Gewöhnliche Differentialgleichungen
Bei Differentialgleichungen unterscheidet man zwischen gewöhnlichen Differentialgleichungen und partiellen Differentialgleichungen. Von gewöhnlichen Differentialgleichungen spricht man, wenn die gesuchte Funktion \(y = y\left( x \right)\) von einer Variablen abhängt, die in der Funktionsgleichung der unbekannten Funktion bis zur n-ten Ordnung vorkommt. Die Funktion y=y(x) ist dann eine Lösung der Differentialgleichung, wenn y=y(x) und ihre Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllen.
| \(F\left( {x,y,y'} \right) = 0\) |
Gewöhnliche Differentialgleichung 1-ter Ordnung |
| \(F\left( {x;\,\,\,y;\,\,\,y';\,\,\,...\,\,\,;{y^{\left( n \right)}}} \right)=0\) |
Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung |
Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung
- Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängige Parameter, deren Ursprung Integrationskonstanten sind
- Die partikuläre oder spezielle Lösung wird aus der allgemeinen Lösung durch die Anwendung zusätzlicher Bedingungen (Anfangsbedingung, Randwertbedingung) gewonnen , wobei man den n Parametern feste Werte zuweist.
Allgemeine Differentialgleichung 1. Ordnung
In einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung kommen y und y‘ vor, sowie die beiden beliebigen Funktionen a(x) und b(x)
\(y' + a\left( x \right) \cdot y = b\left( x \right)\)
- Beispiel einer expliziten DGL 1. Ordnung
- \(y' = \sin \left( x \right)\)
- Beispiel einer impliziten DGL 1. Ordnung:
- \(x - yy' = 0\)
- \(\mathop { s }\limits^{ \cdot \cdot } =-g\)
Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der a(x)=x, also ein konstanter Koeffizient ist.
\(\eqalign{ & y' + a \cdot y = s\left( x \right){\text{ mit }}a \in {\Bbb R},{\text{ }}y = y\left( x \right) \cr & y = {y_h} + {y_p} \cr} \)
| y |
allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung |
| yh |
allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung, für s(x)=0 |
| yp |
partikuläre (=spezielle) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung |
| s(x) |
Störfunktion |
Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen
Es handelt sich dabei um den Spezialfall einer allgemeinen Differentialgleichung 1. Ordnung, also um eine lineare Differentialgleichung, bei der man die Variablen "y" auf der einen Seite und die Variablen „x“ auf der anderen Seite einer Differentialgleichung anschreiben kann. Man spricht auch von einer separablen Differentialgleichung.
\(\eqalign{ & y' = \dfrac{{dy}}{{\operatorname{dx} }} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \cr & \dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx \cr & \int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C \cr} \)
Vorgehen zur Lösung von Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ \(y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right)\)
- 1. Lösungsschritt: Trennen der beiden Variablen: \(\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)\,\,dx\)
- 2. Lösungsschritt: Integrieren von beiden Seiten der Gleichung: \(\int {\dfrac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)\,\,dx} + C\)
- 3. Lösungsschritt: Man versucht - was nicht immer möglich ist - die Auflösung der nunmehr vorliegenden impliziten Gleichung vom Typ \(G\left( y \right) = F\left( x \right)\) nach der Variablen „y“.