Prüfungsteil A - Analysis

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \left( {{x^3} - 8} \right) \cdot \left( {2 + \ln x} \right)\) mit maximalem Definitionsbereich D.

1. Teilaufgabe a) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie D an.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Nullstellen von f

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Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen

Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.

Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).

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Parameter von Funktionen

1. Teilaufgabe a) 1 BE - 140 Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter a an, sodass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {ax} \right)\) eine Nullstelle in \(x = \dfrac{\pi }{6}\)  hat.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie den Wert des Parameters b, sodass die Funktion \(g:x \mapsto \sqrt {{x^2} - b} \)  den maximalen Definitionsbereich \({\Bbb R}\backslash \left] { - 2;2} \right[\)  besitzt.

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie, dass die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(h:c \mapsto 4 - {e^x}\) den Wertebereich \(\left] { - \infty ;4} \right[\) besitzt.

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Newtonsches Näherungsverfahren

Die nachfolgende Abbildung 

zeigt den Graphen einer in \({\Bbb R}\) definierten differenzierbaren Funktion

\(g:x \mapsto g\left( x \right)\)

Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann.

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Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Gleichung von h an.

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Tangente an eine Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Funktion

\(g:x \mapsto \ln \left( {2x + 3} \right)\)

mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit G_g bezeichnet. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie D und W an.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G_g im Schnittpunkt von G_g mit der x-Achse.

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Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt. 

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.

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Schar an natürlichen Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen

\({f_a}:x \mapsto x \cdot {e^{ax}}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung von f_a an der Stelle x=2 den Wert 0 besitzt.

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Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Gleichung

\(\left( {4x - 3} \right) \cdot \ln \left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie für \(x \in {\Bbb R}\) Lösungen der Gleichung

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Eigenschaften einer Sinusfunktion

Gegeben ist die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {2x} \right)\).  

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Amplitude der Funktion f an.

2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Periode der Funktion f an.

3. Teilaufgabe a.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.

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Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \sqrt {1 - \ln x} \) mit maximaler Definitionsmenge D.

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie D.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie den Wert \(x \in D{\text{ mit }}f\left( x \right) = 2\)

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1. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass der Graph der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(g:x \mapsto {x^2} \cdot \sin x\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

2. Teilaufgabe a1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie den Wert des Integrals \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {{x^2} \cdot \sin x\,\,dx} \) an.