Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Mithilfe der Funktion f lässt sich modellhaft das Alter einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke x in Metern beschreiben, sofern die Fichte zwischen 10 und 120 Jahre alt ist. Als Stammdicke wird der in 1,30m Höhe über dem Erdboden gemessene Durchmesser des Fichtenstamms bezeichnet. Der Funktionsterm
\(f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right)\)
gibt im Modell das Alter der Fichte in Jahren an.
Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells das Alter einer Fichte, deren Stammdicke 40 cm beträgt.
Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:0
Ermitteln Sie rechnerisch die Werte der Stammdicke, für die das Modell aufgrund des angegebenen Altersbereichs gültig ist.
(zur Kontrolle: von etwa 8 cm bis etwa 95 cm)
Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Interpretieren Sie die Bedeutung der y-Koordinate des Wendepunkts W von Gf in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter.
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gh einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(h:x \mapsto a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}}{\text{ mit }}a,b,c \in {{\Bbb R}^ + }\)
Teilaufgabe d.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie mithilfe des Grenzwerts \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 40\) dass a=40 ist.
Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie mithilfe des Achsenschnittpunkts S(0 | 4) von Gh , dass c=9 ist.
Teilaufgabe d.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie mithilfe des Wendepunkts \({W_h}\left( {40 \cdot \ln 9\left| {h\left( {40 \cdot \ln 9} \right)} \right.} \right)\) den Wert von b
Mithilfe der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(h:x \mapsto 40 \cdot \dfrac{{{e^{0,025 \cdot x}}}}{{{e^{0,025 \cdot x}} + 9}}\)
kann im Bereich \(\left( {10 \leqslant x \leqslant 120} \right)\) modellhaft die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Alter beschrieben werden. Dabei ist x das Alter der Fichte in Jahren und h(x) die Höhe der Fichte in Metern.
Teilaufgabe e.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm
Teilaufgabe e.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Tragen Sie den zugehörigen Punkt in Abbildung 2 ein.
Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeichnen Sie in die nachstehende Abbildung den Verlauf des Graphen der Funktion, die auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt.