Skalar- bzw. Vektorfelder
Wir verwenden folgende Schreibweise:
- f steht für ein Skalarfeld und
- \(\overrightarrow v\) steht für ein Vektorfeld!
Skalarfeld
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert \({f_P} = f\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet. Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.
\(f = f\left( {x,y,z} \right)\)
Illustration eines Skalarfeldes
Gradient eines Skalarfeldes
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld f(x,y,z) nennt man Gradient.
Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes an. Das Resultat ist ein Vektorfeld. Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.
\(\operatorname{grad} f = \left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla f\)
\(\left| {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \)
Illustration vom Gradienten eines Skalarfeldes
Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes
Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist Null, was bedeutet, dass Skalarfelder wirbelfrei sind
\({\mathop{\rm rot}\nolimits} \,\, \times \,\,{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f = \nabla \times \left( {\nabla f} \right) = 0\)
Vektorfeld
In einem Vektorfeld wird jedem Punkt \(P\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) des vom Feld erfüllten Raums, ein bestimmter Vektor zugeordnet \(\overrightarrow {{v_P}} = \overrightarrow v \left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\)
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die elektrische oder magnetische Feldstärke.
Man kann sich ein Vektorfeld räumlich so vorstellen, als würde in jedem Punkt vom Zimmer in dem man sitzt, ein Vektor seinen Anfangspunkt haben. Jeder dieser unendlich vielen Vektoren würde in jene Richtung zeigen, in der sich die Temperatur im Raum am stärksten ändert. Die Länge von jedem der unendlich vielen Vektoren wäre ein Maß dafür, wie stark sich die Temperatur im jeweiligen Raumpunkt ändert. Was wir in den letzten drei Sätzen beschrieben haben, ist das "vektorielle Gradientenfeld vom skalaren Temperaturfeld".
Illustration eines Vektorfeldes
Divergenz eines Vektorfeldes
Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Divergenz.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Das Resultat ist ein Skalarfeld. z.B.: Im Unterschied zu magnetischen Feldern sind elektrische Felder Quellenfelder, deren Quellen die positiven elektrischen Ladungen und deren Senken die negativen Ladungen sind.
\(div\overrightarrow v = \left( {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v \)
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob dort Feldlinien entstehen (Quelle) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) > 0\) oder verschwinden (Senke) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) < 0\) . Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung größer Null, da dort Feldlinien entstehen.
Rotation eines Vektorfeldes
Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Rotation.
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat ist ebenfalls ein Vektorfeld.
\(rot\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right) = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v \)
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld \(\overrightarrow v\) in eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert.
Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist Null
Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist Null, was bedeutet, dass Wirbelfelder quellenfrei sind
\(div\,\,rot\overrightarrow v = \nabla \cdot \left( {\nabla \times \overrightarrow v } \right) = 0;\)