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Pyramide und Pyramidenstumpf

Hier findest du folgende Inhalte

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Formeln
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    Pyramide

    Eine Pyramide wird nach dem n-Eck benannt, welches die Grundfläche der Pyramide bildet. Jede Pyramide hat eine Spitze, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Normalabstand von der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.

    • Ist die Grundfläche ein Dreieck, so handelt es sich um eine dreiseitige Pyramide.
    • Ist die Grundfläche ein Viereck, so handelt es sich um eine vierseitige Pyramide
    • Ist die Grundfläche ein n-Eck, so handelt es sich um eine n-seitige Pyramide

    Illustration vom Netz einer dreiseitigen Pyramide

    Das Netz einer dreiseitigen Pyramide erhält man, wenn man die drei Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche ABC dreht. Benachbarte Seitenflächen haben eine gemeinsame Kante (s1, s2, s3)

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon E, G, F Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon G, H, E Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon G, I, F Dreieck d4 Dreieck d4: Polygon F, J, E Dreieck d5 Dreieck d5: Polygon K, L, M Dreieck d6 Dreieck d6: Polygon M, N, L Dreieck d7 Dreieck d7: Polygon M, N, K Dreieck d8 Dreieck d8: Polygon K, N, L Strecke f Strecke f: Strecke E, G Strecke e Strecke e: Strecke G, F Strecke g Strecke g: Strecke F, E Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke G, H Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke H, E Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke E, G Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke G, I Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke I, F Strecke i Strecke i: Strecke F, G Strecke e_2 Strecke e_2: Strecke F, J Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke J, E Strecke j Strecke j: Strecke E, F Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke K, L Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke L, M Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke M, K Strecke l_2 Strecke l_2: Strecke M, N Strecke m_2 Strecke m_2: Strecke N, L Strecke n Strecke n: Strecke L, M Strecke k_2 Strecke k_2: Strecke M, N Strecke m_3 Strecke m_3: Strecke N, K Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke K, M Strecke l_3 Strecke l_3: Strecke K, N Strecke k_3 Strecke k_3: Strecke N, L Strecke n_2 Strecke n_2: Strecke L, K Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von c, d Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von c, d Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von c, h Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von c, h Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von d, h Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von d, h Punkt N N = (-12.81, 6.72) Punkt N N = (-12.81, 6.72) c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” s_2 Text4 = “s_2” s_2 Text4 = “s_2” s_2 Text5 = “s_2” s_2 Text5 = “s_2” s_1 Text6 = “s_1” s_1 Text6 = “s_1” s_1 Text7 = “s_1” s_1 Text7 = “s_1” s_3 Text8 = “s_3” s_3 Text8 = “s_3” s_3 Text9 = “s_3” s_3 Text9 = “s_3” S Text10 = “S” S Text11 = “S” S Text12 = “S” A Text13 = “A” B A = “B” C Text14 = “C” A Text15 = “A” B Text16 = “B” C Text17 = “C” S Text18 = “S”

    Die Illustration zeigt links die Pyramide von schräg oben betrachtet und rechts daneben das Netz der Pyramide


    Regelmäßige Pyramide

    Eine regelmäßige Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen.


    Gerade Pyramide

    Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein n-Eck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom n-Eck liegt


    Regelmäßige gerade Pyramide

    Eine regelmäßige gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom regelmäßigen n-Eck liegt

    \(\eqalign{ & V = \dfrac{{G \cdot h}}{3} \cr & O = G + M \cr}\)


    Illustration einer regelmäßigen 6-eckigen geraden Pyramide

    Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [A, D] Strecke i Strecke i: Strecke [D, E] Strecke j Strecke j: Strecke [E, F] Strecke k Strecke k: Strecke [F, C] Strecke l Strecke l: Strecke [E, G] Strecke m Strecke m: Strecke [G, A] Strecke n Strecke n: Strecke [D, G] Strecke p Strecke p: Strecke [G, B] Strecke q Strecke q: Strecke [G, C] Strecke r Strecke r: Strecke [G, F] Strecke s Strecke s: Strecke [H, I] G text1 = "G" h text2 = "h" M Text1 = "M"


    Quadratische gerade Pyramide

    Eine gerade quadratische Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Mantelfläche aus 4 gleichschenkeligen kongruenten Dreiecken besteht. Der Mittelpunkt der Grundfläche, ist zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h.

    \(\eqalign{ & O = G + M = {a^2} + 4a\dfrac{{{h_a}}}{2} \cr & V = G\dfrac{h}{3} = {a^2}\dfrac{h}{3} \cr & h_a^2 = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {h^2}\,\,\,\,\,(PL) \cr & {s^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + h_a^2\,\,\,\,\,(PL) \cr}\)


    Illustration einer quadratischen geraden Pyramide

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon K, L, I Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon L, M, I Strecke f Strecke f: Strecke H, G Strecke g Strecke g: Strecke G, F Strecke h Strecke h: Strecke F, E Strecke i Strecke i: Strecke E, H Strecke j Strecke j: Strecke E, G Strecke k Strecke k: Strecke H, F Strecke l Strecke l: Strecke I, G Strecke m Strecke m: Strecke I, F Strecke n Strecke n: Strecke I, H Strecke p Strecke p: Strecke I, E Strecke q Strecke q: Strecke J, I Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke K, L Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke L, I Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke I, K Strecke i_2 Strecke i_2: Strecke L, M Strecke l_2 Strecke l_2: Strecke M, I Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke I, L Strecke s Strecke s: Strecke N, I Punkt I I = (10, 13) Punkt I I = (10, 13) Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von j, k Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von j, k Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von r, g Punkt N Punkt N: Schnittpunkt von r, g M Text1 = “M” S Text2 = “S” a Text3 = “a” a Text4 = “a” h Text5 = “h” s Text6_{1} = “s” s Text6_{2} = “s” s Text6_{3} = “s” s Text6_{4} = “s” s Text6_{5} = “s” s Text6_{6} = “s” h_a Text6 = “h_a” h_a Text6 = “h_a”

    Gerade Pyramide
    Pyramide
    Regelmäßige Pyramide
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    Pyramidenstumpf

    Von jeder Seite der Grundfläche verläuft je eine dreieckige Fläche zur Spitze der Pyramide. Wird die Pyramide unterhalb der Spitze abgeschnitten so bleibt eine Pyramidenstumpf zurück. Aus den dreieckigen Teilen der Mantelfläche werden viereckige Teile. Die Deckfläche liegt der Grundfläche gegenüber und ist parallel zur Grundfläche.

    O Oberfläche
    G Grundfläche
    D Deckfläche
    M Mantel

    Oberfläche vom Pyramidenstumpf

    Die Oberfläche vom Pyramidenstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen. Für die Mantelfläche der schiefen Pyramide gibt es keine geschlossene Formel. Die Mantelfläche nimmt aber zu, je schiefer die Pyramide wird.

    \(O = G + D + M\)


    Volumen vom Pyramidenstumpf

    Das Volumen vom Pyramidenstumpf, unter der Voraussetzung dass Grund- und Deckfläche parallel zu einander sind, kann durch folgende Formel berechnet werden, in die nur die Grund-, die Deckfläche und die Höhe eingehen. Die Höhe ist der Abstand der Deck- von der Grundfläche.

    \(V = \dfrac{h}{3} \cdot (G + D + \sqrt {G \cdot D} )\)


    Illustration vom Pyramidenstumpf

    Sechseck Vieleck1 Sechseck Vieleck1: Polygon W, Z, A_1, B_1, C_1, D_1 Sechseck Vieleck2 Sechseck Vieleck2: Polygon E_1, F_1, G_1, H_1, I_1, J_1 Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke B, C Strecke h Strecke h: Strecke A, D Strecke i Strecke i: Strecke D, E Strecke j Strecke j: Strecke E, F Strecke k Strecke k: Strecke F, C Strecke e Strecke e: Strecke J, K Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke K, L Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke L, M Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke M, O Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke O, N Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke N, J Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke P, J Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke Q, K Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke R, L Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke S, M Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke T, N Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke U, O Strecke s_1 Strecke s_1: Strecke I, V Strecke w Strecke w: Strecke W, Z Strecke z_1 Strecke z_1: Strecke Z, A_1 Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke A_1, B_1 Strecke b_1 Strecke b_1: Strecke B_1, C_1 Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke C_1, D_1 Strecke d_1 Strecke d_1: Strecke D_1, W Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke E_1, F_1 Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke F_1, G_1 Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke G_1, H_1 Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke H_1, I_1 Strecke h_2 Strecke h_2: Strecke I_1, J_1 Strecke i_2 Strecke i_2: Strecke J_1, E_1 Punkt I I = (7.23, 7.06) Punkt I I = (7.23, 7.06) Punkt V Punkt V: Schnittpunkt von s, r_1 Punkt V Punkt V: Schnittpunkt von s, r_1 G text1 = “G” h text2 = “h” M Text1 = “M” D Text2 = “D”

    Pyramidenstumpf
    Oberfläche Pyramidenstumpf
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