Vektoranalysis

Laplace Operator
Der Laplace Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat allein stehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators oder anders gesagt, der zweiten partiellen Ableitung der ortsabhängigen Funktion.

\(\nabla \cdot \nabla = {\nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{ Laplace Operator}}\)

\(\Delta = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)
 

• Wendet man den Laplace Operator auf ein Vektorfeld an, ist das Resultat wieder ein Vektor
• Wendet man den Laplace Operator auf ein Skalarfeld an, ist das Resultat wieder ein Skalar
  \({\nabla ^2}f = \Delta f = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} f} \right) = \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\)
  • Skalarfelder \(f\left( {x,y,z} \right)\) die der Laplacegleichung \(\Delta f = 0\) genügen, sind quellen- und wirbelfrei
    wegen

\(\begin{array}{l} \overrightarrow F = {\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f\\ {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm div}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = \Delta f = 0\\ {\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow F = {\mathop{\rm rot}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm grad}\nolimits} \,\,f} \right) = 0 \end{array}\)