Fourier-Reihe
Periodische Funktionen können als (additive) Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen (Superposition) beliebig genau approximiert werden. Die Frequenzen der Sinus- und Kosinusfunktionen sind ganzzahlige Vielfache (k) der Grundfrequenz \({\omega _1}\). Die Fourier-Reihenentwicklung kann nur auf periodische Funktionen angewendet werden. Für nichtperiodische Funktionen benötigt man die Fourier-Transformation.
Fourier Analyse
Bei der Entwicklung einer periodischen Funktion f(t) in eine Fourier Reihe handelt es sich physikalisch gesehen um die Transformation eines periodischen Vorgangs in eine Summe von einzelnen harmonischen Schwingungen. Das Berechnen der einzelnen harmonischen Funktionen, die - durch Überlagerung (Summation) - eine vorgegebenen periodischen Funktion annähern, nennt man Fourier Analyse.
Die Fourier Koeffizienten ak und bk entsprechen den Amplituden der entsprechenden Schwingungsanteile (so genannte "Harmonische"). Damit man diese Koeffizientenformeln auch auf den Fall k=0 anwenden kann, wird in der Fourier Reihe, das den arithmetischen Mittelwert darstellende, zeitunabhängige Glied mit \(\dfrac{{{a_0}}}{2}\) angesetzt. Für die Fourier Koeffizienten ak und bk gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren. Daher kann man über die Anzahl der berechneten Harmonischen die Genauigkeit der Approximation von f(t) durch die Fourier Reihe beeinflussen.
Fouriersche Reihenentwicklung
Eine periodische Funktion \(f\left( t \right) = f\left( {t + T} \right)\) kann durch eine trigonometrische (Fourier-) Reihe, also durch eine Summe von harmonischen Schwingungen, dargestellt werden. Dabei treten neben der Grundfrequenz \({\omega _1}\) nur ganzzahlige Vielfache von ebendieser auf.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right) + {b_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \right)} \cr & = \dfrac{{{a_0}}}{2} + {a_1} \cdot \cos \left( {1{\omega _1}t} \right) + {a_2} \cdot \cos \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... + {b_1} \cdot \sin \left( {1{\omega _1}t} \right) + {b_2} \cdot \sin \left( {2{\omega _1}t} \right) + ... \cr} \)
Mit den Harmonischen: \({\omega _1} = \dfrac{{2\pi }}{T}\)wobei die niedrigste Frequenz \({\omega _1}\)als Grundharmonische bzw. Grundwelle bezeichnet wird und die übrigen Schwingungen mit höheren Harmonischen (2. Harmonische, 3. Harmonische) bzw. Oberwellen bezeichnet werden.
Formeln für die Berechnung der fourierschen Koeffizienten
Um für eine konkrete gegebene periodische Funktion die Fourierreihe bilden zu können, sind deren (Fourier)Koeffizienten a0, ak und bk zu bestimmen. Für die Fourier Koeffizienten gilt, dass sie für \(k \to \infty \) gegen Null konvergieren, gleichzeitig geht auch der Restfehler (also die Abweichung zwischen f(t) und der Approximation durch die Fourier Reihe) gegen Null.
\(\eqalign{ & \dfrac{{{a_0}}}{2} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \,\,dt \cr & {a_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & {b_k} = \dfrac{2}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right) \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t} \right)} \,\,dt \cr & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{1}{T}\int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}\,\,dt \cr} \)
Die Koeffizientenformel stellt die Amplitude der betreffenden Kosinus- oder Sinusschwingung dar. Dabei gelten folgende Vereinfachungen:
- Der arithmetische Mittelwert ist eine gerade Funktion (Ordinatensymmetrie) und fällt daher bei reinen Wechselgrößen weg. Es ist zweckmäßig den konstanten Koeffizienten welcher dem DC-Anteil oder Gleichanteil \(\overline u\) als \(\overline u = \dfrac{{{a_0}}}{2}\)und nicht als a0 anzusetzen, damit man die Koeffizientenformeln für ak bzw. bk auch für k=0 anwenden kann.
- ungerade Funktion d.h. Ursprungssymmetrie - z.B. Sinus: \(f\left( t \right) = - f\left( { - t} \right) \Rightarrow {a_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein imaginär}}\) Es reichen die ebenfalls ungeraden Sinusfunktionen zur Approximation, die Fourier-Koeffizienten der Kosinusschwingungen sind null
- gerade Funktion d.h. Ordinatensymmetrie - z.B. Kosinus: \(f\left( t \right) = f\left( { - t} \right) \Rightarrow {b_k} \equiv 0;\,\,\,\,\,\underline {{c_k}} {\text{ }}...{\text{ rein reell}}\) Es reichen die ebenfalls geraden Kosinusfunktionen zur Approximation, die fourierschen Koeffizienten bk der Sinusschwingungen sind null
Als Integrationsintervall kann jedes beliebige Intervall der Länge T bzw. \(2\pi \) verwendet werden, d.h. man darf, wenn das die Berechnung durch Symmetrien erleichtert, den Anfangspunkt beliebig wählen.
Spektrale Darstellung der Fouriersche Reihenentwicklung
Die Darstellung mit lediglich der sinus- bzw. der kosinus Komponente nennt man auch die spektrale Darstellung. Ihr Vorteil besteht darin, dass es statt 2 nur mehr 1 Koeffizienten gibt.
- Amplitudenspektrum: Stellt die Amplituden ck, , also die Amplitude der k-ten Fourier Komponente grafisch über t dar
- Phasenspektrum stellt den Phasenwinkel \({\varphi _k}\), also den Phasenwinkel der k-ten Fourier Komponenten grafisch über t dar
Sinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = \arctan \dfrac{{{a_k}}}{{{b_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \sin \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr} \)
Kosinusdarstellung
\(\eqalign{ & {c_k} = \sqrt {{a_k}^2 + {b_k}^2} ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_0} = {a_0};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\varphi _k} = - \arctan \dfrac{{{b_k}}}{{{a_k}}}; \cr & f\left( t \right) = \dfrac{{{c_0}}}{2} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{c_k} \cdot \cos \left( {k{\omega _1}t + {\varphi _k}} \right)} \cr}\)
Komplexe Darstellung
\(\eqalign{ & \underline {\widehat {{c_k}}} = \dfrac{2}{T}\int\limits_\tau ^{\tau + T} {f\left( t \right) \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}}} \,\,dt = {a_k} - j{b_k} \cr & f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\underline {\widehat {{c_k}}} } \cdot {e^{ - jk{\omega _1}t}} \cr}\)
Der Vorteil der komplexen Darstellung gegenüber der Darstellung der Fourierreihe mittels Sinus- und Kosinusdarstellung liegt darin, dass sich die e-Funktion einfacher integrieren lässt und anstelle von 2 nur mehr 1 Koeffizient zu berechnen ist.
Eulersche Gleichungen für Fourier’sche Reihenentwicklungen
\(\eqalign{ & {e^{j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr & {e^{ - \,j\omega kt}} = \cos \left( {\omega kt} \right) - j \cdot \sin \left( {\omega kt} \right) \cr} \)