Beschreibende Statistik - Streumaße

Standardabweichung einer Vollerhebung und weil man daher den wahren Mittelwert kennt → \(\dfrac{1}{n}\)
Die (empirische) Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Erwartungswert streuen. Je kleiner die Standardabweichung ist, um so besser repräsentiert der Erwartungswert die einzelnen Messwerte.

• Betrachten wir einen extremen Fall: Sind alle einzelnen Messwerte gleich, dann ist die Standardabweichung null, weil dann alle Messwerte zu ihrem Erwartungswert gleich sind.
• Die Standardabweichung ist immer größer gleich Null.
• \(\sigma\) ist die übliche Bezeichnung wenn es sich um die Standardabweichung der Grundgesamtheit handelt.
• s ist die übliche Bezeichnung wenn die Standardabweichung aus einer Stichprobe ermittelt wurde.

\(\eqalign{ & s = \sqrt {{s^2}} = \sigma = \sqrt {{\sigma ^2}} = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ...{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}} \cr & s=\sigma = \sqrt {\dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}\,\,} } \cr}\)

\(s=\sigma = \sqrt {Var\left( X \right)} \)

• Der Vorteil der Standardabweichung gegenüber der Varianz ist, dass nicht Quadrate der Einheiten (zB Euro²) sondern die eigentlichen Einheiten der gemessenen Werte (zB Euro) verwendet werden.
• Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Standardabweichung und Varianz sind direkt proportional zu einander
• Werden sogenannte "Ausreißer" mit einbezogen, dann steigt die Standardabweichung stark an. Die Standardabweichung gewichtet stärkere Abweichungen eines gemessenen Werts höher als schwächere Abweichungen. Liegt nämlich ein Messwert doppelt so weit vom Erwartungswert entfernt, geht der zugehörige Summand in die Standardabweichung s bzw. \(\sigma\) quadratisch (also 4-mal so groß) ein, in die mittlere lineare Abweichung e hingegen nur doppelt so groß (2-mal so groß).

Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n. Weil nur eine Stichprobe vorliegt, kennt man den wahren Mittelwert nicht → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\({s} = \sqrt {\dfrac{1}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}\,\,} } \)

Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n bei gegebener absoluter Häufigkeit n₁, .., n_k → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\(s = \sqrt {\dfrac{1}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {{n_k} \cdot {{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} } \)

Standardabweichung einer Stichprobe vom Umfang n bei gegebener relativer Häufigkeit h₁,..., h_k → \(\dfrac{1}{{n - 1}}\)
\(s = \sqrt {\dfrac{n}{{n - 1}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {{h_k} \cdot {{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} } \)