Integration spezieller Funktionen
Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.
Integration durch Partialbruchzerlegung
Integrale gebrochener Funktionen (Brüche) werden in einfachere Teilbrüche, sogenannte Partialbrüche, zerlegt, die auf bekannten Integralen basieren. Ein Koeffizientenvergleich zwischen Z(x) und Z1 (x; A1…Dr) führt auf die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten A1 bis Dr.
\(\int {\dfrac{{{Z_m}\left( x \right)}}{{{N_n}\left( x \right)}}} \,\,dx\)
Partialbruchzerlegung
\(\eqalign{ & \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{N\left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{{x^p}.{{\left( {x - a} \right)}^q} \cdot {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{A_1}}}{x} + \dfrac{{{A_2}}}{{{x^2}}} + ... + \dfrac{{{A_p}}}{{{x^p}}} + \cr & + \dfrac{{{B_1}}}{{\left( {x - a} \right)}} + \dfrac{{{B_2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{B_q}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^q}}} + \cr & + \dfrac{{{C_1}x + {D_1}}}{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}} + \dfrac{{{C_2}x + {D_2}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{C_r}x + {D_r}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{Z_1} \cdot \left( {x;\,\,\,{A_1},...{A_p};\,\,\,{B_1}...{B_q};\,\,\,{C_1}...{C_r},{D_1}...{D_r}} \right)}}{{N\left( x \right)}} \cr}\)
Trigonometrische Winkelfunktionen integrieren
Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen unter "Auffinden gängiger Stammfunktionen" angeführt.
Arkusfunktionen integrieren
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
arcsin integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin x \cr & F\left( x \right) = \int {\arcsin x} \,\,dx = x \cdot \arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)
arccos integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos x \cr & F\left( x \right) = \int {\arccos x} \,\,dx = x \cdot \arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)
arctan integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan x \cr & F\left( x \right) = \int {\arctan x} \,\,dx = x \cdot \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)
arccot integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} x \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arccot} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arccot} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)
Hyperbolische Funktionen integrieren
Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.
sinh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x \cr & F\left( x \right) = \int {\sinh x} \,\,dx = \cosh x + C \cr}\)
cosh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x \cr & F\left( x \right) = \int {\cosh x} \,\,dx = \sinh x + C \cr}\)
tanh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x \cr & F\left( x \right) = \int {\tanh x} \,\,dx = \ln \left| {\cosh x} \right| + C \cr} \)
coth integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x \cr & F\left( x \right) = \int {\coth x} \,\,dx = \ln \left| {\sinh x} \right| + C \cr} \)
Areafunktionen integrieren
Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolischen Funktionen.
arsinh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{{\sinh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arsinh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arsinh} x - \sqrt {{x^2} + 1} + C \cr}\)
arcosh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{{\cosh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcosh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcosh} x - \sqrt {{x^2} - 1} + C \cr}\)
artanh integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{{\tanh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{artanh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{artanh} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr}\)
arcoth integrieren
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{{\coth x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcoth} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcoth} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr} \)