Differentialrechnung

Gängige Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)

Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)

Lineare Funktion differenzieren

Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)

Potenzfunktionen differenzieren

Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)

Polynom differenzieren

Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)

siehe auch: Kettenregel

Potenzfunktion steht im Nenner

Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)

Wurzelfunktionen differenzieren

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.

Quadratwurzel

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)

n-te Wurzel

\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)

Quadratwurzel im Nenner

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)

Exponentialfunktionen differenzieren

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.

\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)

Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)

Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a

Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)

Logarithmusfunktionen differenzieren

Natürlicher Logarithmus

Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)

Logarithmus von x zur Basis a

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)

Logarithmus mit Klammer im Numerus

Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.

\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)

Winkelfunktionen differenzieren

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.

Sinus differenzieren

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)

Kosinus differenzieren

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)

Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:

Tangens differenzieren

Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)

Kotangens differenzieren

Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin²x) errechnen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von gewöhnlichen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von einer Variablen abhängt, die in der Funktionsgleichung der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommt. Die Funktion y=y(x) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung, wenn y=y(x) und ihre Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllen.

Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung

• Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter, deren Ursprung Integrationskonstanten sind
• Die partikuläre oder spezielle Lösung wird aus der allgemeinen Lösung durch die Anwendung zusätzlicher Bedingungen (Anfangsbedingung, Randwertbedingung) gewonnen , wobei man den n Parametern feste Werte zuweist.

Allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung

In einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung kommen y und y‘ vor, sowie die beiden beliebigen Funktionen a(x) und b(x)

\(y' + a\left( x \right) \cdot y = b\left( x \right)\)

• Beispiel einer expliziten DGL 1. Ordnung
  • \(y' = \sin \left( x \right)\)
• Beispiel einer impliziten DGL 1. Ordnung:
  • \(x - yy' = 0\)
  • \(\mathop { s }\limits^{ \cdot \cdot } =-g\)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der a(x)=x, also ein konstanter Koeffizient ist.

\(\eqalign{ & y' + a \cdot y = s\left( x \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R},{\text{ }}y = y\left( x \right) \cr & y = {y_h} + {y_p} \cr} \)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der man die Variablen "y" auf der einen Seite und die Variablen „x“ auf der anderen Seite einer Differentialgleichung anschreiben kann. Man spricht auch von einer separablen Differentialgleichung.

\(\eqalign{ & y' = \dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx \cr & \int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr} \)

Vorgehen zur Lösung von Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ \(y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right)\)

• 1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen: \(\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx\)
• 2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung: \(\int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C\)
• 3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ \(G\left( y \right) = F\left( x \right)\) nach der Variablen „y“.

Ableitungsregeln

Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.

Konstanten- oder Faktorregel

Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)

Summen- bzw. Differenzenregel

Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)

Produktregel beim Differenzieren

Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)

Quotientenregel beim Differenzieren

Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.

Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"

\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Reziprokenregel

Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f²(x) zu bilden ist.

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)

Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.

\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Kettenregel beim Differenzieren

Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Allgemeine Kettenregel

Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Partielle Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von partiellen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von mehreren Variablen abhängt und in der Funktionsgleichung Ableitungen der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommen.

Funktionen, die von mehr als einer unabhängigen Variablen abhängen, beschreiben bei zwei unabhängigen Variablen Flächen im Raum. Derartige Funktionen kann man differenzieren, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.

Partielle Ableitungen benötigt man zur Bestimmung von Extremwerten im Raum, zur Aufstellung von Taylorreihen und wenn man mit impliziten Funktionen arbeiten muss.

\(z = f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach x:
\({z_x} = \dfrac{\partial }{{\partial x}}f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach y:
\({z_y} = \dfrac{\partial }{{\partial y}}f\left( {x;y} \right)\)

Spezielle Ableitungsfunktionen

Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x₀ der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x₀. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.

Trigonometrische Winkelfunktionen differenzieren

Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen bei den "Grundlegenden Ableitungsfunktionen" angeführt.

Arkusfunktionen differenzieren

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.

arcsin differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Sinus arcsin ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin \,\,x \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)

arccos differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kosinus arccos ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)

arctan differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Tangens arctan ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan \,\,x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

arccot differenzieren

Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kotangens arccot ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

Hyperbolische Funktionen differenzieren

Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen e^x und e^-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.

sinh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Sinus Hyperbolicus sinh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)

cosh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kosinus Hyperbolicus cosh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)

tanh differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Tangens Hyperbolicus tanh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = 1 - {\tanh ^2}x \cr} \)

coth differenzieren

Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kotangens Hyperbolicus coth ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 - {\coth ^2}x \cr} \)

Areafunktionen differenzieren

Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolsichen Funktionen.

arsinh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areasinus Hyperbolicus arsinh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} \left( x \right) = {\sinh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) \cr & \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\text{ mit - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)

arcosh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} \left( x \right) = {\cosh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{\text{ mit x > 1}} \cr} \)

artanh differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areatangens Hyperbolicus artanh ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} \left( x \right) = {\tanh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| < 1 \cr} \)

acoth differenzieren

Die Ableitung der Funktion Areakotangens Hyperbolicus acoth ergibt sich wie folgt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} \left( x \right) = {\coth ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| > 1 \cr} \)

Anmerkung: Hier liegt keinTippfehler vor, die abgeleitete Funktionsvorschrift vom acoth ist mit jener vom artanh gleich, aber es gilt ein anderer Definitionsbereich.

Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden

Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x₀ bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.

\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Differential

Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.

\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)

Intervallweise differenzierbare Funktion

Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.

\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)

Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.

Stetigkeit einer Funktion

Eine Funktion ist an der Stelle x₀ dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion. 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.

Definition der Ableitung

Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x₀ ihrer Definitionsmenge D_f ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar. 

Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.

Weierstraß Funktion

Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:

\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)

Erste Ableitung einer Funktion

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)

Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:

• Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x₀ steigend. Die Tangente in x₀ verläuft von links unten nach rechts oben.
• Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ horizontal. Die Tangente in x₀ hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
• Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x₀ fallend. Die Tangente in x₀ verläuft von links oben nach rechts unten

Zweite Ableitung einer Funktion

Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x₀  wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

Links gekrümmter Graph, lokales Minimum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x₀linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.

Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum

Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x₀rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss. 

Dritte Ableitung einer Funktion

Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.

Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.

Höhere Ableitungen

Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".

\(y = f\left( x \right)\)

\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)

\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)

\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)

Lineare Optimierung

Einfache Minimum-, Maximumaufgaben

Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. Muss man lediglich 2 Variablen, die noch dazu „nur“ linear (also zur 1. Potenz) vorliegen, mit in die Suche einbeziehen, dann bestimmt man zunächst die Durchschnittsmenge und sucht anschließen daraus die optimale Lösung.

Zielfunktion: Die Zielfunktion fasst die zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der für die Optimierung maßgeblichen Variablen zusammen.

Nebenbedingung: Nebenbedingungen sind Bedingung für die Variablen, welche die allgemeine Lösungen der Optimierungsaufgabe auf einen kleineren Lösungsbereich einschränken.

Extremwertaufgaben bzw. Optimierung mittels Differentialrechnung

Bei Extremwertaufgaben geht es um die Beantwortung einer Aufgabenstellung vom Typ "finde Minimum" oder "finde Maximum", wobei die Aufgabenstellung als Zielfunktion formuliert wird, unter der Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Für die Lösung solcher Aufgaben bewährt sich folgendes Vorgehen:

• Skizze mit allen Variablen und Beschriftungen
• Zielfunktion aufstellen, indem der Zusammenhang zwischen der Variable die „minimiert oder maximiert“ werden soll und den restlichen Variablen angeschrieben wird.
• Nebenbedingungen aufstellen, indem alle Zusammenhänge der Variablen angeschrieben werden
• In den Nebenbedingungen die Variable(n) „explizit“ machen, damit man sie in die Zielfunktion einsetzen kann und diese nur mehr von einer einzigen Variablen abhängig ist
• Durch differenzieren den Extremwert der Zielfunktion bestimmen

Grafisches Differenzieren

Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt

Merkhilfe: NEW-Regel

N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle

Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren

Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen

Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen

Graph mit Hochpunkt

Graph mit Tiefpunkt

Graph mit Wendepunkt

Graph mit Sattelpunkt

Änderungsmaße

Um die Änderung von einem Wert in Bezug auf einen anderen Wert quantifizieren zu können, bedient man sich verschiedener Änderungsmaße. Man unterscheidet dabei zwischen Änderung und Änderungsrate

• Änderung: Beschreibt die Veränderung zwischen dem "vorher" und dem "nachher" Wert einer Größe
  • Absolute Änderung
  • Relative Änderung
  • Prozentuelle Änderung
• Änderungsrate: Beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe \(\Delta y\) zur Veränderung einer unabhängigen Größe \(\Delta x\)
  • Mittlere Änderungsrate
  • Momentane Änderungsrate

Absolute Änderung

Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus "oberem Wert" minus "unterem Wert" vom betrachteten Intervall. Sie hat - im Unterschied zur relativen bzw. prozentuellen Änderung - eine physikalische Einheit.

\(\begin{array}{l} \Delta y = {y_2} - {y_1}\\ \Delta {y_n} = {y_{n + 1}} - {y_n}\\ \Delta f = f\left( b \right) - f\left( a \right) \end{array}\)

Relative Änderung

Die relative Änderung entspricht der absoluten Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Die relative Änderung ist eine Dezimalzahl, die keine physikalische Einheit hat.

\(\begin{array}{l} \dfrac{{\Delta y}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{y1}}\\ \dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\\ \dfrac{{\Delta f}}{{{f_a}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} \end{array}\)

Prozentuelle Änderung

Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%. Die prozentuale Änderung ist daher eine relative Änderung in Prozentschreibweise ohne physikalische Einheit. Der Grundwert y₁ ist zugleich der 100% Wert. Die prozentuale Änderung beschreibt in Prozent, um wie viel sich ein gegebener Grundwert verändert, also erhöht oder verringert, hat.

\(p = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{y_1}}} \cdot 100\% \)

Beispiel:

Datenquelle:
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…

• durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2000: 8.011.566 EW
• durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2019: 8.877.637 EW

absolute Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:

\(E{W_{2019}} - E{W_{2000}} = 8.877.637{\text{ EW}} - 8.011.566{\text{ EW}} = 866.071{\text{ EW}}\)

→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 866.071 Einwohner gestiegen

relative Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:

\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} = \dfrac{{8.877.637 - 8.011.566}}{{8.011.566}} = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} = 0,1081\)

→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum auf das 1,1081 fache gestiegen

prozentuale Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:

\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} \cdot 100\% = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} \cdot 100\% = 10,81\% \)

→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 10,81 % gestiegen

Differenzengleichungen

Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Bildungsvorschrift für eine Zahlenfolge. Mit Hilfe der Differenzengleichung kann man aus der n-ten Zahl x_n der Folge die darauf folgende n+1 Zahl x_n+1 der Folge ermitteln. x₀ ist der Startwert der Folge. n muss eine natürliche Zahl (1,2,3…) sein

Die lineare Differenzengleichung entspricht einer arithmetischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Betrag k.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \pm k........{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = \pm k......{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)

Beispiel Startwert 100, je Zeitintervall kommen 5 Einheiten dazu
\(\eqalign{ & {a_0} = 100 \cr & {a_1} = {a_0} + k = 100 + 5 = 105 \cr & {a_2} = {a_1} + k = 105 + 5 = 110 \cr} \)

Die exponentielle Differenzengleichung entspricht einer geometrischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Prozentsatz bzw. ein gleicher relativer Anteil.

\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q{\text{ mit q}} = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}{\text{ = 1}} \pm \dfrac{p}{{100}}.....{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = {a_n} \cdot \left( {q - 1} \right)..........{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)

Beispiel: Startwert 100, sinkt je Zeitintervall um 5%
\(\eqalign{ & {a_0} = 100\,\,\,\,\,\,\,\,5\% \buildrel \wedge \over = 1 - \frac{5}{{100}} = 0,95 \cr & {a_1} = 100 \cdot 0,95 = 95 \cr & {a_2} = 95 \cdot 0,95 = 90,25 \cr} \)

Mittlere Änderungsrate bzw. Differenzenquotient

Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an und entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte am Graph der Funktion \(f\). Die mittlere Änderungsrate errechnet sich aus dem Quotienten von der Differenz der Funktionswerte (f(b), f(a))  zur Differenz der Argumente (b, a).

\(\begin{array}{l} {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\\ {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \end{array}\)

\(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}};\)

Während eine lineare Funktion (deren Graph eine Gerade ist) eine konstante Steigung k besitzt, hat eine Funktion höheren Grades (deren Graph eine "Kurve" ist) eine Steigung, die vom jeweiligen Punkt auf dem Graphen abhängt.

Der Differenzenquotient ermöglicht es, die Steigung einer nicht linearen Funktion für einen bestimmten Abschnitt, der durch 2 Punkte \({f\left( {{x_0}} \right)}\) und \({f\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}\) auf dem Graphen definiert ist, zu berechnen. Dabei entspricht die jeweilige Steigung der Funktion der zugehörigen Steigung der Geraden (=Sekante) durch die beiden Punkte. Man spricht auch von der "mittleren Anstiegsrate"

Der Differenzenquotient ist leider nur eine Näherung für die Steigung der Funktion. Erst der Differentialquotient (als Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\vartriangle x \to 0\)) liefert dann eine exakte Berechnung, bei der die Sekante in eine Tangente übergeht, da der Abstand zwischen den beiden Punkten gegen Null geht.

Momentane Änderungsrate bzw. Differentialquotient

Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x₀ an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion \(f\) . Er errechnet sich aus der 1. Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\). Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert (Limes) vom Differenzenquotient.

\(\eqalign{ & f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}} \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}} \cr}\)

Grafisch lässt sich Differenzierbarkeit so deuten, dass an den Graphen der Funktion f(x) an jeder Stelle genau (!) eine Tangente existiert.