Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von gewöhnlichen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von einer Variablen abhängt, die in der Funktionsgleichung der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommt. Die Funktion y=y(x) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung, wenn y=y(x) und ihre Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllen.

Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung

• Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter, deren Ursprung Integrationskonstanten sind
• Die partikuläre oder spezielle Lösung wird aus der allgemeinen Lösung durch die Anwendung zusätzlicher Bedingungen (Anfangsbedingung, Randwertbedingung) gewonnen , wobei man den n Parametern feste Werte zuweist.

Allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung

In einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung kommen y und y‘ vor, sowie die beiden beliebigen Funktionen a(x) und b(x)

\(y' + a\left( x \right) \cdot y = b\left( x \right)\)

• Beispiel einer expliziten DGL 1. Ordnung
  • \(y' = \sin \left( x \right)\)
• Beispiel einer impliziten DGL 1. Ordnung:
  • \(x - yy' = 0\)
  • \(\mathop { s }\limits^{ \cdot \cdot } =-g\)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der a(x)=x, also ein konstanter Koeffizient ist.

\(\eqalign{ & y' + a \cdot y = s\left( x \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R},{\text{ }}y = y\left( x \right) \cr & y = {y_h} + {y_p} \cr} \)

Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen

Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der man die Variablen "y" auf der einen Seite und die Variablen „x“ auf der anderen Seite einer Differentialgleichung anschreiben kann. Man spricht auch von einer separablen Differentialgleichung.

\(\eqalign{ & y' = \dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx \cr & \int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr} \)

Vorgehen zur Lösung von Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ \(y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right)\)

• 1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen: \(\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx\)
• 2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung: \(\int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C\)
• 3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ \(G\left( y \right) = F\left( x \right)\) nach der Variablen „y“.

Partielle Differentialgleichungen

Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von partiellen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von mehreren Variablen abhängt und in der Funktionsgleichung Ableitungen der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommen.

Funktionen, die von mehr als einer unabhängigen Variablen abhängen, beschreiben bei zwei unabhängigen Variablen Flächen im Raum. Derartige Funktionen kann man differenzieren, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.

Partielle Ableitungen benötigt man zur Bestimmung von Extremwerten im Raum, zur Aufstellung von Taylorreihen und wenn man mit impliziten Funktionen arbeiten muss.

\(z = f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach x:
\({z_x} = \dfrac{\partial }{{\partial x}}f\left( {x;y} \right)\)

1. Ableitung nach y:
\({z_y} = \dfrac{\partial }{{\partial y}}f\left( {x;y} \right)\)