Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Umgekehrt formuliert: Eine Funktion f(x) ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobene) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Unbestimmtes Integral F(x)
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral F(x), C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c{\text{ mit }}F' = f\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Bei der Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion, Integrand, Integrationskonstante und Differential gebräuchlich.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)
|
F(x) |
Stammfunktion von f(x) |
| f(x) | Integrand, das ist die gegebene Funktion, zu der die Stammfunktion gebildet werden soll. f(x) ist die Ableitung von F(x) |
| c | Integrationskonstante, verschiebt die Stammfunktionen entlang der y-Achse |
| dx | Differential, besagt nach welcher Variablen integriert wird |
| a | ist das niedrigste Argument bzw. die untere Grenze, welches die Variable x annimmt |
| b | ist das höchste Argument bzw. die obere Greneze, welches die Variable x annimmt |
Zusammenhang Stammfunktion F(x), Funktion f(x) und Ableitungsfunktion f'(x)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch der Fundamentalsatz der Analysis liefert 1) den Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung und besagt 2 mit der Formel von Newton und Leibnitz wie das bestimmte Integral aus dem unbestimmten Integral hervorgeht.
- Wenn man die Funktion f(x) integriert, erhält man die Stammfunktion F(x) und wenn man die Stammfunktion F(x) differenziert, erhält man die Funktion f(x). Wenn die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, so ist ihre Stammfunktionfunktion F(x) an jeder Stelle x∈[a,b] differenzierbar und es gilt: F‘(x)=f(x).
\(F\left( x \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Interpretation vom Integral
- Beim unbestimmten Integral erfolgt das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x). Die Stammfunktion F(x) gibt ganz allgemein die Gleichung für die Fläche zwischen der zugehörigen Funktion f(x) und der x-Achse an.
- Beim bestimmten Integral wird nicht nur die Gleichung der Fläche, sondern tatsächlich der Zahlenwert der Fläche bestimmt und zwar zwischen einer konkreten unteren und einer konkreten oberen Grenze.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Beim bestimmten Integral wird "die Fläche" unter der Funktion bestimmt. Es muss sich dabei aber nicht unbedingt um eine Fläche im geometrischen Sinn von Länge mal Breite handeln. Wenn die Funktion etwa die den zeitlichen Verlauf einer Leistung P(t) entspricht, dann entspricht die "Fläche" unter der Funktion einer elektrischen Arbeit gemäß \(W = \int\limits_0^t {P\,\,dt} \) im Zeitraum 0 bis t
