Die Vektoranalysis verbindet die Vektorrechnung mit der Analysis, speziell mit der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung). In der Physik spricht man in diesem Zusammenhang oft von Skalar- oder Vektorfeldern, in der Mathematik von Skalar- oder Vektorfunktionen.
Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird. Die Maxwellschen Gleichungen, in Integral- und Differentialform, zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes sind fundamentale Anwendungsgebiete der Vektoranalysis in der physikalischen Praxis.
Die Felder der vier fundamentalen Wechselwirkungen, die beschreiben wie physikalische Objekte einander beeinflussen können und der Higgs-Mechanismus, der beschreibt wie Teilchen ihre Masse erhalten, kann man nach ihrem Rang wie folgt unterscheiden:
Der Nabla Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er muss auf ein Skalar f oder einen Vektor \(\overrightarrow v\) angewendet werden.
\(\overrightarrow \nabla = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right)\)
Mit Hilfe vom Differentialoperator Nabla ist es möglich die Operatoren grad, div und rot in einer einheitlichen Form anzuschreiben. grad, div und rot sind unterschiedliche Arten der Differentiation im Zusammenhang mit der Vektorrechnung
\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm grad}\nolimits} f = \nabla f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \cdot \overrightarrow v \\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \times \overrightarrow v \end{array}\)
Der Laplace Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators oder anders gesagt, der zweiten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Skalarfeldes.
\(\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{ Laplace Operator}}\)
\(\Delta = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \overrightarrow F = {\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = \Delta f = 0\\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm rot}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = 0 \end{array}\)
Der d’Alembert Operator namens "Quabla" ist ein linearer Differentialoperator der zweiten Ordnung der Wellengleichung. Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4 dimensionalen Minkowski Raum dar und findet daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung.
\(\square = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \Delta = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {x^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {y^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {z^2}}};\)
wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit
Raum-Zeit Kontinuum bei dem die drei räumliche Koordinaten jene des euklidischen Raums sind und die 4. Koordinate für die Zeit steht.
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Wir verwenden folgende Schreibweise:
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert \({f_P} = f\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet. Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.
\(f = f\left( {x,y,z} \right)\)
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld f(x,y,z) nennt man Gradient.
Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes an. Das Resultat ist ein Vektorfeld. Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.
\(\operatorname{grad} f = \left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla f\)
\(\left| {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \)
Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist Null, was bedeutet, dass Skalarfelder wirbelfrei sind
\({\mathop{\rm rot}\nolimits} \,\, \times \,\,{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f = \nabla \times \left( {\nabla f} \right) = 0\)
In einem Vektorfeld wird jedem Punkt \(P\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) des vom Feld erfüllten Raums, ein bestimmter Vektor zugeordnet \(\overrightarrow {{v_P}} = \overrightarrow v \left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\)
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die elektrische oder magnetische Feldstärke.
Man kann sich ein Vektorfeld räumlich so vorstellen, als würde in jedem Punkt vom Zimmer in dem man sitzt, ein Vektor seinen Anfangspunkt haben. Jeder dieser unendlich vielen Vektoren würde in jene Richtung zeigen, in der sich die Temperatur im Raum am stärksten ändert. Die Länge von jedem der unendlich vielen Vektoren wäre ein Maß dafür, wie stark sich die Temperatur im jeweiligen Raumpunkt ändert. Was wir in den letzten drei Sätzen beschrieben haben, ist das "vektorielle Gradientenfeld vom skalaren Temperaturfeld".
Divergenz eines Vektorfeldes
Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Divergenz.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Das Resultat ist ein Skalarfeld. z.B.: Im Unterschied zu magnetischen Feldern sind elektrische Felder Quellenfelder, deren Quellen die positiven elektrischen Ladungen und deren Senken die negativen Ladungen sind.
\(div\overrightarrow v = \left( {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v \)
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob dort Feldlinien entstehen (Quelle) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) > 0\) oder verschwinden (Senke) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) < 0\) . Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung größer Null, da dort Feldlinien entstehen.
Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Rotation.
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat ist ebenfalls ein Vektorfeld.
\(rot\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right) = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v \)
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld \(\overrightarrow v\) in eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert.
Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist Null, was bedeutet, dass Wirbelfelder quellenfrei sind
\(div\,\,rot\overrightarrow v = \nabla \cdot \left( {\nabla \times \overrightarrow v } \right) = 0;\)
Der gaußsche Integralsatz erleichtert die Integration, da er ein Volumenintegral auf ein Oberflächenintegral zurückführt. Das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) ist gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) über eine geschlossene Oberfläche O. Das Volumenintegral steht dabei für die im Volumen enthaltenen Quellen oder Senken und das Oberflächenintegral steht für den Fluss des Vektorfeldes durch die geschlossene Oberfläche.
\(\eqalign{ & \iiint\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow v }\,\,dV = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_O {\overrightarrow v \,\,do} \cr & \int\limits_V {dv \cdot \nabla .... = \int\limits_O^{} {do...} } \cr}\)
Der stokessche Integralsatz erleichtert die Integration, indem er ein Oberflächenintegral auf ein Linienintegral zurückführt. Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) über eine beliebige Flache A ist gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) längs einer geschlossenen Linie s.
\(\eqalign{ & \iint\limits_o {\operatorname{rot} \overrightarrow v \cdot dA = \int\limits_s {\overrightarrow v \,\,ds} } \cr & \iint\limits_o {dA \times \nabla ... = }\int\limits_s {ds...} \cr}\)