Logarithmieren

Logarithmen - Grundbegriffe

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Logarithmieren

Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist. Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.

\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)

Beispiel: Berechne x

\(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x{ = ^5}\log 125 = 3 \cr} \)

Äquivalente Schreibweisen für Logarithmen

\(^a\log {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}\left( b \right)\)

Zusammenhang zwischen den Exponentialfunktionen und den allgemeinen Logarithmusfunktionen

Logarithmen sind die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \ne 1\) bildet das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\)streng monoton auf das Intervall des Wertebereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) ab. Daher existiert eine Umkehrfunktion \(g\left( x \right)\) genannt Logarithmus zur Basis a, welche das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) auf das Intervall ihres Wertebereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\) stetig abbildet.

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Bezeichnungen beim Logarithmieren

Ein Logarithmus wird durch seine Basis a und seinen Numerus b bestimmt. Für die Basis a sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.

Praktischer Nutzen von Logarithmen

Logarithmen sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet. Sie ermöglichen

• große Zahlenbereiche mittels logarithmischer Skalen kompakt darzustellen
• einfache Lösungen für Gleichung mit Exponentialfunktionen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert
• Intensitäten und Verhältnisse, wie die Lautstärke, den pH-Wert, den Signal-zu-Rauschabstand anschaulich auszudrücken
• exponentielles Wachstum als linearen Anstieg darzustellen.
  \(\eqalign{ & y = a \cdot {e^{k \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( y \right) = \ln \left( a \right) + k \cdot t \cr} \)
  wobei a der Anfangswert und k die Wachstumsrate ist
• den Grad von Gleichungen zu senken (Potenzieren → Multiplizieren; Multiplizieren → Addieren). Diese Rechenerleichterung erlaubte vor der Erfindung des Computers eine dramatische Vereinfachung und Reduzierung von Rechenfehlern bei Berechnungen in der Astronomie und in der Navigation), erforderte aber den Einsatz von vorab erstellten, von der konkreten Aufgabenstellung unabhängigen, Logarithmustafeln bzw. eines Rechenschiebers.

Unterscheidung von Logarithmen nach deren Basis

Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen. Es ist aber üblich für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e, oder 2 zu wählen

Allgemeiner Logarithmus von b zur Basis a​

Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Diese Form vom Logarithmus ist zwar allgemein, hat aber kaum praktische Bedeutung im Vergleich um dekadischen und zum natürlichen Logarithmus.

\(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)

\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Den Zahlenwert vom allgemeinen Logarithmus, für den es keine Logarithmentafeln aber auch keine separate Taste am Taschenrechner gibt, kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert.

\(^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\lg b}}{{\lg a}} = \dfrac{{{\text{lb}}(b)}}{{{\text{lb}}(a)}}\)

Beispiel:

\({}^2\log16 = x;\)

... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:

\(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\lg 16}}{{\lg 2}} = \dfrac{{lb\left( {16} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = 4\)

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus hat die eulersche Zahl e=2,71828 als Basis.
Der Logarithmus naturalis ln(x) ist die Umkehrfunktion der eulerschen Funktion e^x. Beide Funktionen kommt in den Ingenieurwissenschaften auf Grund der Eulerschen Formel zentrale Bedeutung zu.

\({e^{j\varphi }} = \cos \left( \varphi \right) + i \cdot \sin \left( \varphi \right)\)

Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi \) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten j einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits.

\(\eqalign{ & {\text{Basis = e: }}{\log _e}\left( b \right) = \ln \left( b \right) \cr & {D_f} = {{\Bbb R}^ + } \cr & {W_f} = {\Bbb R} \cr & \ln \left( 0 \right){}...{\text {nicht definiert}} \cr & {\text{ln}}\left( 1 \right) = 0 \cr & \ln (e) = 1 \cr} \)

Dekadischer Logarithmus

Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis und da wir mit einem 10-er System rechnen, wurde er früher bevorzugt durch umfangreiche Logarithmentafeln unterstützt.

 \({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)

Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.

\({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)

Wichtige Werte:

\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 1 \right) = 0 \cr & {\log _{10}}\left( {10} \right) = 1 \cr & {\log _{10}}\left( {100} \right) = 2 \cr & {\log _{10}}\left( {1.000} \right) = 3 \cr} \)

Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus

Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718

\({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)

Binärer Logarithmus

Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.

\({\rm{Basis = 2: }}{{\rm{\;}}^2}\log b = {\rm{lb}}\left( b \right)\)

In der Informatik werden Daten in Form von Binärzahlen dargestellt, wobei jedes Bit entweder den Wert 0 oder 1 annehmen kann. Der binäre Logarithmus wird verwendet, um die Anzahl der Bits zu bestimmen, die benötigt werden, um einen bestimmten maximalen dezimalen Zahlenbereich binär darzustellen. Zum Beispiel benötigt die Darstellung vom dezimalen Zahlenbereich 0 .. 255, also 256 verschiedene Zustände, 8 Bit. 

Beipiel

\({\text{lb}}(256) = 8\)

Logarithmentafeln

Logarithmentafeln waren vor der Verbreitung von Computer Algebra Systemen (CAS) ein wichtiges Werkzeug der Mathematik und der Naturwissenschaften. Dabei handelt es sich um vorab berechnete Tabellen, welche die Werte von Logarithmen, vorzugsweise von dekadischen oder natürlichen Logarithmen, für verschiedene Zahlen enthalten.

Indem man in diesen Tabellen den Wert von x sucht, kann man den entsprechenden Logarithmus lg(x) bzw. ln(x) ablesen und umgekehrt.

Beispiel: Führe 81*243 auf eine Addition zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel

\(\eqalign{ & x = 81 \cdot 243\,\,\,\left| {\log } \right. \cr & \log x = \log \left( {81 \cdot 243} \right) = \log \left( {81} \right) + \log \left( {243} \right) \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & \log \left( {81} \right) \approx 4,394449 \cr & \log \left( {243} \right) \approx 5,493061 \cr & \cr & \log x \approx 4,394449 + 5,493061 \approx 9,88751 \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & {\text{9}}{\text{,88751 = log(19683) = log(x)}} \cr & \cr & {\text{x = 19683}} \cr} \)

Logarithmen erleichterten komplexe Berechnungen, insbesondere bei Multiplikationen, Divisionen, Potenzierung und beim Wurzelziehen, so wie sie in der Astronomie und der Navigation häufig vorkommen. Heute erledigen CAS diese Aufgabe.

Logarithmische Skala

Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.

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Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.

\(\begin{gathered} {10^0} = 1 \hfill \\ {10^1} = 10 \hfill \\ {10^2} = 100 \hfill \\ ... \hfill \\ {10^7} = 10.000.000 \hfill \\ \end{gathered} \)

Beispiele für logarithmische Skalen:

• Lautstärken misst man in Dezibel, wobei der leiseste hörbare Ton mit 0dB definiert ist. Ein 10-mal größerer Schalldruck ist mit 10dB definiert und ein 100-mal größerer Schalldruck ist mit 20 dB definiert....
• Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 10⁰ Hz bis 10²³ Hz. 
• Aktienkurse, die alle 10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
• Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.

Logarithmen - Rechenregeln

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Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen

\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)

Logarithmus eines Quotienten

Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.

\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)

Logarithmus einer Potenz

Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von u^r auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.

\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

Logarithmus einer Wurzel

Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück

\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)

Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist

Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.

\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)

Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:

\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)

Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen

1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen

Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

\({3^x} = 5\)

Berechne x

Lösungsweg

\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)

Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten

\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)

mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

ergibt sich:

\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)

2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen

Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:

\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)

Berechne x

Lösungsweg:

\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)

Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten

\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)

mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)

ergibt sich:

\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)

Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:

\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)

wir heben x heraus:

\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)

und machen x explizit:

\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)

Probe:

Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)

Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)

wzbw.