Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) . Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren . Das unbestimmte Integrieren ist das „Umkehren“ des Differenzieren.
\(\eqalign{ & F'(x) = f(x) \cr & {\text{wobei}}:x \in {D_f} \cr}\)
Eine Funktion ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass \(F'(x) = f(x)\) . Das Aufsuchen der Stammfunktion nennt man „integrieren“. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobener) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Vektor u
Vektor u: Vektor(A, C)
Vektor u
Vektor u: Vektor(A, C)
Vektor v
Vektor v: Vektor(C, E)
Vektor v
Vektor v: Vektor(C, E)
Vektor w
Vektor w: Vektor(F, D)
Vektor w
Vektor w: Vektor(F, D)
Vektor a
Vektor a: Vektor(D, B)
Vektor a
Vektor a: Vektor(D, B)
Stammfunktion F
Text1 = “Stammfunktion F”
Funktion f
Text2 = “Funktion f”
Ableitungsfunktion f'
Text3 = “Ableitungsfunktion f'”
differenzieren
Text4 = “differenzieren”
differenzieren
Text4_1 = “differenzieren”
integrieren
Text5 = “integrieren”
integrieren
Text6 = “integrieren”
Integrieren als Umkehroperation zum Differenzieren
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)