Prüfungsteil B - Analysis

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeigen Sie, dass f (x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

• Term 1: \(\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right)}}\)
   
• Term 2: \(\dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
   
• Term 3: \(\dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}}\)

2. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G_f ist.

3. Teilaufgabe b.2) 1 BE - Bearbeitungszeit:2:20

Geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse.

Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion 

\(p:x \mapsto 0,5 \cdot {\left( {x + 2} \right)^2} - 0,5\),  die die Nullstellen x=- 3 und x=-1 hat.

Für \(x \in {D_f}{\text{ gilt }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}}\)

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f‘ und p‘ die Beziehung

\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right)}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}}{\text{ für x}} \in {{\text{D}}_f}\)

5. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f‘ ist.

6. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 3;2} \right[\) streng monoton steigend ist

7. Teilaufgabe c.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 2; - 1} \right[\) streng monoton fallend ist.

8. Teilaufgabe c.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie Lage des Extrempunkts von G_f an.

Geben Sie Art des Extrempunkts von G_f an.

9. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Berechnen Sie f (-5) und f (-1,5)

10. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie G_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

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Gegeben ist die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

Abbildung 1 zeigt den Graphen G_h von h.

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 0\) gilt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in {D_h}\) dass für die Ableitung h‘ von h gilt: \(h'\left( x \right) < 0\)

Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion

\({H_0} = x \mapsto \int\limits_0^x {h\left( t \right)} \,\,dt\).

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist streng monoton steigend.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist rechts gekrümmt

5. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Nullstelle von H₀ an.

6. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

 Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe der Abbildung die Funktionswerte H₀ (-0,5) sowie H₀ (3) .

7. Teilaufgabe c.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von H₀ im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 3\)

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In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.

Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion 

\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)

stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion  \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang  \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\)  verwenden.

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

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Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Der Graph Gf einer in \({\Bbb R}\)  definierten Funktion

 \(f:x \mapsto a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3}{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)

Punkt O(0 | 0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

W(1| -1) ist ein weiterer Wendepunkt von G_f .

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f .

Die Gerade g schneidet G_f in den Punkten W und (2 | 0).

3. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.

4. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.

G_f und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.

5. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00

Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

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Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen

\({f_n}:x \mapsto {x^4} - 2 \cdot {x^n}{\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\)

sowie die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion 

\({f_0}:x \mapsto {x^4} - 2\)

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen f₀ , f₁ , f₂ bzw. f₄ .

• Abbildung 1: f₀
  
   
• Abbildung 2: f₁
  
   
• Abbidlung 3: f₂
  
   
• Abbildung 4: f₃
  

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

Betrachtet werden nun die Funktionen

\({f_n}{\text{ mit }}n > 4\)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie in Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to + \infty \) und für \(x \to - \infty \) an.

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In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion

\(g:t \mapsto - \dfrac{\pi }{8} \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} \cdot t} \right)\)

mit Definitionsmenge \({{\Bbb R}_0}^ + \)  beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Die nachfolgende Abbildung zeigt den durch die Funktion g beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Berechnen Sie g(1,5)

2. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe der Abbildung plausibel.

4. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie \(\int\limits_2^4 {g\left( t \right)} \,\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5 )

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson.

5. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe c in einem Koordinatensystem für \(0 \leqslant t \leqslant 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

6. Teilaufgabe e.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.

Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20% höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form

\(h:t \mapsto a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0{\text{ und }}\left( {b > 0} \right)\) beschrieben werden.

7. Teilaufgabe e.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie den Wert von b.

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Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Nullstelle von f.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von D_f 

3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass f in D_f umkehrbar ist.

5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von G_f .

6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an G_f im Wendepunkt W von G_f .

(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)

Verschiebt man G_f so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.

7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie den Funktionsterm von g an.

8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Welche Folgerung für G_f ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?

9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeichnen Sie G_f und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

G_f schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.

10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie A.

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Mithilfe der Funktion f lässt sich modellhaft das Alter einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke x in Metern beschreiben, sofern die Fichte zwischen 10 und 120 Jahre alt ist. Als Stammdicke wird der in 1,30m Höhe über dem Erdboden gemessene Durchmesser des Fichtenstamms bezeichnet. Der Funktionsterm

\(f\left( x \right) = 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right)\)

gibt im Modell das Alter der Fichte in Jahren an.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells das Alter einer Fichte, deren Stammdicke 40 cm beträgt.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:0

Ermitteln Sie rechnerisch die Werte der Stammdicke, für die das Modell aufgrund des angegebenen Altersbereichs gültig ist.

(zur Kontrolle: von etwa 8 cm bis etwa 95 cm)

3. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Interpretieren Sie die Bedeutung der y-Koordinate des Wendepunkts W von G_f in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter.

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gh einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion

\(h:x \mapsto a \cdot \dfrac{{{e^{bx}}}}{{{e^{bx}} + c}}{\text{ mit }}a,b,c \in {{\Bbb R}^ + }\)

4. Teilaufgabe d.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie mithilfe des Grenzwerts \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 40\) dass a=40 ist.

5. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie mithilfe des Achsenschnittpunkts S(0 | 4) von G_h , dass c=9 ist.

6. Teilaufgabe d.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie mithilfe des Wendepunkts \({W_h}\left( {40 \cdot \ln 9\left| {h\left( {40 \cdot \ln 9} \right)} \right.} \right)\) den Wert von b

Mithilfe der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion

\(h:x \mapsto 40 \cdot \dfrac{{{e^{0,025 \cdot x}}}}{{{e^{0,025 \cdot x}} + 9}}\)

kann im Bereich \(\left( {10 \leqslant x \leqslant 120} \right)\) modellhaft die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Alter beschrieben werden. Dabei ist x das Alter der Fichte in Jahren und h(x) die Höhe der Fichte in Metern.

7. Teilaufgabe e.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Berechnen Sie auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm

8. Teilaufgabe e.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Tragen Sie den zugehörigen Punkt in die Abbildung ein.

Bild

9. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeichnen Sie in obige Abbildung den Verlauf des Graphen der Funktion, die auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt.

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Gegeben ist die Funktion

\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)

mit maximalem Definitionsbereich D_f . Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen G_f von f.

Bild

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie den Graphen der in \({{\Bbb R}_0}^ + \) definierten Funktion  \(w:x \mapsto \sqrt x \) in oben stehende Abbildung ein.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Möglichkeit dafür an, wie der Graph von f schrittweise aus dem Graphen von w hervorgehen kann.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den G_f und die y-Achse einschließen.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass G_f keine waagrechte Tangente besitzt.

Für jedes \(x \in {D_f}{\text{ mit }}0 < x < 8\) wird ein Dreieck OP_xQ_x mit den Eckpunkten

\(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,\,{P_x}\left( {x\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}{Q_x}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) festgelegt.

5. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Tragen Sie für x=4 das zugehörige Dreieck OP₄Q₄ in Abbildung 1 ein.

6. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt A des Dreiecks OPxQx durch den Term 

\(A\left( x \right) = \sqrt {4 \cdot {x^2} - \dfrac{1}{2} \cdot {x^3}} \) beschrieben wird.

Es gibt ein Dreieck OPxQx mit maximalem Flächeninhalt A_max .

7. Teilaufgabe d) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40

Bestimmen Sie den prozentualen Anteil von A_max am Inhalt der Fläche, die G_f im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

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Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen Gf der Funktion f  

\(f:x \mapsto \sqrt {16 - 2x} = \sqrt {2 \cdot \left( {8 - x} \right)} \)

Bild

Gegeben ist weiter die Gerade g mit der Gleichung \(y = - \dfrac{1}{2}x + 7,5\)

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie die Gerade g in die Abbildung ein.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punkts \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\)  von G_f , in dem die Tangente an G_f parallel zur Geraden g ist.

(Teilergebnis: x_T=6 )

3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie den Abstand d des Punkts T von der Geraden g.

Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion

\(u:x \mapsto g\left( x \right) - f\left( x \right){\text{ mit }}{D_u} = {D_f}\)

4. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Zeigen Sie, dass u an der Stelle x_T ein Minimum u(x_T) besitzt.

5. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne Rechnung, dass das Minimum u(x_T) der Differenzfunktion u größer ist als der Abstand des Punkts T von der Geraden g.

6. Teilaufgabe d.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie dazu auch geeignete Strecken in oben stehende Abbildung ein.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Ein Fahrzeug bremst mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand ab. Der gesamte Bremsweg in Metern wird dabei mit x_B bezeichnet. Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs beträgt zu Beginn des Bremsvorgangs 20 m/s und nimmt in den ersten zehn Metern um 2 m/s ab.

Für \(0 \leqslant x \leqslant {x_B}\) gibt der Term \(v\left( x \right) = \sqrt {{{20}^2} - 2 \cdot a \cdot x} \) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s während des Bremsvorgangs in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg x in Metern an. Dabei ist a der Betrag der Verzögerung des Fahrzeugs in m/s².

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Werte von a

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Werte von x_B

Betrachtet wird für \(\left( {0 \leqslant x \leqslant {x_B} - 10} \right)\) der Term \(h\left( x \right) = v\left( x \right) - v\left( {x + 10} \right)\).

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Erläutern Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

4. Teilaufgabe b.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Begründen Sie, dass \(2 \cdot \sqrt {19} \) der maximale Wert von h(x) ist.

Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Gegeben ist die in IR definierte Funktion \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) .  Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse und begründen Sie, dass G_f oberhalb der x-Achse verläuft.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G_f sowie das Verhalten von f für \(x \to - \infty {\text{ und }}x \to + \infty \)

3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f‘‘ von f die Beziehung \(f''\left( x \right) = \frac{1}{4} \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) gilt. Weisen Sie nach, dass G_f linksgekrümmt ist.

Zur Kontrolle: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {{e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}} \right)\)

4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f .

5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an G_f im Punkt \(P\left( {2\left| {f\left( 2 \right)} \right.} \right)\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right),\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 9} \right)\)

6. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) in das Koordinatensystem aus der 5. Teilaufgabe e) ein.

7. Teilaufgabe g) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(\dfrac{1}{4} \cdot {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 1\) gilt.

 8. Teilaufgabe h) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Die als Kurvenlänge L_a;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b\)  lässt sich mithilfe der Formel \({L_{a;b}} = \int\limits_a^b {\sqrt {1 - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\) berechnen. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L_0;b des Graphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit b > 0}}\) 

Ergebnis: \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\)