Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Das unbestimmte Integrieren ist das „Umkehren“ des Differenzieren.
\(\eqalign{ & F'(x) = f(x) \cr & {\text{wobei}}:x \in {D_f} \cr}\)
Eine Funktion ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass \(F'(x) = f(x)\). Das Aufsuchen der Stammfunktion nennt man „integrieren“. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobener) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Integrieren als Umkehroperation zum Differenzieren
Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)