Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend
a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%.
sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\) kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
\(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-AchseExponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, dh. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Euler'schen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion . Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
\(0 < a < 1\) und \(c > 0\) : Exponentialfunktion bleibt monoton fallend\(0 < a < 1\) und \(c < 0\) : Exponentialfunktion wird monoton steigend\(a > 1\) und \(c > 1\) : Exponentialfunktion bliebt monoton steigend\(a > 1\) und \(c < 1\) : Exponentialfunktion wird monoton fallend
für dem Exponenten x gilt
sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\) kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
\(\left| x \right|\) : Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Funktion f
f(x) = Wenn(-4 < x < 4, (1 / 3)^x)
Funktion g
g(x) = Wenn(-4 < x < 4, (1 / 2)^x)
Funktion h
h(x) = Wenn(-4 < x < 4, 3^x)
Funktion i
i(x) = Wenn(-4 < x < 4, 2^x)
Funktion j
j(x) = 1^x
c=1
a=2
Text1 = “c=1
a=2”
c=1
a=2
Text1 = “c=1
a=2”
c=1
a=3
Text2 = “c=1
a=3”
c=1
a=3
Text2 = “c=1
a=3”
c=1
a=1/3
Text3 = “c=1
a=1/3”
c=1
a=1/3
Text3 = “c=1
a=1/3”
c=1
a=1/2
Text4 = “c=1
a=1/2”
c=1
a=1/2
Text4 = “c=1
a=1/2”
c=1
a=1
Text5 = “c=1
a=1”
c=1
a=1
Text5 = “c=1
a=1”
0 < a < 1
Text6 = “0 < a < 1”
a > 1
Text7 = “a > 1”
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org: Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
Regler a: Verändere die Basis
Regler c: Verändere den Faktor
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Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)