Vektoranalysis
Die Vektoranalysis verbindet die Vektorrechnung mit der Analysis, speziell mit der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung).
In der Physik spricht man in diesem Zusammenhang oft von Skalar- oder Vektorfeldern, in der Mathematik von Skalar- oder Vektorfunktionen.
Beachte: f steht für ein Skalarfeld und \(\overrightarrow v\)steht für ein Vektorfeld!
Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird. Die Maxwellschen Gleichungen, in Integral- und Differentialform, zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes sind fundamentale Anwendungsgebiete der Vektoranalysis in der physikalischen Praxis.
Die Felder der vier fundamentalen Wechselwirkungen, die beschreiben wie physikalische Objekte einander beeinflussen können und der Higgs-Mechanismus, der beschreibt wie Teilchen ihre Masse erhalten, kann man nach ihrem Rang wie folgt unterscheiden:
- Skalarfeld (Tensor vom Rang 0)
- Vektorfelder (Tensor vom Rang 1)
- Elektromagnetisches Feld
- Feld der schwachen Wechselwirkung
- Feld der starken Wechselwirkung
- Tensorfeld (Tensor vom Rang >1)
Differentialoperator Nabla
Der Nabla Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er muss auf ein Skalar f oder einen Vektor \(\overrightarrow v\) angewendet werden.
\(\overrightarrow \nabla = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right)\)
Mit Hilfe vom Differentialoperator Nabla ist es möglich die Operatoren grad, div und rot in einer einheitlichen Form anzuschreiben. grad, div und rot sind unterschiedliche Arten der Differentiation im Zusammenhang mit der Vektorrechnung
\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm grad}\nolimits} f = \nabla f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \cdot \overrightarrow v \\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \times \overrightarrow v \end{array}\)
Laplace Operator
Der Laplace Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators oder anders gesagt, der zweiten partiellen Ableitung der ortsabhängigen Funktion.
\(\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{ Laplace Operator}}\)
\(\Delta = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)
- Wendet man den Laplace Operator auf ein Vektorfeld an, ist das Resultat wieder ein Vektor
- Wendet man den Laplace Operator auf ein Skalarfeld an, ist das Resultat wieder ein Skalar
\({\nabla ^2}f = \Delta f = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right) = \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\)
- Skalarfelder \(f\left( {x,y,z} \right)\) die der Laplacegleichung \(\Delta f = 0\) genügen, sind quellen- und wirbelfrei
wegen
\(\begin{array}{l} \overrightarrow F = {\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = \Delta f = 0\\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm rot}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = 0 \end{array}\)
D’Alembert-Operator - Quabla - Wellenoperator
Der d’Alembert Operator ist ein linearer Differentialoperator der zweiten Ordnung. Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4 dimensionalen Minkowski Raum dar und findet daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung.
\(\square = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \Delta = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {x^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {y^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {z^2}}};\)
wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit
4 dimensionaler Minkowski Raum bzw Raum-Zeit Kontinuum
Raum-Zeit Kontinuum bei dem die drei räumliche Koordinaten jene des euklidischen Raums sind und die 4. Koordinate für die Zeit steht.