Grafisches Differenzieren

Die Regeln zum grafischen Differenzieren ermöglichen es aus dem Graph einer Funktion auf den Graph von deren Stammfunktion bzw. Ableitungsfunktion zu schließen

Hier findest du folgende Inhalte

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Wissenspfad

Grafisches Differenzieren

Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt

f hat Extremstelle (HP oder TP) f' hat NST  
f hat Wendepunkt f' hat Extremstelle (HP oder TP) f'' hat NST
f hat Sattelpunkt f' hat HP oder TP auf x-Achse f'' hat NST
f steigt streng monoton f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0  
f sinkt streng monoton f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0  
f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex f' ist steigend f'' > 0
f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav f' ist fallend f'' < 0

Merkhilfe: NEW-Regel

N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle

F(x) f(x) N E W    
f(x) f'(x)   N E W  
f'(x) f''(x)     N E W

Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren

Funktion f(x) Ableitung f‘(x) Ableitung f"(x)

f hat eineExtremstelle
d.h. f hat eine waagrechte Tangente d.h.k=0

 f‘ hat eine Nullstelle keine Aussage möglich

f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\).
Die Tangente im Wendepunkt hat k<0.

 f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt f" hat eine Nullstelle​

f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\).
Die Tangente im Wendepunkt hat k>0.

 f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt f" hat eine Nullstelle

f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\).
Die Tangente im Sattelpunkt hat k=0

 f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist f‘‘ hat eine Nullstelle

f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\).
Die Tangente im Wendepunkt hat k=0

f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist

 f‘‘ hat eine Nullstelle
f steigt streng monoton an d.h. k>0 f‘ liegt oberhalb der x-Achse​  
f sinkt streng monoton d.h. k<0 f‘ liegt unterhalb der x-Achse​  

f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion

 f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion
Die Steigung k der Tangente … … ist der Funktionswert der Ableitung  
  Die Steigung k der Tangente … … ist der Funktionswert der Ableitung

 

Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen

Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen

\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) ⇒ f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) ⇒ f(x0) ist streng monoton wachsend
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) ⇒ f(x0) ist streng monoton fallend
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) ⇒ f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) ⇒ f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) ⇒ f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) ⇒ f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) ⇒ f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) ⇒ f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat.
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) ⇒ f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0
Graph mit Hochpunkt

Funktion f f(x) = Wenn[0.1 < x < 11.5, 5 - (0.25x - 1.5)²] Strecke h Strecke h: Strecke [A, (6, 0)] Strecke g Strecke g: Strecke [(3.01, 5.03), (9.01, 5.03)] Punkt A Punkt A: Max[f, 0, 10] Punkt A Punkt A: Max[f, 0, 10] x_0 text1 = "x_0" x_0 text1 = "x_0" Hochpunkt bzw lokales Maximum text4 = "Hochpunkt bzw lokales Maximum" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0 text5 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)<0"

Graph mit Tiefpunkt

Funktion f f(x) = Wenn[0.1 < x < 11.5, 5 + (0.25x - 1.5)²] Strecke h Strecke h: Strecke [A, (6, 0)] Strecke g Strecke g: Strecke [(3.12, 4.97), (9.12, 4.97)] Punkt A Punkt A: Min[f, 0, 10] Punkt A Punkt A: Min[f, 0, 10] x_0 text1 = "x_0" x_0 text1 = "x_0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0 text3 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0) > 0" Tiefpunkt bzw lokales Minimum text4 = "Tiefpunkt bzw lokales Minimum"

Graph mit Wendepunkt

Funktion p p(x) = (-(x - 0.98)³) / 8 + 2 (x - 0.98) + 1.73 Strecke f Strecke f: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [A, (1.29, 0)] Punkt A Punkt A: Punkt auf p Punkt A Punkt A: Punkt auf p x_0 text1 = "x_0" x_0 text1 = "x_0" Wendepunkt text4 = "Wendepunkt" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 Text1 = "f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0"

Graph mit Sattelpunkt

Funktion j j(x) = Wenn[0.1 < x < 6.01, 5 - (0.25x - 1.5)²] Funktion f f(x) = Wenn[6.01 < x < 11.5, 5 + (0.25x - 1.5)²] Strecke h Strecke h: Strecke [A, (6.01, 0)] Strecke i Strecke i: Strecke [(4, 5), (8, 5)] Punkt A Punkt A: Max[j, 0, 6.01] Punkt A Punkt A: Max[j, 0, 6.01] x_0 text1 = "x_0" x_0 text1 = "x_0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0 text2 = "f '(x_0)=0 f ''(x_0)=0 f '''(x_0)≠0" Wende- zugleich Sattelpunkt text4 = "Wende- zugleich Sattelpunkt"

Grafisches Differenzieren
Extremstelle
Lokales Minimum einer Funktion
Lokales Maximum einer Funktion
NEW-Regel
Hochpunkt einer Funktion
Tiefpunkt einer Funktion
Wendepunkt einer Funktion
Nullstelle einer Funktion
positive Krümmung
negative Krümmung
Sattelpunkt einer Funktion
Streng monoton wachsende Funktion
Streng monoton fallende Funktion
Punktsymmetrisch zum Ursprung
Gerade Funktion
Ungerade Funktion
oberhalb der x-Achse
unterhalb der x-Achse
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Waagrechte Tangente einer Funktion
Links gekrümmter Graph einer Funktion
Rechts gekrümmter Graph einer Funktion
Extremstellen einer Funktion
Stärkste Steigung einer Funktion

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Aufgabe 1549

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Grafisch differenzieren

Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f.
Funktion f Funktion f: f(x) = g(x) + 1.9 f(x) Text1 = “f(x)” x_1 Text2 = “x_1” x_1 Text2 = “x_1” x_2 Text3 = “x_2” x_2 Text3 = “x_2”

Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie in der gegebenen Grafik den Graphen der Ableitungsfunktion f′ im Intervall \(\left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) und markieren Sie gegebenenfalls die Nullstellen!

Grafisch differenzieren - 1549. Aufgabe 1_549
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.2
Grafisches Differenzieren

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Aufgabe 1013

AHS - 1_013 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lokale Extrema

Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E1 = (0|–4) und E2 = (4|0) bekannt.

  • Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = - 4\)
  • Aussage 2: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
  • Aussage 3: \(f\left( { - 4} \right) = 0\)
  • Aussage 4: \(f'\left( 4 \right) = 0\)
  • Aussage 5: \(f''\left( 0 \right) = 0\)

Aufgabenstellung:
Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang erfüllt sein? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.3
Polynomfunktion 3. Grades
Extremstelle
Lokale Extrema - 1013. Aufgabe 1_013
NEW-Regel
Grafisches Differenzieren
Lösungsweg

Aufgabe 1749

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graphen von Ableitungsfunktionen

Unten stehend sind die vier Graphen der Funktionen f1 bis f4 sowie die Graphen von sechs Funktionen (A bis F) abgebildet.

Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Graphen der Funktionen f1 bis f4 jeweils denjenigen Graphen (aus A bis F) zu, der die Ableitung dieser Funktion darstellt. [0 / 0,5 / 1 Punkt]

Graph f1:
Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, 1 / x²) Funktion g g(x) = Wenn(x < 0, 1 / (-x²)) f_1 Text1 = “f_1” f_1 Text1 = “f_1”

Graph f2:
Funktion f f(x) = -1 / x² f_2 Text1 = “f_2” f_2 Text1 = “f_2”

Graph f3:
Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, -1 / x²) + 1 f_3 Text1 = “f_3” f_3 Text1 = “f_3”

Graph f4:
Funktion f f(x) = Wenn(x < 1, 1 / (x - 1)²) f_4 Text1 = “f_4” f_4 Text1 = “f_4”

jeweils denjenigen Graphen (aus A bis F) zu, der die Ableitung dieser Funktion darstellt. [0 / 0,5 / 1 Punkt]

Ableitung f1':
Funktion f f(x) = Wenn(x < 1, 1 / (x - 1)²) f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

Ableitung f2':
Funktion f f(x) = 1 / x² f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

Ableitung f3':
Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, 1 / x²) Funktion g g(x) = Wenn(x < 0, 1 / (-x²)) f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

Ableitung f4':
Funktion f f(x) = -1 / x² f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

Ableitung f5':
Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, 1 / x²) - 1 f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

Ableitung f6':
Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, 1 / x²) f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'” f_i' Text1 = “f_i'”

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Graphen von Ableitungsfunktionen - 1749. Aufgabe 1_749
Grafisches Differenzieren
Exponentialfunktionen differenzieren
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Aufgabe 4211

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fressverhalten von Furchenwalen - Aufgabe A_288

Teil c

Die Funktion w beschreibt näherungsweise das gesamte Wasservolumen, das ein Furchenwal während eines Beutestoßes aufnimmt (siehe nachstehende Abbildung).

Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l2, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”

t ... Zeit seit Beginn der Wasseraufnahme in s
w(t) ... gesamtes aufgenommenes Wasservolumen bis zur Zeit t in m3

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion w‘ an
[1 Punkt]

  • Ableitungsfunktion 1:
    Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l1, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”
  • Ableitungsfunktion 2:
    Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l1, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”
  • Ableitungsfunktion 3:
    Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l1, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”
  • Ableitungsfunktion 4:
    Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l1, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”
  • Ableitungsfunktion 5:
    Funktion f Funktion f: f(x) = Wenn(0 < x < 6, TrendPoly(l1, 4)) w(t) in m³ Text1 = “w(t) in m³” t in s Text2 = “t in s”
Fressverhalten von Furchenwalen - Aufgabe A_288
Grafisches Differenzieren
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BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 4.5
Lösungsweg

Aufgabe 1008

AHS - 1_008 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktion und Stammfunktion

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.

Funktion f f(x) = 1.5(x - 0.1)² - 6 (x - 0.1) + 6 f Text2 = "f"

Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f in die Abbildung ein!

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Stammfunktion
Grafisches Differenzieren
Sattelpunkt einer Funktion
Funktion und Stammfunktion - 1008. Aufgabe 1_008

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Aufgabe 1033

AHS - 1_033 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktion - Ableitung

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f dargestellt.

Funktion f f(x) = -0.2(x + 1)² (x - 4) Strecke g Strecke g: Strecke [A, B] Strecke h Strecke h: Strecke [C, D] Strecke i Strecke i: Strecke [E, F] Strecke j Strecke j: Strecke [G, H] f' text1 = "f'" f' text1 = "f'" x_{1} text2 = "x_{1}" x_{1} text2 = "x_{1}" x_{2} text3 = "x_{2}" x_{2} text3 = "x_{2}" x_{3} text4 = "x_{3}" x_{3} text4 = "x_{3}" x_{4} text5 = "x_{4}" x_{4} text5 = "x_{4}" x_{5} text6 = "x_{5}" x_{5} text6 = "x_{5}" f'(x) text7 = "f'(x)" x text8 = "x"

  • Aussage 1: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' hat an der Stelle x5 eine horizontale Tangente.
  • Aussage 2: Es gibt eine Funktion f mit der Ableitungsfunktion f', deren Graph durch den Punkt P = (0|0) verläuft.
  • Aussage 3: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x1; x2] streng monoton fallend.
  • Aussage 4: Jede Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' ist im Intervall [x3; x4] streng monoton steigend.
  • Aussage 5: Die Funktionswerte f(x) jeder Funktion f mit der Ableitungsfunktion f' sind für x ∈ [x3; x5] stets positiv.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.2
Erste Ableitung einer Funktion
Funktion - Ableitung - 1033. Aufgabe 1_033
NEW-Regel
Grafisches Differenzieren
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Aufgabe 1750

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften einer Polynomfunktion

Es sei \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) eine Polynomfunktion und \(a,b \in {\Bbb R}{\text{ mit }}a < b\)

Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass jedenfalls eine korrekte Aussage entsteht. [0 / 1 Punkt]

Wenn für alle \(x \in \left( {a;b} \right)\) gilt ____1____ , dann ist die Funktion f im Intervall (a; b) ____2____

1
\(f\left( x \right) > 0\) A
\(f'\left( x \right) < 0\) B
\(f''\left( x \right) > 0\) C

2
streng monoton fallend a
rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt) b
streng monoton steigend c
Grafisches Differenzieren
Eigenschaften einer Polynomfunktion - 1750. Aufgabe 1_750
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.3
Lösungsweg

Aufgabe 1383

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graph einer Ableitungsfunktion

Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f dritten Grades, die den Wendepunkt W besitzt.

Funktion g g(x) = 1 / 8 ((-x³) / 3 + x² + 8x) - 0.25 Punkt W Punkt W: (1, g(1)) Punkt W Punkt W: (1, g(1)) f Text1 = "f" W Text3 = "W"

Aufgabenstellung:
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ′ in das Koordinatensystem!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.2
Grafisches Differenzieren
Graph einer Ableitungsfunktion - 1383. Aufgabe 1_383
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Aufgabe 1077

AHS - 1_077 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Graph der ersten Ableitungsfunktion

Gegeben ist der Graph der Funktion f.

Funktion f f(x) = -0.75x³ - 2.24x² - 0.02x + 1.94 f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)" f(x) Text1 = "f(x)"

Zum Weiterlesen bitte aufklappen:

  • Graph 1: Funktion f f(x) = -5 / 2 x (x - 2) f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"
  • Graph 2: Funktion f f(x) = -5 (x + 1) f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"
  • Graph 3: Funktion f f(x) = -1.23x⁴ - 7.36x³ - 14.49x² - 9.36x f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"
  • Graph 4: Funktion f f(x) = 0.95 (x - 0.9) (x + 2.6) f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"
  • Graph 5: Funktion f f(x) = 5 / 2 x (-x - 2) f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"
  • Graph 6: Funktion f f(x) = -5 / 2 x (-x - 2) f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)" f'(x) Text1 = "f'(x)"

Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f ? Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.2
NEW-Regel
Grafisches Differenzieren
Graph der ersten Ableitungsfunktion - 1077. Aufgabe 1_077

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Aufgabe 1358

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ableitung

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der 1. Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f dargestellt.

beispiel_1358_1

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie, an welchen Stellen die Funktion f im Intervall (–5; 5) jedenfalls lokale Extrema hat! Die für die Bestimmung relevanten Punkte mit ganzzahligen Koordinaten können der Abbildung entnommen werden.

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.2
Ableitung - 1358. Aufgabe 1_358
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Lösungsweg

Aufgabe 1675

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Veränderung eines Flüssigkeitsvolumens

Das in einem Gefäß enthaltene Flüssigkeitsvolumen V ändert sich im Laufe der Zeit t im Zeitintervall [t0; t4].

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion V′, die die momentane Änderungsrate des im Gefäß enthaltenen Flüssigkeitsvolumens in diesem Zeitintervall angibt.

beispiel_1675_1

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

  • Aussage 1: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß nimmt im Zeitintervall [t1; t3] ab.
  • Aussage 2: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t2 kleiner als zum Zeitpunkt t3.
  • Aussage 3: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß weist zum Zeitpunkt t3 die niedrigste momentane Änderungsrate auf.
  • Aussage 4: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zum Zeitpunkt t4 am größten.
  • Aussage 5: Das Flüssigkeitsvolumen im Gefäß ist zu den Zeitpunkten t2 und t4 gleich groß.
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 1.3
Veränderung eines Flüssigkeitsvolumens - 1675. Aufgabe 1_675
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Lösungsweg

Aufgabe 1677

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades

Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades f. Die Stellen x = –2 und x = 2 sind Extremstellen von f.

beispiel_1677_1

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

  • Aussage 1: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
  • Aussage 2: \(f''\left( 1 \right) > 0\)
  • Aussage 3: \(f'\left( { - 3} \right) < 0\)
  • Aussage 4: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
  • Aussage 5: \(f''\left( { - 2} \right) > 0\)
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AN 3.3
Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades - 1677. Aufgabe 1_677
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