Kugel und Kugelkalotte

Kugel

Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung eines Kreises um einen Kreisdurchmesser entsteht. Die Kugeloberfläche ist eine Fläche die einer Koordinatengleichung zweiter Ordnung genügt und kann daher nicht in der Ebene verzerrungsfrei ausgebreitet werden. Der Ausdruck "Kugel" wird sowohl für die Kugeloberfläche als auch für den Kugelkörper verwendet. Die Kugel hat keine Ecken und keine Kanten und nur eine Fläche.

Großkreis

Ein Großkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet, die durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Der Durchmesser vom Großkreis entspricht dabei dem Durchmesser der Kugel. Entlang eines Großkreises verläuft die kürzeste Verbindung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche.

Kleinkreis

Ein Kleinkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebenen schneidet, die nicht durch den Kugelmittelpunkt verläuft.

Illustration von Groß- und Kleinkreis

Orthodrome bzw. Luftlinie

Eine Orthodrome ist ein Teilstück eines Großkreises. So versuchen Flugzeuge, die zwei weit entfernte Städte verbinden, möglichst entlang eines Großkreises zu fliegen, die sogenannte Luftlinie, weil so die geringste Flugstrecke zurückgelegt werden muss. Während des Fluges, außer der Flug geht exakt in N-S-Richtung, muss dabei der Kurswinkel, das ist der Winkel zwischen Flugrichtung und Norden ständig angepasst werden.Alle Längenkreise (Meridiane) sind Orthodrome, während der Äquator als einziger Breitengrad eine Orthodrome ist. Alle anderen Breitenkreise sind Kleinkreise.

Loxodrome bzw. Kompasskurs

Eine Loxodrome ist eine Kurve auf der Kugeloberfläche, die zwei Punkte so verbindet, dass der Winkel zu den Meridianen (verlaufen in N-S Richtung) unveränderlich, der Kurswinkel also konstant, ist. Dabei nimmt man aber einen Umweg im Vergleich zur Luftlinie in kauf.

Oberfläche der Kugel

Die Oberfläche einer Kugel beträgt das vierfache der Fläche eines Großkreises. Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, den gleichen Abstand r haben.

\(\eqalign{ & d = 2 \cdot r \cr & U = 2 \cdot r \cdot \pi \cr & O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi \cr} \)

Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5cm = 10cm \cr
& U = 2 \cdot r \cdot \pi = = 2 \cdot 5cm \cdot \pi = 31,416cm \cr
& O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi = 4 \cdot {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \pi = 314,159c{m^2} \cr} \)

Volumen der Kugel

Das Kugelvolumen ist jener Rauminhalt, welcher durch die Kugeloberfläche eingeschlossen wird. Der Kugelkörper setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, einen Abstand kleiner gleich r haben.

\(V = \dfrac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi \)

Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& V = \frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot {\left( {5cm} \right)^3} \cdot \pi = 523,599c{m^3} \cr} \)

Illustration einer Kugel

Kugelkalotte

Eine Kugelkalotte, auch Kugelkuppel oder Kugelschale, entsteht, wenn man durch eine hohle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in eine untere und eine obere Kugelkalotte. Eine Kugelkalotte ist 

• einerseits ein  Hohlkörper mit einer kreisförmigen Öffnung an der Basis und einer konkav gewölbten Oberfläche.
• andererseits jener verbleibende Teil einer Kugeloberfläche, der jenseits der Schnittebene liegt.

Die Kugelkalotte ist somit gleichzeitig ein Hohlkörper als auch ein Teil einer Kugeloberfläche.

Kugelsegment

Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in ein unteres und ein oberes Kugelsegment.

• Ein Kugelsegment ist also ein Vollkörper, dessen Oberfläche sich aus der kreisförmigen Grundfläche und einer Kugelkalotte zusammensetzt.
• Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem  Grundkreis eingeschlossene Vollkörper. 

Läuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, so entstehen zwei Halbkugeln.

Das Kugelsegment wird durch drei Bestimmungsgrößen definiert

Hohlkugel

Eine Hohlkugel, auch Kugelschale genannt, ist ein Hohlkörper aus zwei konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichen Radien. Die beiden Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt. Von der vollen äußeren Kugel wird die hohle innere Kugel abgezogen. Es verbleibt die äußere Kugel mit einer Wandstärke, die bis zur inneren Kugel reicht. Innen ist die Hohlkugel, wie schon der Name sagt, hohl.

\(\eqalign{ & V = \dfrac{4}{3} \cdot {r_a}^3 \cdot \pi - \dfrac{4}{3} \cdot {r_i}^3 \cdot \pi \cr & V = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot \left( {{r_a}^3 - {r_i}^3} \right) \cr} \)

Unterschied zwischen Hohlkugel, einer hohlen Kugel und einer Kugelkalotte

• Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht.
• Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke.
• Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde.

Illustration einer Hohlkugel

Illustration vom Blick in ein Hohlkugelsegment