Kombinatorik

Fakultät

Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine Fakultät. Die Fakultät ist das Produkt aller natürlichen Zahlen größer als Null, die kleiner oder gleich der jeweiligen natürlichen Zahl sind, von der die Fakultät bestimmt werden soll. "n!" oder „n Faktorielle“ oder “n Fakultät“ sind entsprechende vereinfachte Schreibweisen für Fakultät. F

\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n = \prod\limits_{i = 1}^n k \) mit \(n \in {\Bbb N}\)

Rechenregeln zur Fakultät

\(\eqalign{ & \left( {n + 1} \right)! = n! \cdot \left( {n + 1} \right) \Rightarrow n! = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{n + 1}} \cr & 0! = \dfrac{{\left( {0 + 1} \right)!}}{{0 + 1}} = \dfrac{1}{1} = 1 \cr & 1! = \dfrac{{\left( {1 + 1} \right)!}}{{1 + 1}} = \dfrac{{2!}}{2} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{2} = 1 \cr} \)

\(\eqalign{ & 0! = 1 \cr & 1! = 1 \cr & 2! = 1 \cdot 2 = 2 \cr & 3! = \left( {1 \cdot 2} \right) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6 \cr & 4! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3} \right) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \cr & 5! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \right) \cdot 5 = 24 \cdot 4 = 120 \cr & 6! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} \right) \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720 \cr & 7! = \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \right) \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040 \cr} \)

Fakultät in der Kombinatorik

• Permutation: Die Fakultät n! gibt die Anzahl der möglichen unterschiedlichen Reihenfolgen an, die n Elemente einer Menge anzuordnen.
• Binomialkoeffizient: Mit Hilfe der Fakultät kann der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}\) berechnet werden, der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge mit n Elementen zu ziehen.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen.

\(\eqalign{ & \left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right) = {{n!} \over {k!(n - k)!}} = \left( {\matrix{ n \cr {n - k} \cr } } \right); \cr & \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right) = 1; \cr & \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right) = n; \cr & \left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right) + \left( {\matrix{ n \cr {k + 1} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {n + 1} \cr {k + 1} \cr } } \right); \cr}\)

\(n,k \in {\Bbb N};\)

Eingabe am Taschenrechner

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ 3 \end{array}} \right) = 9 + Shift + nCr + 3 = 84\)