Vektoranalysis

Vektoranalysis

Die Vektoranalysis verbindet die Vektorrechnung mit der Analysis, speziell mit der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung). In der Physik spricht man in diesem Zusammenhang oft von Skalar- oder Vektorfeldern, in der Mathematik von Skalar- oder Vektorfunktionen. 

Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird. Die Maxwellschen Gleichungen, in Integral- und Differentialform, zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes sind fundamentale Anwendungsgebiete der Vektoranalysis in der physikalischen Praxis.

Die Felder der vier fundamentalen Wechselwirkungen, die beschreiben wie physikalische Objekte einander beeinflussen können und der Higgs-Mechanismus, der beschreibt wie Teilchen ihre Masse erhalten, kann man nach ihrem Rang wie folgt unterscheiden:

• Skalarfeld (Tensor vom Rang 0)
  • Higgs Feld
• Vektorfelder (Tensor vom Rang 1)
  • Elektromagnetisches Feld
  • Feld der schwachen Wechselwirkung
  • Feld der starken Wechselwirkung
• Tensorfeld (Tensor vom Rang >1)
  • Gravitationsfeld

Differentialoperator Nabla

Der Nabla Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er muss auf ein Skalar f oder einen Vektor \(\overrightarrow v\) angewendet werden.

\(\overrightarrow \nabla = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right)\)

Mit Hilfe vom Differentialoperator Nabla ist es möglich die Operatoren grad, div und rot in einer einheitlichen Form anzuschreiben. grad, div und rot sind unterschiedliche Arten der Differentiation im Zusammenhang mit der Vektorrechnung
\(\begin{array}{l} {\mathop{\rm grad}\nolimits} f = \nabla f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \cdot \overrightarrow v \\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow v = \nabla \times \overrightarrow v \end{array}\)
 

Laplace Operator

Der Laplace Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators oder anders gesagt, der zweiten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Skalarfeldes.

\(\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{ Laplace Operator}}\)

\(\Delta = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)

• Wendet man den Laplace Operator auf ein Vektorfeld an, ist das Resultat wieder ein Vektor
• Wendet man den Laplace Operator auf ein Skalarfeld an, ist das Resultat wieder ein Skalar
  \({\nabla ^2}f = \Delta f = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right) = \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\)
  • Skalarfelder \(f\left( {x,y,z} \right)\) die der Laplacegleichung \(\Delta f = 0\) genügen, sind quellen- und wirbelfrei
    wegen

\(\begin{array}{l} \overrightarrow F = {\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = \Delta f = 0\\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm rot}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = 0 \end{array}\)

D’Alembert-Operator Quabla

Der d’Alembert Operator namens "Quabla" ist ein linearer Differentialoperator der zweiten Ordnung der Wellengleichung. Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4 dimensionalen Minkowski Raum dar und findet daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung.

\(\square = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \Delta = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {x^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {y^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {z^2}}};\)

wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit

4 dimensionaler Minkowski Raum bzw Raum-Zeit Kontinuum

Raum-Zeit Kontinuum bei dem die drei räumliche Koordinaten jene des euklidischen Raums sind und die 4. Koordinate für die Zeit steht.

Skalar- bzw. Vektorfelder

Wir verwenden folgende Schreibweise: 

• f steht für ein Skalarfeld und 
• \(\overrightarrow v\) steht für ein Vektorfeld!

Skalarfeld

In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert \({f_P} = f\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet. Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.

\(f = f\left( {x,y,z} \right)\)

Illustration eines Skalarfeldes

Gradient eines Skalarfeldes

Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld f(x,y,z) nennt man Gradient.

Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes an. Das Resultat ist ein Vektorfeld. Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.

\(\operatorname{grad} f = \left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}},\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla f\)

\(\left| {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial f}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \)

Illustration vom Gradienten eines Skalarfeldes

Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes

Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist Null, was bedeutet, dass Skalarfelder wirbelfrei sind

\({\mathop{\rm rot}\nolimits} \,\, \times \,\,{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f = \nabla \times \left( {\nabla f} \right) = 0\)

Vektorfeld

In einem Vektorfeld wird jedem Punkt \(P\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) des vom Feld erfüllten Raums, ein bestimmter Vektor zugeordnet \(\overrightarrow {{v_P}} = \overrightarrow v \left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\)

\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\)

Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die elektrische oder magnetische Feldstärke.
Man kann sich ein Vektorfeld räumlich so vorstellen, als würde in jedem Punkt vom Zimmer in dem man sitzt, ein Vektor seinen Anfangspunkt haben. Jeder dieser unendlich vielen Vektoren würde in jene Richtung zeigen, in der sich die Temperatur im Raum am stärksten ändert. Die Länge von jedem der unendlich vielen Vektoren wäre ein Maß dafür, wie stark sich die Temperatur im jeweiligen Raumpunkt ändert. Was wir in den letzten drei Sätzen beschrieben haben, ist das "vektorielle Gradientenfeld vom skalaren Temperaturfeld".

Illustration eines Vektorfeldes

Divergenz eines Vektorfeldes

Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Divergenz.

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Das Resultat ist ein Skalarfeld. z.B.: Im Unterschied zu magnetischen Feldern sind elektrische Felder Quellenfelder, deren Quellen die positiven elektrischen Ladungen und deren Senken die negativen Ladungen sind.

\(div\overrightarrow v = \left( {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v \)

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob dort Feldlinien entstehen (Quelle) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) > 0\) oder verschwinden (Senke) \(\operatorname{div} \overrightarrow v \left( x \right) < 0\) . Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung größer Null, da dort Feldlinien entstehen.

Rotation eines Vektorfeldes

Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v\) nennt man Rotation.

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat ist ebenfalls ein Vektorfeld.

\(rot\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right) = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v \)

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld \(\overrightarrow v\) in eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert.

Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist Null

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist Null, was bedeutet, dass Wirbelfelder quellenfrei sind

\(div\,\,rot\overrightarrow v = \nabla \cdot \left( {\nabla \times \overrightarrow v } \right) = 0;\)

Gaußscher Integralsatz

Der gaußsche Integralsatz erleichtert die Integration, da er ein Volumenintegral auf ein Oberflächenintegral zurückführt. Das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) ist gleich dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) über eine geschlossene Oberfläche O. Das Volumenintegral steht dabei für die im Volumen enthaltenen Quellen oder Senken und das Oberflächenintegral steht für den Fluss des Vektorfeldes durch die geschlossene Oberfläche.

\(\eqalign{ & \iiint\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow v }\,\,dV = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_O {\overrightarrow v \,\,do} \cr & \int\limits_V {dv \cdot \nabla .... = \int\limits_O^{} {do...} } \cr}\)

Stokesscher Integralsatz

Der stokessche Integralsatz erleichtert die Integration, indem er ein Oberflächenintegral auf ein Linienintegral zurückführt. Das Oberflächenintegral der Rotation eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) über eine beliebige Flache A ist gleich dem Linienintegral des Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) längs einer geschlossenen Linie s.

\(\eqalign{ & \iint\limits_o {\operatorname{rot} \overrightarrow v \cdot dA = \int\limits_s {\overrightarrow v \,\,ds} } \cr & \iint\limits_o {dA \times \nabla ... = }\int\limits_s {ds...} \cr}\)

• Der Wirbelfluss durch die Oberfläche eines räumlichen Bereichs ist gleich Null, da dabei die Randkurve s der geschlossenen Fläche auf einen Punkt zusammengezogen wird, verschwindet das zugehörige Linienintegral.
• Der Wirbelfluss des Vektorfeldes \(\overrightarrow v\) ist für alle Flächen die von der gleichen Randkurve s berandet werden gleich groß, d.h. unabhängig von der Gestalt der Fläche.