps (H.264). Für ein UHD-Video (3840 x 2160 Pixel) liegt die Datenübertragungsrate etwa 4-Mal so hoch. 

Die erforderliche dauerhafte Speichergeschwindigkeit für ein 6k-RAW-Video beträgt 2600 Mbit/s, die eines 4k-H.264-Slow-Motion-Videos mit 120 fps beträgt 1.880 Mbit/s. Auf einem 100 GB großen Speicherplatz kann man ca. 5 Minuten 6k-RAW-Video oder 10 Minuten 4k-Slow-Motion-Video aufzeichnen. 

Kraft, Feld, Wechselwirkung und Austauschteilchen

Kraft

Kraft ist etwas, was sich zwischen 2 Objekten abspielt. Kraft ist die Wirkung eines materiellen Teilchens auf ein anderes materielles Teilchen. Sie bewirkt eine Änderung der Bewegung von Masse.

Newton

Newton N ist die Einheit der Kraft F. 1 Newton ist die Kraft die benötigt wird, um einen ruhenden Körper mit 1 kg Masse innerhalb einer Sekunde aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit von 1m/s zu beschleunigen.

Feld

Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird. Die heutige Physik kennt 4 fundamentale Felder: Das Gravitationsfeld, das Starke und das Schwache Kernfeld, das Elektromagnetische Feld und das Higgs-Feld.

Wechselwirkung

Von einer Wechselwirkung spricht man, wenn eines der 12 bekannten Elementarteilchen auf ein anderes fundamentales Teilchen einwirkt, welches der selben Wechselwirkung unterliegt. Dabei kommt es oft auch zur Annihilation (der gegenseitigen Auslöschung). Die heutige Physik kennt 4 fundamentale Wechselwirkungen: Gravitation, elektromagnetische Wechselwirkung, starke und schwache Wechselwirkung

Austauschteilchen

Austauschteilchen, auch Bosonen genannt, sind die Träger bzw. die Vermittler der 4 fundamentalen Wechselwirkungen. Sie manifestieren sich als Kräfte. Ein bestimmtes Austauschteilchen kann nur dann emittiert oder absorbiert werden, wenn das materielle Teilchen der entsprechenden Wechselwirkung unterliegt. Die heutige Physik kennt folgende Austauschteilchen: Higgs-Boson, Gluon, W⁺, W^-, Z⁰ Bosonen und das hypothetische Graviton

Federkraft

Die Federkraft F wirkt der Dehnung der Feder durch eine äußere Kraft entgegen. Sie hängt von der Dehnung x der Feder und der Federkonstante k ab.

\(\overrightarrow F = - k \cdot \overrightarrow x\)
\({\text{Federkraft}} = - {\text{Federkonstante}} \cdot {\text{Federdehnung}} \)

\({\text{Einheit: }}1N = 1\dfrac{{kg \cdot m}}{{{s^2}}}\)

Das „-“ kommt daher, dass die Federkraft und die Dehnung entgegen gesetzt gerichtet sind. Die Federkonstante k ist ein Maß dafür, wie „schwer“ es ist, die Feder zu dehnen.

Hookesches Gesetz

Das Hooksche Gesetz beschreibt eine Längenänderung zufolge einer Kraftänderung. Bei elastisch verformbaren Körpern kommt es nämlich zu einer Längenänderung x, die der einwirkenden Kraft F proportional ist. Wird die einwirkende Kraft zu groß, dan geht die (reversible) elastische Verformung in eine plastische Verformung oder einen Materialbruch über, für die das Hooksche Gesetz dann nicht mehr gilt.

\(\left| k \right| = D = \dfrac{{{\rm{Kraftänderung}}}}{{{\rm{Längenänderung}}}} = \dfrac{{\Delta F}}{{\Delta x}}\)

Reibungskraft

Die Reibungskraft hemmt die freie Bewegung zwischen Körpern die einander berühren. Man unterscheidet zwischen Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung.

\(\overrightarrow {{F_R}} = \mu \cdot \overrightarrow {{F_N}}\)

\({F_{{\text{Haftreibung}}}} > {F_{{\text{Gleitreibung}}}} > {F_{{\text{Rollreibung}}}}\)

\({\text{Reibung = Reibungskoeffizient}} \cdot {\text{Normalkraft}}\)

\({\text{Einheit: }}1N = 1\dfrac{{kg \cdot m}}{{{s^2}}}\)

• Haftreibung: Zieht man an einem ruhenden Körper, und ist die Zugkraft größer als die entgegengesetzt orientierte Haftreibungskraft, dann setzt sich der Körper in Bewegung.
• Gleitreibung: Sobald der Körper einmal in Bewegung ist, wirkt nur mehr die wesentlich kleinere Gleitreibungskraft, die aufzuwenden ist, um den Körper in Bewegung zu halten
• Rollreibung: Die Gleitreibung kann herabgesetzt werden, wenn man zwischen die reibenden Körperflächen Rollen / Räder einbringt.

Der Reibungskoeffizient ist dabei jeweils der Quotient aus dem Reibungswiderstand und jener Kraftkomponente mit der die beiden Flächen aufeinander gedrückt werden.

Gewichtskraft

Während die Masse eines Körpers überall im Universum gleich ist, ist sein Gewicht / seine Gewichtskraft abhängig von der Masse des Körpers und von der Schwerebeschleunigung, die durch das Gravitationsfeld des jeweiligen Himmelskörpers verursacht wird.

\(\overrightarrow G = m \cdot \overrightarrow g ;\)

\({\text{Gewicht(skraft) = Masse}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}}\)

\({\text{Einheit: }}kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}}\)

Auf der Erdoberfläche übt eine Masse von 1 kg ein(e) Gewicht(skraft) von 9,81N aus. Auf einer Waage stehend (Personenwaagen sind Federwaagen) ermittelt man seine Masse (70 kg) und nicht wie umgangssprachlich gesagt sein Gewicht. Das Gewicht ist nämlich 9,81 mal größer als die Masse, also 70N*9,81=686,7 N ;-) 

Auftrieb(skraft)

Das Gesetz des Archimedes besagt, dass die Auftriebskraft betragsgleich dem Gewicht, der durch das Volumen des Körpers verdrängten Flüssigkeit bzw. des verdrängten Gases ist. Der Auftrieb wächst proportional mit dem Volumen des Körpers und der spezifischen Dichte des flüssigen oder gasförmigen Mediums in dem er sich befindet. Die Erdbeschleunigung geht in die Formel ein, weil sich das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit / Gases aus seiner Masse mal der Erdbeschleunigung errechnet.

\(\overrightarrow {{F_A}} = \rho \cdot \overrightarrow g \cdot V\)

\({\text{Auftrieb}} = {\text{Dichte}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}} \cdot {\text{Volumen;}}\)

\({\text{Einheit: }}\dfrac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}} \cdot {m^3} = 1\dfrac{{kg \cdot m}}{{{s^2}}} = 1N\)

Astrologie

Das von Astrologen erstellte Horoskop basiert auf der Vorstellung, aus der

• Geburtszeit und dem aktuellen Datum sowie
• Position von Sonne, Mond, Planeten und den Tierkreiszeichen (real sind das weit entfernte Sonnen)

Rückschlüsse auf zukünftige Ereignisse und die Persönlichkeit eines Menschen ableiten zu können.

Aus Sicht der Physik wirkt tatsächlich genau eine einzige der 4 fundamentalen Wechselwirkungen zwischen einem Menschen auf der Erde und den Himmelskörpern - und sonst nichts. Dabei handelt es sich um die Gravitation, die in Form der sogenannten Gezeitenkraft tatsächlich eine Zugkraft auf den Menschen gemäß

\(\overrightarrow F = \overrightarrow G \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)

ausübt. Nachfolgend eine Abschätzung der Größenordnung dieser Kraft.

Am Beispiel des Mondes der direkt über einem 70 kg schweren Menschen mit 2m Körpergröße steht, errechnet sich die Zugkraft gemäß:

\(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\dfrac{{N{m^2}}}{{k{g^2}}}\)

\(\begin{array}{l} {M_{{\rm{Mond}}}} = 7,349 \cdot {10^{22}}kg\\ {m_{{\rm{Mensch}}}} = 70kg\\ {R_{{\rm{Erde}}{\rm{,Mond}}}} = 384.400.000m\\ {r_{{\rm{Kopf}}{\rm{,Zehen}}}} = 2m \end{array}\)

somit kann man die Gezeitenkraft wie folgt ausrechnen

\(\begin{array}{l} {F_{{\rm{Kopf}}}} = G \cdot \dfrac{{m \cdot M}}{{{R^2}}}\\ {F_{{\rm{Zehen}}}} = G \cdot \dfrac{{m \cdot M}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\\ \left( {R + r} \right) > R \Rightarrow {F_{{\rm{Kopf}}}} > {F_{{\rm{Zehen}}}} \to \Delta F = {F_{{\rm{Kopf}}}} - {F_{{\rm{Zehen}}}} = {\rm{Zugkraft}}\\ {F_{{\rm{Kopf}}}} - {F_{{\rm{Zehen}}}} = G \cdot \dfrac{{m \cdot M}}{{{R^2}}} - G \cdot \dfrac{{m \cdot M}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}} = \\ = G \cdot \left( {\dfrac{{m \cdot M}}{{{R^2}}} - \dfrac{{m \cdot M}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}} \right) \approx \\ \approx 6,672 \cdot {10^{ - 11}}\dfrac{{{m^3}}}{{kg \cdot {s^2}}} \cdot \left( {\dfrac{{70kg \cdot 7,349 \cdot {{10}^{22}}kg}}{{{{\left( {384\,400\,000m} \right)}^2}}} - \dfrac{{70kg \cdot 7,349 \cdot {{10}^{22}}kg}}{{{{\left( {384\,400\,000m + 2m} \right)}^2}}}} \right) \approx \\ \approx 6,672 \cdot {10^{ - 11}} \cdot \left( {\dfrac{{70 \cdot 7,349 \cdot {{10}^{22}}}}{{384\,400\,{{000}^2}}} - \dfrac{{70 \cdot 7,349 \cdot {{10}^{22}}}}{{384\,400\,{{002}^2}}}} \right) \cdot \dfrac{{{m^3}.k{g^2}}}{{kg \cdot {s^2} \cdot {m^2}}} \approx \\ \approx 6,672 \cdot {10^{ - 11}} \cdot \left( {0,36227} \right)\dfrac{{m \cdot kg}}{{{s^2}}} \approx 2,41 \cdot {10^{ - 11}}N \approx 0,241 \cdot {10^{ - 12}}N \approx 0,241pN \end{array}\)

Da in dieser Anordnung die Beine des Menschen um 2m weiter vom Mond entfernt sind als der Kopf, übt der Mond zufolge der Gezeitenkraft eine Zugkraft von 0,241 pN, also 0,241 Billionstel eines Newton aus.

Newtonsche Gesetze

Die drei Newtonschen Gesetze formulieren die Grundlagen der Bewegung zufolge von Krafteinwirkung.

1. Newtonsche Gesetz

Das 1. Newtonsche Gesetz besagt, dass in einem Inertialsystem jeder Körper in Ruhe oder im Zustand einer gleichförmigen Bewegung bleibt, solange auf ihn keine Kraft einwirkt.

2. Newtonsches Gesetz

Das 2. Newtonsche Gesetz ist zugleich die Grundgleichung der Mechanik und besagt, das eine Kraft, die auf einen Körper wirkt, gleich der zeitlichen Änderung des Impulse pro Zeiteinheit ist.

• Durch Umformung der Gleichung kann man auch sagen, dass eine Kraft gleich der Masse eines Körpers mal der auf den Körper einwirkenden Geschwindigkeitsänderung bzw. Beschleunigung ist.
• Die Beschleunigung eines Körpers ist der auf die Masse einwirkenden Kraft direkt proportional und der Masse des Körpers indirekt proportional

\(\overrightarrow F = m \cdot \overrightarrow a\)

\({\text{Kraft}} = {\text{Masse}} \cdot {\text{Beschleunigung}} \)

\({\text{Einheit}}:1N = 1\dfrac{{kg.m}}{{{s^2}}}\)

Eine Kraft von 1 N beschleunigt eine Masse von 1 kg mit 1m pro s². Kräfte werden durch ihren Betrag (Stärke der Kraft) und ihre Wirkungsrichtung festgelegt und daher als Vektor beschrieben.

In einem Inertialsystem gilt für eine Kraft die auf einen Körper einwirkt:

\(\overrightarrow F = \dfrac{{d\overrightarrow p }}{{dt}} = \dfrac{{dm \cdot \overrightarrow v }}{{dt}} = m \cdot \dfrac{{d\overrightarrow v }}{{dt}} = m \cdot \overrightarrow a \)

3. Newtonsches Gesetz

Das 3. Newtonsche Gesetz besagt, dass wenn 2 Teilchen Kräfte aufeinander ausüben, diese gleich groß aber entgegengesetzt gerichtet und entlang der Verbindungsgeraden der Teilchen wirken. Man spricht auch vom Actio - Reactio Gesetz.

Beispiel:
Fundamentale Kräfte, die im Einklang mit den 3. Newtonschen Gesetz sind:

• die Gravitationskraft: \(\left| {{F_{12}}} \right| = \left| {{F_{21}}} \right| = G \cdot \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
• die Coulombkraft: \(\left| {{F_{C12}}} \right| = \left| {{F_{C21}}} \right| = \dfrac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \dfrac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\)

Druck p

Der Druck p ist definiert als Quotient einer senkrecht auf eine Fläche wirkenden Kraft F und dem Flächeninhalt A der Fläche.

\(\overrightarrow p = \dfrac{{\overrightarrow F }}{A}\)

Pascal

Die Einheit vom Druck ist Newton pro Quadratmeter oder Pascal. 1 Pascal ist der Druck, den eine Kraft von 1 Newton auf eine Fläche von einem Quadratmeter ausübt. 1 Pascal ist ein sehr kleiner Wert, der dem Druck einer Masse von 0,1 kg gleichmäßig auf eine Fläche von einem Quadratmeter verteilt entspricht.

\({\text{Einheit: }}1\dfrac{N}{{{m^2}}} = 1Pa\)

Atmosphärischer Luftdruck

Der Luftdruck ist jener Druck der zufolge der Masse der atmosphärischen Luft unter Einwirkung der Erdanziehungskraft auf eine horizontale Flächeneinheit ausgeübt wird. Heute wird der Luftdruck in hPa (Hektopascal) angegeben, früher verwendete man Bar als Einheit. Der mittlere Luftdruck der Atmosphäre auf Meereshöhe beträgt 1013 hPa oder entsprechend 1,013 bar.

\(\eqalign{ & {\text{1 }}hPa{\text{ = 100 }}Pa{\text{ = 1}}mbar \cr & {\text{1}}Pa{\text{ = 1}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{ - 5}}bar = 1\dfrac{{kg}}{{m \cdot {s^2}}} \cr & {\text{1 }}bar{\text{ = 1}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^5}\dfrac{{kg}}{{m \cdot {s^2}}} \cr}\)

Hydrostatischer Druck

Der hydrostatischer Druck ist der Druck zufolge der Wassersäule über einem Körper.

\(p = \rho gh\)

\({\text{hydrostatischer Druck = Dichte}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}} \cdot {\text{Höhe}}\)

\( {\text{Einheit: }}1\dfrac{N}{{{m^2}}} = 1Pa\)

Umrechnung: \({10^5}Pa = 100.000Pa = 1bar\)

Aber Achtung: Der Druck auf die Lunge eines Tauchers ist die Summe aus dem tiefenabhängigen hydrostatischem Druck (ca. 1 bar pro 10 m Tiefe) plus dem (annähernd) konstantem Luftdruck (1 bar) der seinerseits auf das Wasser drückt. D.h. in 10m Tiefe herrscht ein Druck von 1+1=2 Bar, in 40m Tiefe herrscht ein Druck von 1+4=5 Bar

Arbeit (Mechanik)

Die mechanische Arbeit entspricht der Kraft in Richtung des Weges mal dem zurückgelegten Weg.

\(W = F \cdot s\) oder genauer: \(W = \int\limits_{\overrightarrow {{s_A}} }^{\overrightarrow {{s_E}} } {\overrightarrow F \left( {\overrightarrow s } \right)} \cdot \,\,d\overrightarrow s\)

\({\text{Arbeit = Kraft}} \cdot {\text{Weg}}\)

\({\text{Einheit: 1}}J = 1\dfrac{{kg \cdot m}}{{{s^2}}} \cdot m = 1Nm\)

Potentielle Energie

Die potentielle Energie eines Körpers ergibt sich aus seiner Lage in einem Kraftfeld. Wird ein Körper der Masse m im Erdschwerefeld um die Höhe h angehoben, so erhöht sich seine potentielle Energie, auch Energie der Lage genannt, entsprechend.

\({E_{pot}} = m \cdot g \cdot h\)

\({\text{potentielle Energie = Masse}} \cdot {\text{Erdbeschleunigung}} \cdot {\text{Höhe}}\)

\({\text{Einheit: }}1J = 1kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}} \cdot m = 1Nm\)

Potentielle Energie der gespannten Feder

Dehnt man eine Feder mit der Federkonstanten k um x, so verrichtet man dabei Spannungsarbeit. Diese Arbeit wird in Form von potentieller Energie so lange in der Feder gespeichert, bis sich die Feder wieder entspannen kann.

\({E_p} = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot {x^2}\)

Kinetische Energie

Wird ein ruhender Körper der Masse m auf die Geschwindigkeit v beschleunigt, so erhöht sich seine kinetische Energie, auch Energie der Bewegung genannt, entsprechend.

\({E_{kin}} = \dfrac{1}{2}m \cdot {v^2}\)

\({\text{kinetische Energie = }}\dfrac{1}{2} \cdot {\text{Masse}} \cdot {\text{Quadrat der Geschwindigkeit}}\)

\({\text{Einheit: }}1J = 1kg \cdot {\left( {\dfrac{m}{s}} \right)^2} = 1Nm\)

Energieerhaltungssatz für abgeschlossene Systeme

In abgeschlossenen reibungsfreien Systemen ist die Gesamtenergie konstant.

\({E_{ges}} = {E_{kin}} + {E_{pot}}{\text{ = konstant}}\)

Mechanische Leistung P

Die mechanische Leistung entspricht der verrichteten Arbeit pro Zeit bzw. der aufgewendeten Energie pro Zeit. Leistung = Arbeit pro Zeit bzw. Energie pro Zeit. Eine veraltete Einheit für die Leistung ist das PS (die Pferdestärke), wobei 1kW=1,36 PS bzw. 1 PS = 0,735 kW

\(P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{E}{t}\)

Der Mensch kann eine Dauerleistung von 100 W erbringen, das entspricht der Leistungsaufnahme einer leistungsstarken Glühbirne im Haushalt.

Watt W

Watt W ist die Einheit der Leistung P. Das Watt ist ein Maß für die Änderung von Energie bzw. Arbeit pro Zeitintervall.

\(1 \cdot W = 1 \cdot \dfrac{J}{s} = 1 \cdot V \cdot A\)

\({\text{Einheit: }}1W = 1\dfrac{J}{s} = 1N \cdot \dfrac{m}{s} = 1\dfrac{{kg \cdot {m^2}}}{{{s^3}}}\)

Impuls

Der Impuls – umgangssprachlich auch „Wucht“ genannt – verknüpft die beiden Faktoren Masse und Geschwindigkeit.

\(\overrightarrow p = m \cdot \overrightarrow v\)

\({\text{Impuls = Masse }} \cdot {\text{ Geschwindigkeit}}\)

\({\text{Einheit = }}1Ns = 1kg \cdot \dfrac{m}{s}\)

Impulserhaltungssatz

In einem (von äußeren Kräften) abgeschlossenen System ist die Summe der Impulsvektoren vor und nach einer Wechselwirkung gleich. Der Impulserhaltungssatz gilt dabei für jede Richtung des Impulsvektors (x, y, z-Achse) separat.

\(\sum\limits_{i = 1}^n {\overrightarrow {{p_i}} } = konst.\)

Mechanischer Wirkungsgrad

Der mechanische Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe die zwischen 0 und 1 liegt. Er gibt das Verhältnis von abgegebener bzw. nutzbarer Leistung zur zugeführten Leistung an. Neben dem mechanischen Wirkungsgrad haben elektrische Maschinen noch einen elektrischen Wirkungsgrad zufolge Eisen- und Kupferverlusten.

\(\eta = \dfrac{{{P_{{\text{Nutz}}}}}}{{{P_{{\text{Zugef}}{\text{.}}}}}} = \dfrac{{{E_{{\text{Nutz}}}}}}{{{E_{{\text{Zugef}}{\text{.}}}}}}\)

Perpetuum Mobile erster Art

Ein Perpetuum Mobile erster Art wäre eine Maschine, die einen Wirkungsgrad größer 1 hat. Das widerspricht aber dem Energieerhaltungssatz, da mehr Energie abgegeben als aufgenommen werden würde.