Kugel und Kugelkalotte
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Formeln
Kugel
Die Kugel ist jener Rotationskörper, der bei Drehung eines Kreises um einen Kreisdurchmesser entsteht. Die Kugeloberfläche ist eine Fläche die einer Koordinatengleichung zweiter Ordnung genügt und kann daher nicht in der Ebene verzerrungsfrei ausgebreitet werden. Der Ausdruck "Kugel" wird sowohl für die Kugeloberfläche als auch für den Kugelkörper verwendet. Die Kugel hat keine Ecken und keine Kanten und nur eine Fläche.
Großkreis
Ein Großkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebene schneidet, die durch den Kugelmittelpunkt verläuft. Der Durchmesser vom Großkreis entspricht dabei dem Durchmesser der Kugel. Entlang eines Großkreises verläuft die kürzeste Verbindung zwischen 2 beliebigen Punkten auf der Kugeloberfläche.
Kleinkreis
Ein Kleinkreis entsteht, wenn man eine Kugel mit einer Ebenen schneidet, die nicht durch den Kugelmittelpunkt verläuft.
Illustration von Groß- und Kleinkreis
Orthodrome bzw. Luftlinie
Eine Orthodrome ist ein Teilstück eines Großkreises. So versuchen Flugzeuge, die zwei weit entfernte Städte verbinden, möglichst entlang eines Großkreises zu fliegen, die sogenannte Luftlinie, weil so die geringste Flugstrecke zurückgelegt werden muss. Während des Fluges, außer der Flug geht exakt in N-S-Richtung, muss dabei der Kurswinkel, das ist der Winkel zwischen Flugrichtung und Norden ständig angepasst werden.Alle Längenkreise (Meridiane) sind Orthodrome, während der Äquator als einziger Breitengrad eine Orthodrome ist. Alle anderen Breitenkreise sind Kleinkreise.
Loxodrome bzw. Kompasskurs
Eine Loxodrome ist eine Kurve auf der Kugeloberfläche, die zwei Punkte so verbindet, dass der Winkel zu den Meridianen (verlaufen in N-S Richtung) unveränderlich, der Kurswinkel also konstant, ist. Dabei nimmt man aber einen Umweg im Vergleich zur Luftlinie in kauf.
Oberfläche der Kugel
Die Oberfläche einer Kugel beträgt das vierfache der Fläche eines Großkreises. Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, den gleichen Abstand r haben.
\(\eqalign{ & d = 2 \cdot r \cr & U = 2 \cdot r \cdot \pi \cr & O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& d = 2 \cdot r = 2 \cdot 5cm = 10cm \cr
& U = 2 \cdot r \cdot \pi = = 2 \cdot 5cm \cdot \pi = 31,416cm \cr
& O = 4 \cdot {r^2} \cdot \pi = 4 \cdot {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \pi = 314,159c{m^2} \cr} \)
Volumen der Kugel
Das Kugelvolumen ist jener Rauminhalt, welcher durch die Kugeloberfläche eingeschlossen wird. Der Kugelkörper setzt sich aus der Menge aller Punkte P des dreidimensionalen Raums zusammen, die von einem Punkt M, dem Kugelmittelpunkt, einen Abstand kleiner gleich r haben.
\(V = \dfrac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi \)
Beispiel:
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& V = \frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi = \frac{4}{3} \cdot {\left( {5cm} \right)^3} \cdot \pi = 523,599c{m^3} \cr} \)
Illustration einer Kugel
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Bild
Kugelkalotte
Eine Kugelkalotte, auch Kugelkuppel genannt, ist ein Hohlkörper der entsteht, wenn man durch eine hohle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in eine untere und eine obere Kugelkalotte. Die Kalotte ist also der gekrümmte Teil der verbleibenden Kugeloberfläche.
Kugelsegment
Ein Kugelsegment ist ein Vollkörper, der entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in ein unteres und ein oberes Kugelsegment. Das Kugelsegment ist also der gekrümmte Teil der verbleibenden Kugeloberfläche plus dem Grundkreis. Läuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, so entstehen zwei Halbkugeln, der Schnittkreis ist ein Großkreis.
Das Kugelsegment wird durch drei Bestimmungsgrößen definiert
| r | Radius der Kugel |
| a | Radius vom Grundkreis mit \(a \leqslant r\) |
| h | Höhe |
Kugelsegment = Kugelkalotte + Grundkreis
\(\eqalign{ & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = {\text{Kalotte + Grundkreis}} \cr & V = \frac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & r = 5cm \cr & h = 9cm \cr & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} = \sqrt {9 \cdot \left( {2 \cdot 5 - 9} \right)} = 3 \to a = 3cm \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h = \pi \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9 = 282,743 \to M = 282,743c{m^2} \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \pi \cdot \left( {2 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 9 + {3^2} \cdot \pi = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & V = \dfrac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \dfrac{{\pi \cdot 9}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 508,938 \to V = 508,938c{m^3} \cr} \)
Illustration vom Kugelsegment
Hohlkugel
Eine Hohlkugel, auch Kugelschale genannt, ist ein Hohlkörper aus zwei konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichen Radien. Die beiden Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt. Von der vollen äußeren Kugel wird die hohle innere Kugel abgezogen. Es verbleibt die äußere Kugel mit einer Wandstärke, die bis zur inneren Kugel reicht. Innen ist die Hohlkugel, wie schon der Name sagt, hohl.
| ra | Radius der äußeren Kugel |
| ri | Radius der inneren Kugel |
\(\eqalign{ & V = \dfrac{4}{3} \cdot {r_a}^3 \cdot \pi - \dfrac{4}{3} \cdot {r_i}^3 \cdot \pi \cr & V = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot \left( {{r_a}^3 - {r_i}^3} \right) \cr} \)
Illustration einer Hohlkugel
Illustration vom Blick in ein Hohlkugelsegment