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Pyramide und Pyramidenstumpf
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Pyramide
Eine Pyramide wird nach dem n-Eck benannt, welches die Grundfläche der Pyramide bildet. Jede Pyramide hat eine Spitze, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Normalabstand von der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.
- Ist die Grundfläche ein Dreieck, so handelt es sich um eine dreiseitige Pyramide.
- Ist die Grundfläche ein Viereck, so handelt es sich um eine vierseitige Pyramide
- Ist die Grundfläche ein n-Eck, so handelt es sich um eine n-seitige Pyramide
Illustration vom Netz einer dreiseitigen Pyramide
Das Netz einer dreiseitigen Pyramide erhält man, wenn man die drei Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche ABC dreht. Benachbarte Seitenflächen haben eine gemeinsame Kante (s1, s2, s3)
Die Illustration zeigt links die Pyramide von schräg oben betrachtet und rechts daneben das Netz der Pyramide
Regelmäßige Pyramide
Eine regelmäßige Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen.
Gerade Pyramide
Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein n-Eck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom n-Eck liegt
Regelmäßige gerade Pyramide
Eine regelmäßige gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom regelmäßigen n-Eck liegt
\(\eqalign{ & V = \dfrac{{G \cdot h}}{3} \cr & O = G + M \cr}\)
Illustration einer regelmäßigen 6-eckigen geraden Pyramide
Quadratische gerade Pyramide
Eine gerade quadratische Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Mantelfläche aus 4 gleichschenkeligen kongruenten Dreiecken besteht. Der Mittelpunkt der Grundfläche, ist zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h.
\(\eqalign{ & O = G + M = {a^2} + 4a\dfrac{{{h_a}}}{2} \cr & V = G\dfrac{h}{3} = {a^2}\dfrac{h}{3} \cr & h_a^2 = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {h^2}\,\,\,\,\,(PL) \cr & {s^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + h_a^2\,\,\,\,\,(PL) \cr}\)
Illustration einer quadratischen geraden Pyramide
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Bild
Pyramidenstumpf
Von jeder Seite der Grundfläche verläuft je eine dreieckige Fläche zur Spitze der Pyramide. Wird die Pyramide unterhalb der Spitze abgeschnitten so bleibt eine Pyramidenstumpf zurück. Aus den dreieckigen Teilen der Mantelfläche werden viereckige Teile. Die Deckfläche liegt der Grundfläche gegenüber und ist parallel zur Grundfläche.
| O | Oberfläche |
| G | Grundfläche |
| D | Deckfläche |
| M | Mantel |
Oberfläche vom Pyramidenstumpf
Die Oberfläche vom Pyramidenstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen. Für die Mantelfläche der schiefen Pyramide gibt es keine geschlossene Formel. Die Mantelfläche nimmt aber zu, je schiefer die Pyramide wird.
\(O = G + D + M\)
Volumen vom Pyramidenstumpf
Das Volumen vom Pyramidenstumpf, unter der Voraussetzung dass Grund- und Deckfläche parallel zu einander sind, kann durch folgende Formel berechnet werden, in die nur die Grund-, die Deckfläche und die Höhe eingehen. Die Höhe ist der Abstand der Deck- von der Grundfläche.
\(V = \dfrac{h}{3} \cdot (G + D + \sqrt {G \cdot D} )\)
Illustration vom Pyramidenstumpf