Krümmungsverhalten einer Funktion
Wenn die 2. Ableitung einer Funktion negativ ist, so ist die Funktion rechtsgekrümmt. Wenn die 2. Ableitung einer Funktion positiv ist, so ist die Funktion linksgekrümmt.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden
Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.
\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Differential
Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.
\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)
Intervallweise differenzierbare Funktion
Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.
\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.
Stetigkeit einer Funktion
Eine Funktion ist an der Stelle x0 dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.
- Aus Stetigkeit folgert nicht automatisch Differenzierbarkeit. Da bei stetigen Funktionen „Knicks“ zugelassen sind, sind nicht alle stetigen Funktionen deshalb automatisch auch durchgängig differenzierbar.
- Aus Differenzierbarkeit folgert Stetigkeit (aber nicht umgekehrt!)
Definition der Ableitung
Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x0 ihrer Definitionsmenge Df ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar.
Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.
Weierstraß Funktion
Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)
Erste Ableitung einer Funktion
Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)
Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:
- Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x0 steigend. Die Tangente in x0 verläuft von links unten nach rechts oben.
- Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 horizontal. Die Tangente in x0 hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
- Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 fallend. Die Tangente in x0 verläuft von links oben nach rechts unten
Zweite Ableitung einer Funktion
Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
Links gekrümmter Graph, lokales Minimum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x0linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x0rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Dritte Ableitung einer Funktion
Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.
Höhere Ableitungen
Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".
\(y = f\left( x \right)\)
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 1034
AHS - 1_034 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wendestelle
Ein Becken wird mit Wasser gefüllt. Die in das Becken zufließende Wassermenge, angegeben in m3 pro Stunde, kann im Intervall [0; 8) durch die Funktion f beschrieben werden. Die Funktion f hat an der Stelle t = 4 eine Wendestelle.
- Aussage 1: An der Stelle t = 4 geht die Linkskrümmung (f''(t) > 0) in eine Rechtskrümmung (f''(t) < 0) über.
- Aussage 2: An der Stelle t = 4 geht die Rechtskrümmung (f''(t) < 0) in eine Linkskrümmung (f''(t) > 0) über.
- Aussage 3: Der Wert der zweiten Ableitung der Funktion f an der Stelle 4 ist null.
- Aussage 4: Es gilt f''(t) > 0 für t > 4.
- Aussage 5: Für t > 4 sinkt die pro Stunde zufließende Wassermenge.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 6031
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion
\(f:x \mapsto 20 \cdot \ln \left( {\dfrac{{20x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ mit }}{D_f} = \left] {0;1} \right[\).
Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie die Nullstelle von f.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen von Df
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten von Gf an.
4. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Begründen Sie, dass f in Df umkehrbar ist.
5. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von Gf .
6. Teilaufgabe b.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente w an Gf im Wendepunkt W von Gf .
(zur Kontrolle: x-Koordinate von W: 1/2)
Verschiebt man Gf so, dass der Wendepunkt W im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion g.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie den Funktionsterm von g an.
8. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Welche Folgerung für Gf ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von g punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeichnen Sie Gf und die Tangente w unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.
Gf schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente w ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie A.
Aufgabe 1021
AHS - 1_021 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit \(f\left( x \right) = {e^x}\)
- Aussage 1: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 des Graphen hat den Wert 0.
- Aussage 2: Wird das Argument x um 1 erhöht, dann steigen die Funktionswerte auf das e-Fache.
- Aussage 3: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 des Graphen hat den Wert e.
- Aussage 4: Wird das Argument x um 1 vermindert, dann sinken die Funktionswerte auf das 1/e Fache.
- Aussage 5: Der Graph von f hat an jeder Stelle eine positive Krümmung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1149
AHS - 1_149 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f‘ einer Polynomfunktion f.
- Aussage 1: Die Funktion f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt.
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [2; 5] streng monoton fallend.
- Aussage 3: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
- Aussage 4: Die Funktion f hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle.
- Aussage 5: Die Funktion f ist im Intervall [–2; 0] links gekrümmt.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1487
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionseigenschaften erkennen
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades.
- Aussage 1: Die Funktion f ist im Intervall (2; 3) monoton steigend.
- Aussage 2: Die Funktion f hat im Intervall (1; 2) eine lokale Maximumstelle.
- Aussage 3: Die Funktion f ändert im Intervall (–1; 1) das Krümmungsverhalten.
- Aussage 4: Der Funktionsgraph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Achse.
- Aussage 5: Die Funktion f ändert im Intervall (–3; 0) das Monotonieverhalten.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für den dargestellten Funktionsgraphen von f zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1147
AHS - 1_147 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pflanzenwachstum
Die Höhe h (in cm) von drei verschiedenen Pflanzen in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) wurde über einen längeren Zeitraum beobachtet und mittels geeigneter Funktionen h1 (für Pflanze 1), h2 (für Pflanze 2) und h3 (für Pflanze 3) modelliert. Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen der drei Funktionen h1, h2 und h3.
- Aussage 1: Der Graph der Funktion h1 ist im Intervall [1; 5] links gekrümmt.
- Aussage 2: Die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 1 nimmt im Intervall [11; 13] ab.
- Aussage 3: Während des Beobachtungszeitraums [0; 17] nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit von Pflanze 2 ständig zu.
- Aussage 4: Für alle Werte t ∈ [0; 17] gilt \({h_3}'' \left( t \right) \leq 0\) .
- Aussage 5: Für alle Werte t ∈ [3; 8] gilt: \({h_1}^\prime \left( t \right) < 0\) .
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1558
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Krümmungsverhalten einer Polynomfunktion
Der Graph einer Polynomfunktion dritten Grades hat im Punkt T = (–3|1) ein lokales Minimum, in H = (–1|3) ein lokales Maximum und in W = (–2|2) einen Wendepunkt.
- Aussage 1: \(\left( { - \infty ;2} \right)\)
- Aussage 2: \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)
- Aussage 3: \(\left( { - 3; - 1} \right)\)
- Aussage 4: \(\left( { - 2;2} \right)\)
- Aussage 5: \(\left( { - 2;\infty } \right)\)
- Aussage 6: \(\left( {3;\infty } \right)\)
Aufgabenstellung:
In welchem Intervall ist diese Funktion linksgekrümmt (positiv gekrümmt)? Kreuzen Sie das zutreffende Intervall an!
Aufgabe 1668
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Funktionsgraphen
Nachstehend sind Eigenschaften von Funktionen angeführt sowie charakteristische Ausschnitte von Funktionsgraphen abgebildet.
- Eigenschaft 1: Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend.
- Eigenschaft 2: Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich negativ gekrümmt (rechtsgekrümmt).
- Eigenschaft 3: Die Funktion ist auf dem Intervall (–∞; 0) positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
- Eigenschaft 4: Die Funktion ist auf dem Intervall (–∞; 0) monoton fallend.
Funktionsgraph A:
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Funktionsgraph B:
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Funktionsgraph C:
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Funktionsgraph D:
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Funktionsgraph E:
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Funktionsgraph F:
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Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Eigenschaften jeweils den passenden Graphen (aus A bis F) zu!
Aufgabe 1693
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Arbeitslosenrate
Ein Politiker, der die erfolgreiche Arbeitsmarktpolitik einer Regierungspartei hervorheben möchte, sagt: „Die Zunahme der Arbeitslosenrate verringerte sich während des ganzen Jahres.“
Ein Politiker der Opposition sagt darauf: „Die Arbeitslosenrate ist während des ganzen Jahres gestiegen.“
Aufgabenstellung:
Die Entwicklung der Arbeitslosenrate während dieses Jahres kann durch eine Funktion f in Abhängigkeit von der Zeit modelliert werden.
Welcher der nachstehenden Graphen stellt die Entwicklung der Arbeitslosenrate während dieses Jahres dar, wenn die Aussagen beider Politiker zutreffen? Kreuzen Sie den zutreffenden Graphen an!
[0 / 1 Punkt]
Graph 1:
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Graph 2:
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Graph 3:
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Graph 4:
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Graph 5:
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Graph 6:
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Aufgabe 4451
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Teil c:
Die zeitliche Entwicklung des jährlichen globalen Rohstoffverbrauchs kann durch verschiedene Polynomfunktionen modelliert werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils den entsprechenden Funktionsgraphen aus
A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Für alle t mit 2010 < t < 2050 gilt: f″(t) > 0
- Aussage 2: Für genau ein t mit 1970 < t < 2050 gilt: f′(t) = 0 und f″(t) < 0
- Graph A:
Bild
- Graph B:
Bild
- Graph C:
Bild
- Graph D:
Bild
