Spezielle Ableitungsfunktionen
Formel
Spezielle Ableitungsfunktionen
Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x0. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.
Trigonometrische Winkelfunktionen differenzieren
Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen bei den "Grundlegenden Ableitungsfunktionen" angeführt.
Arkusfunktionen differenzieren
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
arcsin differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Sinus arcsin ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin \,\,x \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)
arccos differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kosinus arccos ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{\text{ wobei - 1 < x < 1}} \cr} \)
arctan differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Tangens arctan ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan \,\,x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
arccot differenzieren
Die Ableitung der inversen Winkelfunktion Arkus Kotangens arccot ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} \,\,x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{1 + {x^2}}}{\text{ wobei - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
Hyperbolische Funktionen differenzieren
Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.
sinh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Sinus Hyperbolicus sinh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \cosh x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)
cosh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kosinus Hyperbolicus cosh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2} \cr & f'(x) = \sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2} \cr} \)
tanh differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Tangens Hyperbolicus tanh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cosh }^2}x}} = 1 - {\tanh ^2}x \cr} \)
coth differenzieren
Die Ableitung der hyperbolischen Funktion Kotangens Hyperbolicus coth ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 - {\coth ^2}x \cr} \)
Areafunktionen differenzieren
Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolsichen Funktionen.
arsinh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areasinus Hyperbolicus arsinh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} \left( x \right) = {\sinh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) \cr & \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{\text{ mit - }}\infty {\text{ < x < + }}\infty \cr} \)
arcosh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areakosinus Hyperbolicus arcosh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} \left( x \right) = {\cosh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{\text{ mit x > 1}} \cr} \)
artanh differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areatangens Hyperbolicus artanh ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} \left( x \right) = {\tanh ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| < 1 \cr} \)
acoth differenzieren
Die Ableitung der Funktion Areakotangens Hyperbolicus acoth ergibt sich wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} \left( x \right) = {\coth ^{ - 1}}\left( x \right) = \cr & = \dfrac{1}{2}\ln \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{1 - {x^2}}}{\text{ mit }}\left| x \right| > 1 \cr} \)
Anmerkung: Hier liegt keinTippfehler vor, die abgeleitete Funktionsvorschrift vom acoth ist mit jener vom artanh gleich, aber es gilt ein anderer Definitionsbereich.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
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Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |