Zuordnungen

Zuordnungen

Von einer Zuordnung spricht man, wenn ein Wert eindeutig einem anderen Wert zugeordnet wird. Ein Wert wird durch die Zuordungsvorschrift von einem anderen Wert abhängig.

Darstellungsformen für Zuordnungen

Zuordnungen können als Pfeile, als Wertetabellen, als Linien- oder Punktdiagramme in einem Koordinatensystem (auf der x-Achse der unabhängige Wert, auf der y-Achse der abhängige Wert) oder in Form einer mathematisch formulierten Zuordungsvorschrift (etwa als Funktion) abgebildet werden.

Proportionale Zuordnung

Von einer proportionalen, auch direkt proportionalen Zuordnung spricht man, der Quotient aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich, ist.

\(\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}{\text{ = konstant}}\)

Direkter Proportionalitätsfaktor

Ist der Quotient zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte direkt proportional. Der direkte Proportionalitätsfaktor ist der Quotient aus dem abhängigen y- und dem unabhängigen x-Wert.

\({\text{k = }}\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}\)

• Die Zahlenpaare x_i, y_i sind quotientengleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung proportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom x-Wert mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
• Proportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto mehr".
• Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert so verdoppelt bzw. halbiert sich auch der abhängige Wert.
• Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung.

Beispiel:
Stückzahl und Kosten

1 Wiener Schnitzel → 12 € Kosten
2 Wiener Schnitzel → 24 € Kosten
3 Wiener Schnitzel → 36 € Kosten

Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass ein Wiener Schnitzel 12 € kostet, und dass die n-fache Anzahl an Wiener Schnitzel den n-fachen Preis kosten. k=12

Antiproportionale Zuordnung

Von einer antiproportionalen, auch indirektproportionalen Zuordnung spricht man, wenn das Produkt aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich ist

\({\text{x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert = konstant}}\)

Indirekter Proportionalitätsfaktor

Ist das Produkt zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte indirekt proportional. Der indirekte Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus dem unabhängigen x und dem abhängigen y-Wert.

\({\text{k = x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert}}\)

• Die Zahlenpaare x_i, y_i sind produktgleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung antiproportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom 1/x-Wert (Kehrwert) mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
• Antiproportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto weniger".
• Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert, so halbiert bzw. verdoppelt sich der abhängige Wert.
• Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist ein Hyperbelast, welcher von oben unendlich nach rechts unendlich verläuft.

Beispiel:
Arbeiter und Dauer der Baustelle

1 Arbeiter → Dauer der Baustelle 12 Tage
2 Arbeiter → Dauer der Baustelle 6 Tage
3 Arbeiter → Dauer der Baustelle 4 Tage

Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass 1 Arbeiter 12 Tage benötigt und dass sich bei jedem weiteren Arbeiter die Baustellendauer halbiert. 0 Arbeiter werden jedoch nie fertig. k=12.