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Vektoren

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
2
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Beschriftung im kartesischen Koordinatensystem

    Die drei Koordinatenachsen stehen im kartesischen Koordinatensystem orthogonal (in 90°) aufeinander. Die Achsen werden entweder mit x,y und z beschriftet oder mit x1, x2, x3.

    Winkel α Winkel α: Winkel zwischen u, v Winkel α Winkel α: Winkel zwischen u, v Winkel β Winkel β: Winkel zwischen v, w Winkel β Winkel β: Winkel zwischen v, w Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen w, u Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen w, u Vektor u Vektor u: Vektor(E, H) Vektor u Vektor u: Vektor(E, H) Vektor v Vektor v: Vektor(E, F) Vektor v Vektor v: Vektor(E, F) Vektor w Vektor w: Vektor(E, G) Vektor w Vektor w: Vektor(E, G) Punkt I I = (5.34, 6.24) Punkt I I = (5.34, 6.24) Punkt J J = (5.5, 7.64) Punkt J J = (5.5, 7.64) Punkt K K = (3.79, 7.48) Punkt K K = (3.79, 7.48) x-Achse x_1-Achse Text1 = “x-Achse x_1-Achse” x-Achse x_1-Achse Text1 = “x-Achse x_1-Achse” x-Achse x_1-Achse Text1 = “x-Achse x_1-Achse” x-Achse x_1-Achse Text1 = “x-Achse x_1-Achse” y-Achse x_2-Achse Text2 = “y-Achse x_2-Achse” y-Achse x_2-Achse Text2 = “y-Achse x_2-Achse” y-Achse x_2-Achse Text2 = “y-Achse x_2-Achse” y-Achse x_2-Achse Text2 = “y-Achse x_2-Achse” z-Achse x_3-Achse Text3 = “z-Achse x_3-Achse” z-Achse x_3-Achse Text3 = “z-Achse x_3-Achse” z-Achse x_3-Achse Text3 = “z-Achse x_3-Achse” z-Achse x_3-Achse Text3 = “z-Achse x_3-Achse”


    Punkt im \({{\Bbb R}^2},\,\,\,{{\Bbb R}^3}\)

    Die Lage eines Punkts ist durch den Abstand je Koordinatenrichtung vom Ursprung des Koordinatensystems bestimmt. Abhängig davon, wie die Koordinatenachsen beschriftet wurdenm gibt es unterschiedliche Möglichkeiten Punkte und Vektoren zu beschriften

    \(\begin{array}{l} {\Bbb R^{2:}}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}} \right.} \right)\\ {\Bbb R^3}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}\left| {{P_z}} \right.} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {{P_3}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)


    Skalar

    Skalar ist ein Ausdruck in der Vektorrechnung für eine relle Zahl. Man verwendet den Begriff Skalar um die Richtungsunabhängigkeit einer Größe im Unterschied zum richtungsabhängigen Vektor zu betonen.


    Vektor

    Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene oder im Raum. Jeder Vektor ist durch Richtung, Orientierung und durch Betrag gekennzeichnet. Vektoren können im Raum beliebig parallelverschoben werden, d.h. ihr Anfangspunkt kann beliebig festgelegt werden, daraus ergibt sich dann ein eindeutiger Endpunkt. Vektoren spielen in der Physik eine große Rolle, so ist etwa die Geschwindigkeit kein Skalar, sondern ein Vektor.

    • Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil, mit einem Schaft und einer Spitze (definiert die Orientierung) repräsentiert.
    • Algebraisch sind Vektoren eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (ax,ay,az) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt

    \(\eqalign{ & \overrightarrow a = \overrightarrow {{a_x}} + \overrightarrow {{a_y}} + \overrightarrow {{a_z}} = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) \cr & \overrightarrow a = {a_x} \cdot \overrightarrow i + {a_y} \cdot \overrightarrow j + {a_z} \cdot \overrightarrow k \cr}\)


    Illustration eines Vektors vom Ursprung zum Punkt P

    Strahl f Strahl f: Strahl durch E, G Vektor u Vektor u: Vektor(E, J) Vektor u Vektor u: Vektor(E, J) Vektor v Vektor v: Vektor(E, F) Vektor v Vektor v: Vektor(E, F) Vektor w Vektor w: Vektor(E, G) Vektor w Vektor w: Vektor(E, G) Vektor a Vektor a: Vektor(G, I) Vektor a Vektor a: Vektor(G, I) Vektor b Vektor b: Vektor(F, I) Vektor b Vektor b: Vektor(F, I) Vektor c Vektor c: Vektor(I, J) Vektor c Vektor c: Vektor(I, J) Vektor d Vektor d: Vektor(H, J) Vektor d Vektor d: Vektor(H, J) Vektor e Vektor e: Vektor(E, H) Vektor e Vektor e: Vektor(E, H) Punkt E Punkt E: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt E Punkt E: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Punkt auf xAchse Punkt F Punkt F: Punkt auf xAchse Punkt G G = (-2.61, -2.88) Punkt G G = (-2.61, -2.88) Punkt H Punkt H: Punkt auf yAchse Punkt H Punkt H: Punkt auf yAchse Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von g, h Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von g, h Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von i, k Punkt J Punkt J: Schnittpunkt von i, k x-Achse Text1 = “x-Achse” y-Achse Text2 = “y-Achse” z-Achse Text3 = “z-Achse” a_x Text4 = “a_x” a_x Text4 = “a_x” a_y Text5 = “a_y” a_y Text5 = “a_y” a_z Text6 = “a_z” a_z Text6 = “a_z” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text7 = “$\overrightarrow a = \left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$” $P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$ Text8 = “$P\left( {{a_x},{a_y},{a_z}} \right)$”


    Gegenvektor

    Den Gegenvektor erhält man, indem man den Ausgangsvektor um 180° dreht, bzw. indem man den Ausgangsvektor mit dem Skalar -1 multipliziert.  Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag, die gleiche Richtung aber entgegengesetzte Orientierung.

    \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_x}}\\
    {{a_y}}\\
    {{a_z}}
    \end{array}} \right) \Leftrightarrow - \overrightarrow a = - 1 \circ \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
    { - {a_x}}\\
    { - {a_y}}\\
    { - {a_z}}
    \end{array}} \right)\)


    Betrag eines Vektors

    Der Betrag bzw. die Länge des Vektors ergeben sich aus dem Abstand zwischen seinem Anfangspunkt, dem Schaft im Punkt "P" und seinem Endpunkt, also seiner Spitze in "Q".

    \(\left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)

    \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)


    Illustration zur Richtung und zur Berechnung vom Betrag eines zweidimensionalen Vektors

    Winkel α Winkel α: Winkel zwischen f, h Winkel α Winkel α: Winkel zwischen f, h Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke B, Q Vektor u Vektor u: Vektor(A, Q) Vektor u Vektor u: Vektor(A, Q) Punkt A A(2 | 2) Punkt A A(2 | 2) Punkt Q Q(6 | 4) Punkt Q Q(6 | 4) P Text1 = “P” Q Text2 = “Q” Q_x-P_x Text3 = “Q_x-P_x” Q_x-P_x Text3 = “Q_x-P_x” Q_x-P_x Text3 = “Q_x-P_x” Q_x-P_x Text3 = “Q_x-P_x” Q_x-P_x Text3 = “Q_x-P_x” Q_y-P_y Text4 = “Q_y-P_y” Q_y-P_y Text4 = “Q_y-P_y” Q_y-P_y Text4 = “Q_y-P_y” Q_y-P_y Text4 = “Q_y-P_y” Q_y-P_y Text4 = “Q_y-P_y” α Text5 = “α”


    Richtung des Vektors

    Die Richtung eins Vektors ist durch seine Lage relativ zu den Achsen des Koordinatensystems bestimmt. Ein Vektor hat eine einzige Richtung! Die Richtung des Vektors kann man aus dem Arkustangens vom Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten und der Differenz der x-Koordinaten zweier Punkte vom Vektor berechnen.

    \(\alpha = \arctan \dfrac{{{Q_y} - {P_y}}}{{{Q_x} - {P_x}}}\)


    Orientierung eines Vektors

    Vektoren mit gleicher Richtung haben entweder gleiche oder entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung wird durch Schaft und Spitze des Vektors definiert. Ein Gegenvektor ist ein Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung aber umgekehrter Orientierung als der betrachtete Vektor.


    Gleiche Vektoren

    Vektoren sind gleich, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert (Pfeilspitze) sind. Gleiche Vektoren können unterschiedliche Koordinatendarstellungen haben.


    Illustration zur Orientierung, zur Gleichheit von Vektoren und zum Gegenvektor eines Vektors und zu Vektoren mit gleichem Betrag

    Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor v Vektor v: Vektor(G, H) Vektor v Vektor v: Vektor(G, H) Vektor w Vektor w: Vektor(I, J) Vektor w Vektor w: Vektor(I, J) Vektor a Vektor a: Vektor(K, L) Vektor a Vektor a: Vektor(K, L) Vektor b Vektor b: Vektor(N, M) Vektor b Vektor b: Vektor(N, M) Vektor c Vektor c: Vektor(O, P) Vektor c Vektor c: Vektor(O, P) Vektor d Vektor d: Vektor(Q, R) Vektor d Vektor d: Vektor(Q, R) Vektor e Vektor e: Vektor(S, T) Vektor e Vektor e: Vektor(S, T) Vektor f Vektor f: Vektor(U, V) Vektor f Vektor f: Vektor(U, V) Gleiche Vektoren Text1 = “Gleiche Vektoren” Vektor und Gegenvektor Text2 = “Vektor und Gegenvektor” ungleiche Vektoren mit gleicher Richtung Text3 = “ungleiche Vektoren mit gleicher Richtung” ungleiche Vektoren mit gleicher Richtung Text3 = “ungleiche Vektoren mit gleicher Richtung” ungleiche Vektoren mit gleichem Betrag Text4 = “ungleiche Vektoren mit gleichem Betrag” ungleiche Vektoren mit gleichem Betrag Text4 = “ungleiche Vektoren mit gleichem Betrag”


    Nullvektor

    Der Nullvektor \(\overrightarrow 0\) hat keine bestimmte Richtung. Seine Länge (sein Betrag) ist null. Der Nullvektor ist das neutrale Element bezüglich der Addition von Vektoren. Schaft und Spitze vom Nullvektor fallen in einem Punkt zusammen.

    \(\begin{array}{l} \overrightarrow 0 = \left( {0\left| 0 \right.} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {AA} = 0 \end{array}\)

    Der Nullvektor ist kollinear zu jedem anderen Vektor und komplanar zu einer von 2 Vektoren aufgespannten Ebene.


    Basisvektor

    Die Basisvektoren liegen jeweils in einer Koordinatenachse, ihre Länge d.h. ihr Betrag ist 1. Sie spannen das Koordinatensystem auf. Je Dimension gibt es einen eigenen Basisvektor. Seine Komponenten bestehen aus einer "1" und sonst nur aus Nullen.

    \(\eqalign{ & \overrightarrow i = \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr } } \right) \cr & \overrightarrow j = \left( {\matrix{ 0 \cr 1 \cr } } \right) \cr}\)


    Einheitsvektor

    Der Einheitsvektor \( \overrightarrow {{r_0}}\), hat dieselbe Richtung wie der Richtungs- bzw. der Ortsvektor \( \overrightarrow r\), seine Länge wurde aber auf 1 normiert.

    \(\eqalign{ & \overrightarrow {{r_0}} = {{\overrightarrow r } \over {\left| r \right|}} = \left( {\matrix{ {{{{r_x}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr {{{{a_y}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr } } \right) \cr & {\rm{mit}}\,\,\,\left| {\overrightarrow r } \right| \ne 0 \cr}\)


    Ortsvektor

    Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem gegebenen Punkt. Ein Ortsvektor \(\overrightarrow a\) hat seinen Anfang immer im Ursprung des Koordinatensystems. Seine Richtung, Orientierung und Betrag ergeben sich aus der Lage seines Endpunkts. Einen Ortsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag ändern.

    \(\overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j = \left( {\matrix{ x \cr y \cr } } \right) = \left( {x,y} \right)\)

    Strecke f Strecke f: Strecke [G, H] Strecke g Strecke g: Strecke [G, I] Strecke h Strecke h: Strecke [G, H] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[A, D] Vektor v Vektor v: Vektor[A, D] Vektor w Vektor w: Vektor[A, C] Vektor w Vektor w: Vektor[A, C] Vektor a Vektor a: Vektor[A, F] Vektor a Vektor a: Vektor[A, F] Punkt H Punkt H: Punkt auf xAchse Punkt H Punkt H: Punkt auf xAchse Punkt I I = (0, 1.6) Punkt I I = (0, 1.6) P(aΙb) P(rΙφ) Text1 = "P(aΙb) P(rΙφ)" P(aΙb) P(rΙφ) Text1 = "P(aΙb) P(rΙφ)" a r.cosφ Text2 = "a r.cosφ" a r.cosφ Text2 = "a r.cosφ" b r.sinφ Text3 = "b r.sinφ" b r.sinφ Text3 = "b r.sinφ" i Text4 = "i" j Text5 = "j" r_0 Text6 = "r_0" r_0 Text6 = "r_0" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $" $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ Text7 = "$r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $"


    Verbindungsvektor

    Der Verbindungsvektor verbindet zwei Punkte im Raum. Es sind die Punkte P (Px l Py) und Q (Qx l Qy) gegeben. Der Verbindungsvektor ist jener Vektor, der in P seinen Schaft und in Q seine Spitze hat. Um ihn zu berechnen subtrahiert man vom Ortsvektor zu Q (Spitze) den Ortsvektor zu P (Schaft). Einen Verbindungsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag oder seine Orientierung ändern.

    In \({{\Bbb R}^2}\):

    \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {UQ} - \overrightarrow {UP} = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)

    In \({{\Bbb R}^3}\):

    \(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right.} \right)\\ B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x} - {A_x}}\\ {{B_y} - {A_y}}\\ {{B_z} - {A_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)

    "Spitze minus Schaft Regel": Man erhält den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem man Komponentenweise die Koordinaten von der Spitze minus jener vom Schaft anschreibt.


    Illustration vom Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten

    Strecke h Strecke h: Strecke [C, G] Strecke j Strecke j: Strecke [B, E] Strecke k Strecke k: Strecke [B, D] Strecke l Strecke l: Strecke [B, P] Strecke f Strecke f: Strecke [F, P] Strecke g Strecke g: Strecke [P, C] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor v Vektor v: Vektor[A, C] Vektor w Vektor w: Vektor[B, C] Vektor w Vektor w: Vektor[B, C] P_x text1 = "P_x" P_x text1 = "P_x" Q_x text2 = "Q_x" Q_x text2 = "Q_x" P_y text3 = "P_y" P_y text3 = "P_y" Q_y text4 = "Q_y" Q_y text4 = "Q_y" P text5 = "P" Q text6 = "Q" Q_x - P_x text7 = "Q_x - P_x" Q_x - P_x text7 = "Q_x - P_x" Q_x - P_x text7 = "Q_x - P_x" Q_x - P_x text7 = "Q_x - P_x" Q_y - P_y text8 = "Q_y - P_y" Q_y - P_y text8 = "Q_y - P_y" Q_y - P_y text8 = "Q_y - P_y" Q_y - P_y text8 = "Q_y - P_y" \overrightarrow{PQ} text9 = "\overrightarrow{PQ}" \overrightarrow{PQ} text9 = "\overrightarrow{PQ}" \overrightarrow{PQ} text9 = "\overrightarrow{PQ}" \overrightarrow{PQ} text9 = "\overrightarrow{PQ}"


    Richtungsvektor als Parallelvektor zum Verbindungsvektor

    Der Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) ist entweder der Verbindungsvektor oder ein zum Verbindungsvektor paralleler Vektor. Der Richtungsvektor hat zwar eine definierte Länge, aber keine feste Position im Koordinatensystem d.h. er kann parallel verschoben werden und ist noch immer ein Richtungsvektor. Der Verbindungsvektor ist ein besonderer Richtungsvektor, weil sein Anfangs- bzw. Endpunkt mit den besonderen Punkten P und Q zusammenfallen.


    Mehrdimensionaler Vektor

    Die Anzahl der Komponenten eines Vektors entspricht der Dimension des Raums. Dreidimensionale Vektoren spannen den uns vertrauten dreidimensionalen Raum aus Breite, Tiefe und Höhe auf. Vierdimensionale Vektoren spannen die Raum-Zeit der Physik auf. Bei höherdimensionalen Vektoren nummeriert man die Komponenten, weil die Dimensionen mitunter keinen anschaulichen Namen haben.

    \(\eqalign{ & P = \left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {...\left| {{P_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr & Q = \left( {{Q_1}\left| {{Q_2}\left| {...\left| {{Q_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr}\)

    n-dimensionaler Richtungsvektor von P nach Q:

    \(\overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_1} - {P_1}}\\ {{Q_2} - {P_2}}\\ {...}\\ {{Q_n} - {P_n}} \end{array}} \right)\)

    Vektor
    Richtung eines Vektors
    Betrag eines Vektors
    Orientierung eines Vektors
    Punkt im Raum
    Ortsvektor
    Richtungsvektor
    Basisvektoren
    Einheitsvektor
    Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten
    Skalar
    Spitze minus Schaft Regel
    Nullvektor
    Gegenvektor
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    Aufgabe 84

    Vektoren in der Physik

    Erkläre an Hand zweier Beispiele aus der Physik, was einen Vektor ausmacht.

    Betrag eines Vektors
    Orientierung eines Vektors
    Richtung eines Vektors
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    Aufgabe 93

    Einheitsvektor ermitteln

    Ermittle den Einheitsvektor zu

    \(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)

    Einheitsvektor
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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